CA1-13 - Taschenrechner Facit - Kostenlose Bedienungsanleitung
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BEDIENUNGSANLEITUNG CA1-13 Facit
Addition und Subtraktion von Zahlen mit 10 bis 13 Stellen .... 5
Subtraktion unter Null 6
Vollautomatische Multiplikation ..... 7
Quadrieren 7
Multiplikation mit konstantem Faktor .... 8
Multiplikation mit Addition der Produkte . 9
Negative Multiplikation 9
Halbautomatische Multiplikation ..... 10
Division 11
Setzen des Dezimalkommas beim
Addieren und Subtrahieren ..... 12
Multiplizieren ....
Dividieren....13-
Dreisatzrechnung ....
Reziproke Werte 17
Quadratwurzeln 18 – 19
Quadratwurzel-Tabelle ..... 20 – 21
Anhang
Allgemeine Wurzelbehandlung ..... 22
Trigonometrische Funktionen ..... 25
FACIT CA1-13
Bedienungsanleitung
zu den späteren Modellen, bei denen das Einstellwerk I mit der Taste I und das Resultatwerk III mit III gelöscht wird. Die Bedienungsanleitung ist weitgehend im Originallayout gesetzt. Der Teil „Praktische Beispiele“ wurde weggelassen, dafür aber ein Abschnitt „Quadratwurzeln: wenn mindestens 8 genaue Ziffern benötigt werden“ hinzugefügt. Außerdem ist eine schnellere und genauere Alternative zur Berechnung reziproker Werte angegeben. Ein Anhang schließlich behandelt das Maschinenrechnen auf der Facit CA1-13, und zwar die allgemeine Wurzelbehandlung sowie die Berechnung trigonometrischer Funktionen.
Aus der ursprünglichen Einleitung: „Die Bedienung dieses Vollautomaten ist so einfach, daß Sie schon nach kurzer Zeit schnell und sicher mit ihm rechnen werden. Damit Sie die CA1-13 leichter beherrschen lernen, finden Sie in dieser Gebrauchsanleitung eine Anzahl von Rechenbeispielen. Die Betätigung der einzelnen Tasten wird beschrieben mittels eines Systems von Funktionssymbolen. Hierzu ist auf Seite 3 die Maschine abgebildet, und auf den Seiten 2 – 3 wird die Funktionsweise der verscheidenen Bedienteile erklärt. Bitte lesen Sie diese Erl äuterungen aufmerksam durch und merken Sie sich die Symbole, die auch auf den folgenden Seiten angewandt werden. Stellen Sie die Maschine beim Lesen der Gebrauchsanleitung am besten vor sich, dann können Sie gleich alles selbst probieren.“
Harald Schmid
flowchart
graph TD
A["Red Block 1"] --> B["MULT DIV"]
C["Red Block 2"] --> D["MULT DIV"]
E["Red Block 3"] --> F["MULT DIV"]
Steuerhebel (mit Schlittenstellhebel). Steht der Steuerhebel links, so erfolgt die Schrittschaltung von rechts nach links bei voll- und halbau- automatischer Multiplikation. Steht der Steuerhebel rechts, so erfolgt die Schrittschaltung von links nach rechts bei vollautomatischer Divisi-on. In der Mittelstellung wird der Schlitten- stellhebel eingeschaltet. (Dieser wirkt nicht auf den Rechenvorgang ein, wenn der Steuerhebel rechts oder links steht.)
Der Schlittenstellhebel spricht nur an, wenn der Steuerhebel in der Mitte steht. Wenn der Schlittenstellhebel nach links umgelegt ist, erfolgt keine Schrittschaltung. Wenn der Schlittenstellhebel nach rechts umgelegt ist, arbeitet die Schrittschaltung von links nach rechts.
Funktionstasten
Eine im Einstellwerk I eingetastete Zahl wird im Resultatwerk III addiert und dann gleich automatisch gelöscht.
Taste für Subtraktion, halbautomatische Multiplikation sowie Einleitung und Unterbrechung der Division.
Taste für halbautomatische Multiplikation.
Wird bei der Multiplikation betätigt, nachdem man die erste Zahl eingetastet hat.
Leitet die Multiplikation ein, nachdem man die zweite Zahl eingestellt hat.
Schlittenschrittaste nach links. Bewegt die Zahl im Einstellwerk I schrittweise nach links.
Schlittenschrittaste nach rechts. Bewegt die Zahl im Einstellwerk I schrittweise nach rechts.
Der Totaltabulator tabuliert die eintestellte Zahl ganz nach links – direkt in die Divisionsstellung. Gleichzeitig werden an Zahlen mit weniger als 6 Stellen Nullen angehängt. NB: Wenn man vor dem Tabulator die Linksschrittaste gedrückt hat, werden keine Nullen angehängt.
Drehrichtungstaste zum Zählen von positiven oder negativen Umdrehungen im Werk II unabhängig von der Stellung des Steuerhebels.
Das Drehrichtungssignal gibt an, ob das Umdrehungszählwerk II positiv (schwarz) oder negativ (rot) arbeitet.
text_image
11 15 17 FACIT 16 10 12 8 6 13 7 9 5 NES 2 4 5 7 9 ← ← X = 1 3 0 6 8 ADD + MULT REF 2 3 14 1 411
12
13
14
15
16
17
Kommazeiger sind "uber den einzelnen Werken angebracht und verschiebbar.
Die Stellenzeiger der Werke III und II kennzeichnen die Stelle, in der das Werk rechnet.
Sub-Stop-Taste. Beim Subtrahieren wird diese Taste zugleich mit der Taste ÷ betätigt, um das Einstellwerk I zu löschen. Beim Dividieren, um die Division zu unterbrechen.
Zifferntasten
Resultatwerk III (Kapazität: 13 Stellen). Hier erscheint das Ergebnis von Additionen, Subtraktionen und Multiplikationen. Ein etwaiger Rest steht nach der Division in diesem Werk.
Umdrehungszählwerk II (Kapazität: 8 Stellen). Beim Dividieren erscheint das Resultat (der Quotient) in diesem Werk. Beim Addieren zeigt es an, wieviele Posten addiert worden sind. Beim Multiplizieren nimmt es den zuerst eingetasteten Faktor auf.
Einstellwerk I (Kapazit ät: 9 Stellen). Jede Ziffer, die mit den Zifferntasten eingestellt wird, erscheint sofort in diesem Werk.
Addition
Beispiel: 487 + 394 + 85
Steuerhebel ....
Maschine nullstellen ....
Rechenvorgang ....
Werk III liefert das Resultat ....
Werk II zeigt an, wieviele Posten addiert worden sind ....
Subtraktion
Beispiel: 1283 - 768
Steuerhebel ....
Maschine nullstellen ....
Rechenvorgang ....
Werk III liefert das Resultat ....
*) Wenn man diese zwei Tasten beim Subtrahieren gleichzeitig niederdrückt, wird das Werk I nach einer Umdrehung auf Null gestellt.
Addition und Subtraktion von Zahlen mit 10 bis 13 Stellen
Beispiel: 57832965782
+ 156879623163
-5289433223
Steuerhebel ....
Maschine nullstellen ....
Rechenvorgang ....
Werk III liefert das Resultat ....
REGEL: Im Einstellwerk I die Ziffern der Zahl einstellen, die das Werk aufnehmen kann (höchstens 9 Stellen). Dann für jede weitere Ziffer einmal die Linksschrittaste niederdrücken und addieren oder subtrahieren. Mit den anderen Posten in gleicher Weise verfahren.
text_image
MULT DIV III III 5 7 8 3 2 9 6 5 7 ← ← ADD 8 2 ADD 1 5 6 8 7 9 6 2 3 ← ← ← ADD 1 6 3 ADD 5 2 8 9 4 3 3 2 2 ← { SUB STOP 3 { SUB STOP ÷ ÷ ÷ 0 2 0 9 4 2 3 1 5 5 7 2 2Subtraktion unter Null
Beispiel: 57 – 68
Steuerhebel ....
Maschine nullstellen ....
Rechenvorgang ....
Werk III zeigt das Resultat ....
(Die Neunen vor der Zahl zeigen, daß das Resultat negativ ist.) Bei einem negativen Resultat muß noch die dekadische Ergänzung gebildet werden.
Rechenvorgang ....
Die zwei Neunen vor der eingetasteten Zahl ergeben zwei Nullen vor dem Endresultat.
Werk III liefert das Resultat ....
Das Resultat ist also -11
text_image
MULT DIV III III 5 7 ADD 6 8 SUB STOP ÷ 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 8 9
Vollautomatische Multiplikation
Beispiel: 189 × 53678
Steuerhebel ....
Maschine nullstellen ....
Rechenvorgang ....
Werk III zeigt das Resultat ....
Werk II enthält die zuerst eingestellte Zahl ....
Werk I zeigt die zuletzt eingetastete Zahl .....
Korrigieren bei der Multiplikation
REGEL:
Den zuerst eingestellten Faktor korrigieren mit
Den zweiten Faktor korrigieren mit ....
Quadrieren
Beispiel: 179 ^2
Steuerhebel ....
Maschine nullstellen ....
Rechenvorgang ....
Werk III liefert das Resultat ....
MULT DIV
MULT DIV
Multiplikation mit konstantem Faktor
Beispiel: 879 × 46
879 × 132
879 × 9
Steuerhebel ....
Maschine nullstellen ....
REGEL: Keine Betätigung der Tasten .....
weil diese das Rechenwerk I öschen, das den konstanten Faktor enthält.
MULT DIV
Multiplikation mit Addition der Produkte
Beispiel: (18 × 365) + (29 × 1432)
Steuerhebel ....
Maschine nullstellen ....
Rechenvorgang ....
Werk III zeigt das Resultat ....
Negative Multiplikation
Beispiel: (82 × 65) - (21 × 14)
Steuerhebel ....
Maschine nullstellen ....
Rechenvorgang ....
Werk III zeigt das Resultat ....
Das Drehrichtungssignal steht auf rot (subtraktive Umdrehung) ....
Drehrichtungstaste drücken ....
Das Drehrichtungssignal steht auf schwarz (additive Umdrehung) ....
REGEL: Das Produkt der ersten Multiplikation im Werk III stehen lassen, dann die Drehrichtungstaste niederdrücken. Die weiteren Produkte werden dadurch negativ eingerechnet und im Resultatwerk abgezogen.
Halbautomatische Multiplikation
Beispiel: 75816 × 1793
Steuerhebel ....
Maschine nullstellen ....
Faktor eintasten ....
Die Plus-Taste niedergedrückt halten, bis das Rechenwerk drei Umdrehungen ausgefuhr hat. Nun steht die Zahl 3 im Werk II. Das Einstellwerk wird automatisch um einen Schritt nach links bewegt.
Die Minus-Taste niedergedrückt halten, bis das Rechenwerk eine Umdrehung ausgef'uhrt hat. Vor der Zahl 93 erscheint eine Reihe Neunen.
Die Minus-Taste niedergedrückt halten, bis das Rechenwerk zwei Umdrehungen ausgeführt hat (9 - 2 = 7) .
Die Plus-Taste niedergedrückt halten, bis das Rechenwerk zwei Umdrehungen ausgeführt hat. Bei der ersten Umdrehung werden die Neunen gelöscht, bei der nächsten Umdrehung erscheint eine Eins.
Werk III liefert das Resultat ....
Werk II enthält den stellenweise eingerechneten Faktor ....
Werk I zeigt den zuerst eingetasteten Faktor ..
Korrigieren:
Sollte die Taste beim Aufbauen der Zahl im Werk II um eine oder mehrere Umdrehungen zu früh oder zu spät losgelassen werden, so ist das Werk mit der Rechtsschrittaste an die Stelle zur“uckzuf“uhren, wo die falsche Zahl steht. Dann wird die Zahl mit der Minus- oder Plus-Taste korrigiert.
text_image
MULT DIV III III 7 5 8 1
Division
Beispiel: 70224 : 368
Steuerhebel ....
Maschine nullstellen ....
Rechenvorgang ....
Werk II zeigt das Resultat ....
Werk III zeigt den Rest ....
Unterbrechen des Divisionsablaufs:
Nachdem die Maschine so viele Stellen im Werk II errechnet hat, wie Sie ben ötigen, können Sie den Rechenablauf unterbrechen, indem Sie die Minus-Taste niedergedrückt halten, bis die Maschine stehenbleibt.
Durch einen leichten Druck auf die Sub-Stop-Taste können Sie die Maschine augenblicklich zum Stehen bringen. Die letzte Zahl im Werk II ist aber dann wegzulassen, da die Maschine evtl. nicht zu Ende gerechnet hat.
Setzen des Dezimalkommas beim Addieren und Subtrahieren
Beispiel: 27,9 - 14,325 + 5,18
Steuerhebel ....
Maschine nullstellen ....
Rechenvorgang ....
Werk III zeigt das Resultat ....
REGEL: Das Kommazeichen muß bei allen eingetasteten Zahlen auf der gleichen Stelle stehen. Maßgebend ist die Zahl mit den meisten Dezimalstellen – bei den restlichen Zahlen sind entsprechend viel Nullen anzuhängen.
Setzen des Dezimalkommas beim Multiplizieren
Beispiel: 18,9 × 536,78
Steuerhebel ....
Maschine nullstellen ....
Rechenvorgang ....
Werk III zeigt das Resultat ....
REGEL, siehe nächste Seite
REGEL: Kommastellen im Werk II + Komma-stellen im Werk I = Kommastellen im Werk III. Im vorstehenden Beispiel ist der Kommazeiger also auf 3 zu stellen.
Setzen des Dezimalkommas beim Dividieren
Beispiel: 2,34 : 1,3
Steuerhebel ....
Maschine nullstellen ....
Rechenvorgang ....
Komma im Werk III setzen ......
Rechenvorgang ....
Komma im Werk I setzen ....
Komma im Werk II setzen ....
Rechenvorgang ....
Werk II liefert das Resultat ....
REGEL: Kommastellen im Werk III minus Kommastellen im Werk I = Kommastellen im Werk II.
text_image
MULT DIV . III III I 2 3 4 ↔ ADD 12 → 12 13 2 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 ← 5 → -5 1 3 0 0 0 0 7 → = 7 8 6 5 4 3 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 7 8 6 5 4 3 2 1 1 8 0 0 0 0 0 0Setzen des Dezimalkommas bei Divisionen
wenn das Werk II nicht für das Setzen des Dezimalkommas ausreicht
Beispiel: 98,67 : 1344,78
Steuerhebel ....
Maschine nullstellen ....
Rechenvorgang ....
Komma im Werk III setzen ....
Rechenvorgang ....
Komma im Werk I setzen ....
Da das Werk II nur 8 Stellen faßt, fehlt eine Dezimalstelle im Quotienten. Die fehlenden Stellen sind immer Nullen und müssen vor das Ergebnis im Werk II geschrieben werden. Um sie nicht zu vergessen, tue man dies noch bevor man die Maschine rechnen läßt.
Rechenvorgang ....
Werk II zeigt das Resultat ....
Mit richtig gesetztem Komma ist das Ergebnis also 0,073372596.
text_image
MULT DIV III III I 9 8 6 7 ADD 11 13 12 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 9 8 6 7 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 4 4 7 8 ... 1 3 4 4 7 8 11 -2
0,0 7 3 3 7 2 5 9 6
Setzen des Dezimalkommas bei Divisionen
deren Divisor ein Dezimalbruch unter 1 ist
Beispiel: 18,09 : 0,003
Steuerhebel ....
Maschine nullstellen ....
Rechenvorgang ....
Komma im Werk III setzen ....
Rechenvorgang (die Nullen nicht eintasten) ...
Komma im Werk I setzen ....
Komma im Werk II setzen ....
11 Kommastellen im Werk III minus 8 Komma- stellen im Werk I (d.h. 6 sichtbare Kommastellen + 2 nicht eingetastete Nullen) = 3 Kommastellen im Werk II.
Rechenvorgang ....
Werk II liefert das Resultat ....
flowchart
graph TD
A["MULT DIV"] --> B["1 8 0 9"]
B --> C["ADD"]
C --> D["1 8 0 9 0 0 0 0 0 0 0 0"]
D --> E["3"]
E --> F["6"]
F --> G["-8 = -(6+2)"]
G --> H["3 0 0 0 0 0"]
H --> I["8 7 6 5 4 3 2 1"]
I --> J["3"]
J --> K["= 3"]
text_image
87654321 06030000 3Dreisatzrechnung
Beispiel: 35875 × 435147
Steuerhebel ....
Maschine nullstellen ....
Rechenvorgang (kleinsten Faktor zuerst nehmen), immer eine Null voranstellen ....
Nullen bis zum weißen Strich im Werk I anhängen ....
Komma im Werk II setzen ....
Komma im Werk I setzen ....
Komma im Werk III setzen ....
Steuerhebel ....
Rechenvorgang ....
Komma im Werk III setzen ....
Komma im Werk I setzen ....
Komma im Werk II setzen ....
Rechenvorgang ....
Werk II zeigt das Resultat ....
text_image
= 8765432 4 → 4 0 4 3 5 0 0 0 0 • • • • • • 3 5 8 7 5 0 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 5 6 0 5 6 2 5 0 0 0 0 0
text_image
13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 5 6 0 5 6 2 5 0 0 0 0 0 • • • • • • 1 4 7 0 0 0 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 5 -3 2 = 2
text_image
87654321 10616071 2Reziproke Werte
Der reziproke Wert (1 : Zahl) I äßt sich am einfachsten durch eine gew öhnliche Division errechnen. Man erh ält dabei ein siebenstelliges Resultat, was in den meisten Fällen reicht.
Beispiel: 152,27
Steuerhebel .....
Maschine nullstellen ....
Rechenvorgang ....
Werk II zeigt das Resultat ....
DEZIMALKOMMAREGEL: Vor die 7. Stelle im Werk II sind ebensoviele Nullen zu stellen, wie die ursprüngliche Zahl ganze Stellen hat, in diesem Falle also zwei. Die erste Null steht immer als Einer vor dem Komma. Der reziproke Wert von 52,27 ist also 0,01913143.
Alternative (mit Plusdivision)
Steuerhebel ....
Maschine nullstellen ....
Umschalten auf additive Umdrehung ....
Rechenvorgang ....
Werk II liefert das Resultat ....
Diese Rechnung geht schneller, und man erhält ein achtstelliges Resultat. Die zwei Nullen aus der Kommaregel sind hier vor das Ergebnis im Werk II zu stellen.
text_image
MULT DIV III III I 1 ← ADD 5 2 2 7 ÷ 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 9 1 3 1 4 3
text_image
MULT DIV III III I NEG 5 2 2 7 ← + 8 7 6 5 4 3 2 1 1 9 1 3 1 4 3 3Quadratwurzeln
wenn höchstens 5 genaue Ziffern verlangt werden
Beispiel: 677,25
Steuerhebel ....
Maschine nullstellen ....
Den Radikanden (677,25) zu dem ihm am nächsten liegenden Wert (0676) in der Kolonne der Tabellen auf Seite 21 addieren. Wenn die erste Ziffer des Radikanden eine 5 oder eine Ziffer "uber 5 ist, immer eine Null voranstellen, also im vorliegenden Falle 0677,25 ....
Dann durch die Zahl rechts von 0676 in der Tabelle dividieren. Der Divisor ist der „ungeraden“ Kolonne der Tabelle zu entnehmen, wenn der Radikand eine ungerade Anzahl Stellen vor dem Komma hat, und sinngemäß aus der „geraden“ Kolonne, wenn die Stellenanzahl gerade ist. Im vorliegenden Falle gilt also die „ungerade“ Kolonne, und der Wert ist 5200000 .....
Das Werk II *) liefert die Quadratwurzel .....
Dieses Verfahren ergibt mindestens 5 genaue Ziffern. Das garantiert verläßliche Resultat ist also 26,024.
\*) Kommaregel:
1 - 2 Stellen vor dem Komma im Radikanden
= 1 Stelle vor dem Komma in der Quadratwurzel
3 - 4 Stellen vor dem Komma im Radikanden
= 2 Stelle vor dem Komma in der Quadratwurzel
5 - 6 Stellen vor dem Komma im Radikanden
= 3 Stelle vor dem Komma in der Quadratwurzel
USW.
| Radikand unter 1 | Wert aus der Kolonne | Komma folgendermaßen setzen: |
| 0,...0,0...0,00...0,000...0,0000... | geradeungeradegeradeungeradegerade | 0,...0,...0,0...0,0...0,00... |
wenn mindestens 8 genaue Ziffern verlangt werden
Beispiel: 677,25
Steuerhebel ....
Maschine nullstellen ....
Den Radikanden (677,25) ganz nach links tabulieren und mit 050000 (05 + 4 mal Null) multiplizieren. Wenn der Radikand eine ungerade Anzahl von Stellen vor dem Komma oder eine ungerade Anzahl von Nullen nach dem Komma hat, immer eine Null voranstellen, also im vorliegenden Falle 0677,25 ......
Steuerhebel ....
Werk II und Werk I nullstellen ....
Durch den fünfstelligen N äherungswert dividieren. Dieser Wert (26,024) wird nach dem Verfahren auf der vorhergehenden Seite ermittelt. Zusätzlich immer eine Null voranstellen. .....
Steuerhebel ....
Resultatwerk III nullstellen ....
Den Näherungswert, der noch im Multiplikatorwerk gespeichert ist, mit der Zahl 400000 (4 + 5 mal Null) multiplizieren ....
Steuerhebel ....
Einstellwerk I löschen ....
Das Produkt im Resultatwerk zum Inhalt des Umdrehungszählwerks addieren mit ......
Das Werk II *) zeigt die Quadratwurzel .....
*) Es ist die Kommaregel auf der vorhergehenden Seite anzuwenden.
Quadratwurzel-Tabelle
Divisor für Quadratwurzeln
| Ungerade Gerade | Ungerade Gerade | ||
| 100 2000000 6324556 | 190 2756810 8717798 | ||
| 102 2019901 6387488 | 192 2771282 8763561 | ||
| 104 2039608 6449807 | 194 2785678 8809087 | ||
| 106 2059127 6511529 | 196 2800000 8854378 | ||
| 108 2078461 6572671 | 198 2814250 8899439 | ||
| 110 2097618 6633250 | 200 2828428 8944272 | ||
| 112 2116602 6693281 | 202 2842535 8988883 | ||
| 114 2135416 6752778 | 204 2856572 9033272 | ||
| 116 2154066 6811755 | 206 2870541 9077445 | ||
| 118 2172557 6870226 | 208 2884442 9121404 | ||
| 120 2190891 6928204 | 210 2898276 9165152 | ||
| 122 2209073 6985700 | 212 2912044 9208692 | ||
| 124 2227106 7042727 | 214 2925748 9252027 | ||
| 126 2244995 7099296 | 216 2939388 9295161 | ||
| 128 2262742 7155418 | 218 2952965 9338095 | ||
| 130 2280351 7211103 | 220 2966480 9380832 | ||
| 132 2297826 7266361 | 222 2979933 9423376 | ||
| 134 2315168 7321203 | 224 2993326 9465728 | ||
| 136 2332381 7375636 | 226 3006660 9507892 | ||
| 138 2349469 7429671 | 228 3019934 9549870 | ||
| 140 2366432 7483315 | 230 3033151 9591664 | ||
| 142 2383276 7536578 | 232 3046310 9633276 | ||
| 144 2400000 7589467 | 234 3059412 9674710 | ||
| 146 2416610 7641990 | 236 3072459 9715967 | ||
| 148 2433106 7694154 | 238 3085450 9757049 | ||
| 150 2449490 7745967 | 240 3098387 9797959 | ||
| 152 2465766 7797436 | 244 3124100 9879272 | ||
| 154 2481935 7848567 | 248 3149604 9959920 | ||
| 156 2498000 7899368 | 252 3174902 10039921 | ||
| 158 2513962 7949843 | 256 3200000 10119289 | ||
| 160 2529823 8000000 | 260 3224904 10198040 | ||
| 162 2545585 8049845 | 264 3249616 10276187 | ||
| 164 2561250 8099383 | 268 3274142 10353744 | ||
| 166 2576820 8148620 | 272 3298485 10430724 | ||
| 168 2592297 8197561 | 276 3322650 10507141 | ||
| 170 2607681 8246212 | 280 3346641 10583006 | ||
| 172 2622976 8294577 | 284 3370460 10658331 | ||
| 174 2638182 8342662 | 288 3394113 10733127 | ||
| 176 2653300 8390471 | 292 3417602 10807405 | ||
| 178 2668333 8438010 | 296 3440931 10881177 | ||
| 180 2683282 8485282 | 300 3464102 10954452 | ||
| 182 2698148 8532292 | 304 3487120 11027240 | ||
| 184 2712932 8579045 | 308 3509986 11099550 | ||
| 186 2727637 8625544 | 312 3532705 11171393 | ||
| 188 2742262 8671794 | 316 3555278 11242776 | ||
| 320 3577709 11313709324 3600000 11384200328 3622155 11454257332 3644174 11523889336 3666061 11593102 | 0580 4816638 152315470588 4849743 153362320596 4882623 154402080604 4915283 155434880612 4947727 15646086 | ||
| 340 3687818 11661904344 3709448 11730303348 3730952 11798305352 3752333 11865918356 3773593 11933148 | 0620 4979960 157480160628 5011986 158492910636 5043809 159499220644 5075432 160499230652 5106859 16149304 | ||
| 360 3794734 12000000364 3815757 12066483368 3836666 12132601372 3857461 12198361376 3878144 12263768 | 0660 5138094 162480770668 5169140 163462540676 5200000 164438440684 5230679 165408590692 5261179 16637308 | ||
| 380 3898718 12328829384 3919184 12393547388 3939544 12457930392 3959798 12521981396 3979950 12585707 | 0700 5291503 167332010708 5321654 168285480716 5351636 169233570724 5381450 170176380732 5411100 17111400 | ||
| 400 4000000 12649111406 4029889 12743626412 4059557 12837446418 4089010 12930584424 4118253 13023057 | 0740 5440589 172046510748 5469918 172973990756 5499091 173896530764 5528110 174814190772 5556978 17572707 | ||
| 430 4147289 13114878436 4176123 13206060442 4204760 13296617448 4233203 13386561454 4261456 13475905 | 0780 5585697 176635220788 5614268 177538730796 5642695 178437670804 5670979 179332100812 5699123 18022209 | ||
| 460 4289523 13564660466 4317407 13652839472 4345113 13740452478 4372643 13827509484 4400000 13914022 | 0820 5727129 181107710830 5761945 182208680840 5796551 18330303 | ||
| 490 4427189 14000000496 4454212 140854540502 4481072 141703920508 4507772 142548240514 4534314 14338759 | 0850 5830952 184390890860 5865152 185472370870 5899153 18654759 | ||
| 0520 4560702 144222060526 4586938 145051720532 4613026 145876670538 4638966 146696970544 4664762 14751272 | 0880 5932959 187616640890 5966574 188679630900 6000000 18973666 | ||
| 0550 4690416 148323970556 4715931 149130820562 4741308 149933320568 4766551 150731550574 4791660 15152558 | 0910 6033242 190787850920 6066301 191833270930 6099181 192873020940 6131884 193907200950 6164415 194935890960 6196774 195959180970 6228965 196977160980 6260991 197989900990 6292854 19899749 |
Allgemeine Wurzelbehandlung
Es gibt im Prinzip nur zwei M öglichkeiten, Wurzeln auf mechanischen Rechenmaschinen zu berechnen: Entweder nach dem Toepler-Algorithmus, oder mit Hilfe eines Iterationsverfahrens.
Das Toepler-Verfahren
Der Toeplersche Wurzelalgorithmus beruht darauf, daß die Summe aufeinanderfolgender ungerader Zahlen stets eine Quadratzahl ist:
$$ \sum_ {k = 1} ^ {n} (2 k - 1) = n ^ {2} \quad \mathsf {b z w}. \quad 1 + 3 + 5 + \dots + (2 n - 1) = n ^ {2}. $$
Dieses Ergebnis kann man umgekehrt dazu benutzen, die Quadratwurzel einer Zahl a zu berechnen, indem man von a fortlaufend die ungeraden Zahlen 1,3,5,... abzieht, bis man Null oder gerade noch einen positiven Rest erhält. Die Anzahl der Subtrahenden ist dann die Quadratwurzel von abzw. die größte ganze Zahl unterhalb von .
Das Toepler-Verfahren eignet sich optimal für die Automatisierung, da es nach einer elementaren Rechenvorschrift arbeitet und ein einfaches Abbruch-Kriterium besitzt (nämlich die Subtraktion unter Null). Letzteres kann von einer Rechenmaschine sehr gut zur Steuerung der Abläufe verwendet werden. Tatsächlich wurde eine leicht abgeänderte Variante dieses Verfahrens bei den Staffelwalzenmaschinen Friden SRW und SRQ benutzt – den einzigen elektromechanischen Rechenmaschinen, die automatisch Quadratwurzeln ziehen können. Obwohl es aus mathematischer Sicht sehr elegant ist, kann man das Toepler-Verfahren für das manuelle Radizieren auf der FACIT CA1-13 nicht empfehlen. Abgesehen davon, daß der Rechenvorgang langwierig und sehr fehleranfällig ist, besitzen die Facit-Rechenmaschinen keine selbstkorrigierende (Voll-)Tastatur, die das Eintasten der gleichmäßig anwachsenden Subtrahenden erleichtert. Für höhere Potenzen gibt es außerdem keine vergleichbare Formel, so daß die Toepler-Methode auch nur zur Berechnung von Quadratwurzeln verwendet werden kann.
Iterationsverfahren
Bei einem iterativen Verfahren wird, ausgehend von einem Näherungswert b , mit Hilfe einer Iterationsvorschrift ein neuer Näherungswert bestimmt, der den zu berechnenden Wert besser approximiert. Ein solches Iterationsverfahren läßt sich für die Quadratwurzel wie folgt angeben:
Zu einer gegebenen Zahl a ≥ 1 soll berechnet werden. Mit Hilfe einer Tabelle (oder mittels eines Rechenstabes) bestimmt man zunächst einen Näherungswert bf''ur , so daß der Fehler h = - bm öglichst klein ist, auf jeden Fall aber h < 2b gilt. Dann ist
$$ \tilde {b} = \frac {a}{2 b} + \frac {b}{2} $$
ein besserer Näherungswert f"ur mit dem kleineren Fehler ^22b .
Herleitung. Aus =b+h erhält man zunächst
$$ a = (b + h) ^ {2} = b ^ {2} + 2 b h + h ^ {2}. $$
Dividiert man beide Seiten dieser Gleichung durch 2b, so bekommt man
$$ \frac {a}{2 b} = \frac {b}{2} + h + \frac {h ^ {2}}{2 b}. $$
Addiert man nun auf beiden Seiten den Wert 2 und ersetzt man b + h durch , dann gilt
$$ \frac {a}{2 b} + \frac {b}{2} = \sqrt {a} + \frac {h ^ {2}}{2 b}. $$
Die linke Seite der obigen Gleichung nimmt man als neuen N äherungswert = 2b + 2 . Somit ist = - ^22b . Berücksichtigt man h < 2 b, also 2b < 1 , dann gilt für den neuen Fehler ^22b = 2b · h < h . Daher wird durch besser approximiert als durch b.
Schreibt man die obige Iterationsvorschrift in der Form
$$ \tilde {b} = \frac {a + b ^ {2}}{2 b} $$
so kommt man auf das auf Seite 18 beschriebene Verfahren: Quadratwurzeln – wenn höchstens 5 genaue Ziffern verlangt werden. Als Beispiel wird dort die Quadratwurzel von a = 677.25 berechnet. Im allgemeinen wird man zun ächst die Kommastellung im Radikanden anpassen m"ussen, indem man die Position des Dezimalkommas soweit verschiebt, bis man einen ganzzahligen Anteil zwischen 100 und 999 erhält. Diese Voraussetzung ist jedoch im vorliegenden Fall a = 677.25 bereits erfüllt. Anschließend sucht man in der Quadratwurzel-Tabelle auf Seite 20/21 diejenige Zahl b^2 , welche aam n ächsten liegt, und entnimmt aus einer der nebenstehenden Spalten den auf sieben Stellen gerundeten Wert für 2b . Hierbei steht „Ungerade“ und „Gerade“ für die Anzahl der Stellen vor dem Komma bzw. die Anzahl der Nullen nach dem Komma im Radikanden. Im Fall a = 677.25 ist b^2 = 676 der passende Näherungswert, und da man drei Vorkommastellen hat, liest man aus der Spalte „Ungerade“ den Wert 5200000 für 2b ab. Bei richtiger Kommastellung entspricht dies 2b = 52.00000 , also dem Näherungswert b = 26 für . Auf der Facit-Maschine wird nun der Iterationsschritt, wenn der Hauptsteuerhebel auf DIV umgelegt ist und die Rechenwerke gelöscht sind, folgendermaßen ausgeführt:
Damit bei der Division die Maschinenkapazität voll ausgenutzt wird, tabuliert man die Summanden im Zähler und im Nenner ganz nach links. Um einen Überlauf des Resultatwerks bei der Summe zu vermeiden, wird dem Radikanden, falls wie im Beispiel die führende Ziffer eine 5 oder höher ist, eine Null vorangestellt. Nach dem Rechenvorgang zeigt das Quotientenwerk den Wert 00260240 an. Dies entspricht dem verbesserten N äherungswert =26.024 für 677.25 .
In der Quadratwurzel-Tabelle sind die Radikanden in fünf Abschnitten (von a_ bis a_ ) mit jeweils einer festen Schrittweite tabuliert, und zwar
$$ \begin{array}{c c c c c c} \Delta & 2 & 4 & 6 & 8 & 1 0 \ \hline a _ {\min} & 1 0 0 & 2 4 0 & 4 0 0 & 5 8 0 & 8 2 0 \ a _ {\max} & 2 4 0 & 4 0 0 & 5 8 0 & 8 2 0 & 9 9 9 \end{array} $$
Eine Fehleranalyse zeigt, daß der relative Fehler nach Anwendung des Iterationsverfahrens in jedem dieser Abschnitte nicht größer ist als 132(_)^2 , also maximal bei 1.25·10^-5 liegt. Der N äherungswert ist daher stets auf vier Stellen genau. Im Intervall von 820 bis 999 reduziert sich der relative Fehler auf einen Wert unter 0.5·10^-5 , so daß man in diesem Bereich sogar einen auf fünf Stellen genauen Wert erhält.
Im Abschnitt Quadratwurzeln – wenn mindestens 8 genaue Ziffern verlangt werden auf Seite 19 wird der Iterationsschritt nochmals angewendet. Dabei nutzt man auch die speziellen Eigenschaften des Multiplikatorwerkes einer Facit-Rechenmaschine, damit man den vorherigen (vier- bis f'unfstelligen) Näherungswert b = 26.024 nur einmal in die Maschine eintasten muß. Nach den üblichen Vorbereitungen (Steuerhebel einstellen, Maschine nullstellen) ermittelt man den nächsten Näherungswert mit der Iterationsvorschrift in der Gestalt
$$ \tilde {b} = \frac {0 . 5 \cdot a}{b} + 0. 4 \cdot b + 0. 1 \cdot b $$
Auf den ersten Blick werden bei dem Rechenschema, das in der Anleitung angegeben ist, nur die ersten beiden Terme summiert. Der letzte Summand 0.1 · b wird jedoch automatisch von
der Maschine addiert, und zwar während der Ausführung der Multiplikation 0.4 · b. Das Ergebnis lautet jetzt 26024027. Nach den Kommaregeln entspricht das dem N äherungswert 26.024027, und dieses Resultat ist auf 8 Stellen genau die Quadratwurzel von 677.25.
Eine Fehleranalyse wie oben zeigt, daß der relative Fehler bei dieser nochmaligen Anwendung des Iterationsverfahrens höchstens 12048(_)^4 beträgt und somit stets kleiner ist als 10^-10 . Theoretisch wurde man also einen Näherungswert erhalten, der mindestens auf 9 Stellen genau ist. In der Praxis erreicht man diese Genauigkeit nicht, da die Kapazität des Quotientenwerkes begrenzt ist (8 Stellen bei den FACIT-Modellen E bis CA1-13).
Dritte und höhere Wurzeln. Während es zur Berechnung von Wurzeln [n]a , n > 2, kein direktes Verfahren mehr gibt, kann man dennoch ein Iterationsverfahren ähnlich wie bei den Quadratwurzeln angeben:
Ist zu einer gegebenen Zahl a ≥ 1 die n-te Wurzel [n]a , n > 1, zu bestimmen und ist b ein hinreichend guter Näherungswert (beispielsweise aus einer Tabelle), so liefert
$$ \tilde {b} = \frac {a}{n b ^ {n - 1}} + \frac {(n - 1) b}{n} $$
eine bessere Näherung von [n]a . Im Spezialfall n = 3 ist
$$ \tilde {b} = \frac {a}{3 b ^ {2}} + \frac {2 b}{3} $$
die Formel für den nächsten Näherungswert der Kubikwurzel [3]a , und für n = 2 erhält man die bereits angegebene Iterationsvorschrift für die Quadratwurzel von a.
Das Iterationsverfahren für die Kubikwurzel läßt sich auf einer Facit-Rechenmaschine noch relativ bequem durchf"uhren, weil man darauf die Quadratzahl b^2 sehr schnell berechnen kann. Wurzeln höherer Ordnung können auf diese Weise auch ermittelt werden, nur macht sich bei wachsendem n die relativ geringe Kapazit ät der Rechenwerke störend bemerkbar, insbesondere bei der Berechnung von n b^-n-1 . Es ist daher sinnvoller, z.B. eine vierte Wurzel durch zweimaliges Ziehen der Quadratwurzel auszurechnen.
Das Iterationsverfahren für allgemeine Wurzelexponenten n > 1 erhält man ähnlich wie im Fall n = 2: Aus = b + h folgt zunächst durch Anwendung des binomischen Lehrsatzes
$$ a = (b + h) ^ {n} = b ^ {n} + n b ^ {n - 1} h + O \left(h ^ {2}\right). $$
Division durch n b^n-1 liefert die Gleichung
$$ \frac {a}{n b ^ {n - 1}} = \frac {b}{n} + h + O (h ^ {2}). $$
Addiert man noch auf beiden Seiten den Wert (n-1)bn und ersetzt man b + h durch [n]a , dann hat man
$$ \frac {a}{n b ^ {n - 1}} + \frac {(n - 1) b}{n} = \sqrt [ n ]{a} + O (h ^ {2}). $$
Die linke Seite dieser Gleichung ist der neue Näherungswert für . Der Ausdruck O(h^2) steht für einen Term, der durch h^2 beschränkt ist. Geht man davon aus, daß der Fehler h bereits hinreichend klein war, so wird O(h^2) noch kleiner sein, und somit ist eine bessere Näherung für als b .
Trigonometrische Funktionen
Die FACIT CA1-13 ist eine vollautomatische Vierspezies-Maschine, d.h. sie beherrscht die vier Grundrechenarten Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Wie das iterative Verfahren zur Berechnung der Quadratwurzel zeigt, kann man mit etwas mehr Aufwand auch Rechenoperationen jenseits der Grundrechenarten ausf"uhren. Wie sieht es jedoch mit der Behandlung noch komplizierterer Operationen aus, etwa der trigonometrischen Funktionen Sinus, Cosinus und Tangens? Auf einem modernen Taschenrechner lassen sich solche Werte m"uhelos mit nur einem Tastendruck ermitteln. Wir werden sehen, daß die Berechnung dieser Funktionen auf der FACIT CA1-13 ebenfalls mit relativ hoher Genauigkeit (sechs Dezimalstellen nach dem Komma) und vergleichsweise wenigen Rechenschritten möglich ist. Die gezeigten Beispiele beziehen sich dabei auf ein späteres Modell der CA1-13 mit den Bezeichnungen I für das Einstellwerk und III für das Resultatwerk.
Theoretische Grundlagen
Der Sinus eines Winkels ist zunächst geometrisch definiert, und zwar als das Längenverhältnis von Gegenkathete zu Hypothenuse bei einem rechwinkligen Dreieck, dessen Ankathete und Hypothenuse den Winkel einschließen. Mit der Entdeckung der Infinitesimalrechnung fand man bald auch eine analytische Darstellung für den Sinus in Form einer unendlichen Reihe:
$$ \sin x = \sum_ {n = 0} ^ {\infty} (- 1) ^ {n} \frac {x ^ {2 n + 1}}{(2 n + 1) !} = x - \frac {x ^ {3}}{3 !} + \frac {x ^ {5}}{5 !} - \frac {x ^ {7}}{7 !} \pm \dots \tag {1} $$
Hierbei bezeichnet n! ( n Fakultät) das Produkt 1 · 2 · 3 ·s (n - 1) · n , und x ist der Winkel im Bogenmaß, also 0 ≤ x < 2 . Zwischen Bogen- und Gradmaß besteht folgender Zusammenhang: Das Bogenmaß x eines Winkels mit 0 ≤ < 360^ ist die Länge des Kreisbogens, den der Mittelpunktswinkel auf einem Kreis mit dem Radius 1 ausschneidet, d.h.
$$ x = 2 \pi \cdot \frac {\alpha}{3 6 0} \approx \frac {\alpha}{5 7 , 2 9 5 8} \tag {2} $$
Die unendlichen Reihe (1) liefert ein Verfahren, den Wert sin x beliebig genau auszurechnen. Ersetzt man nämlich die unendliche Reihe durch eine endliche Summe der Form
$$ \sin x \approx \sum_ {n = 0} ^ {N} (- 1) ^ {n} \frac {x ^ {2 n + 1}}{(2 n + 1) !} = x - \frac {x ^ {3}}{3 !} + \frac {x ^ {5}}{5 !} - \dots + (- 1) ^ {N} \frac {x ^ {2 N + 1}}{(2 N + 1) !} \tag {3} $$
so wird die Ann äherung an sin x um so besser, je größer man die Zahl N der Summanden wählt. Da die Reihenglieder ständig das Vorzeichen wechseln, kann man außerdem den Fehler bei Abbruch der Reihe abschätzen und zeigen, daß dieser betraglich stets kleiner ist als der erste vernachlässigte Summand
$$ \frac {x ^ {2 N + 3}}{(2 N + 3) !} \tag {4} $$
In der Trigonometrie arbeitet man neben dem Sinus noch mit dem Cosinus eines Winkels , der bei einem rechtwinkligen Dreieck definiert ist als das L ängenverhältnis von Ankathete zu Hypothenuse, wobei diese zwei Seiten gerade den Winkel einschließen. F"ur den Cosinus eines Winkels x im Bogenmaß hat man ebenfalls eine einfache Reihenentwicklung, nämlich
$$ \cos x = \sum_ {n = 0} ^ {\infty} (- 1) ^ {n} \frac {x ^ {2 n}}{(2 n) !} = 1 - \frac {x ^ {2}}{2 !} + \frac {x ^ {4}}{4 !} - \frac {x ^ {6}}{6 !} \pm \dots $$
Hieraus erhält man die Näherungsformel
$$ \cos x \approx \sum_ {n = 0} ^ {N} (- 1) ^ {n} \frac {x ^ {2 n}}{(2 n) !} = 1 - \frac {x ^ {2}}{2 !} + \frac {x ^ {4}}{4 !} - \dots + (- 1) ^ {N} \frac {x ^ {2 N}}{(2 N) !} $$
wobei der Abbruchfehler immer kleiner ist als
$$ \frac {x ^ {2 N + 2}}{(2 N + 2) !} \tag {5} $$
Nehmen wir nun an, dass wir x bzw. x mit einer Genauigkeit von sechs Dezimalstellen nach dem Komma bestimmen möchten. Der Fehler in (4) bzw. (5) soll also maximal den Wert 0,5 · 10^-6 haben. Dazu müssen wir einerseits die Anzahl Nder Reihenglieder entsprechend groß wählen, und andererseits ist es vorteilhaft, den Bereich für x etwas einzuschränken. Bekanntlich genügt es, die Werte von Sinus und Cosinus für Winkel 0 ≤ < 90^ im Gradmaß bzw. 0 ≤ x < 4 im Bogenmaß zu berechnen, denn mit Hilfe der trigonometrischen Formeln
$$ \sin (3 6 0 + \alpha) = \sin \alpha , \quad \sin (1 8 0 ^ {\circ} + \alpha) = - \sin \alpha , \quad \sin (9 0 ^ {\circ} + \alpha) = \sin (9 0 ^ {\circ} - \alpha), $$
$$ \cos (3 6 0 ^ {\circ} + \alpha) = \cos \alpha , \quad \cos (1 8 0 ^ {\circ} + \alpha) = \cos (1 8 0 ^ {\circ} - \alpha), \quad \cos (9 0 ^ {\circ} + \alpha) = - \cos \alpha $$
lassen sich alle anderen Argumente auf entsprechende Winkel im ersten Quadranten zur "uckf"uhren. Benutzt man außerdem noch den Zusammenhang
$$ \sin \alpha = \cos (9 0 ^ {\circ} - \alpha) $$
so braucht man überhaupt nur den Wert einer der beiden Funktionen Sinus oder Cosinus auszurechnen. Durch Anwendung und Kombination obiger Umrechnungsformeln können wir demnach die Berechnung von Sinus und Cosinus beliebiger Winkel auf die Berechnung eines der Werte sin , 0 ≤ < 60^ , oder cos , 0 < ≤ 30^ , zurückfuhren. Beispielsweise ist
$$ \sin 3 0 0 ^ {\circ} = \sin (1 8 0 ^ {\circ} + 1 2 0 ^ {\circ}) = - \sin 1 2 0 ^ {\circ} $$
$$ \sin 1 2 0 ^ {\circ} = \sin (9 0 ^ {\circ} + 3 0 ^ {\circ}) = \sin (9 0 ^ {\circ} - 3 0 ^ {\circ}) = \sin 6 0 ^ {\circ} $$
$$ \sin 6 0 ^ {\circ} = \cos (9 0 ^ {\circ} - 6 0 ^ {\circ}) = \cos 3 0 ^ {\circ} $$
und daher sin 300^ = - 30^ .
Wählen wir jetzt N = 4 bei sin x sowie N = 5 bei cos x als Anzahl der Reihenglieder und rechnen wir die maximalen Argumente 60° bzw. 30° auf das Bogenmaß um, so erhalten wir die Näherungsformeln
$$ \sin x \approx x - \frac {x ^ {3}}{3 !} + \frac {x ^ {5}}{5 !} - \frac {x ^ {7}}{7 !} + \frac {x ^ {9}}{9 !} \quad \text { für } 0 \leq x < \frac {\pi}{3} \tag {6} $$
$$ \cos x \approx 1 - \frac {x ^ {2}}{2 !} + \frac {x ^ {4}}{4 !} - \frac {x ^ {6}}{6 !} + \frac {x ^ {8}}{8 !} \quad \text { für } \quad 0 < x \leq \frac {\pi}{6} \tag {7} $$
Dabei sind die oberen Grenzen für den jeweiligen Winkelbereich so gewählt, daß die Fehler für die Näherungen gemäß (4) bzw. (5) höchstens
$$ \frac {\left(\frac {\pi}{3}\right) ^ {1 1}}{1 1 !}, \frac {\left(\frac {\pi}{6}\right) ^ {1 0}}{1 0 !} < 1 0 ^ {- 9} $$
betragen und folglich innerhalb der gewünschten Genauigkeit von 0,5 · 10^-6 liegen (kleinere Werte für N würden diese Bedingung noch nicht erfüllen). Wir erhalten also Näherungsformeln zur Berechnung von Sinus und Cosinus, die auf mindestens 6 Dezimalstellen nach dem Komma genau sind. In der obigen Form sind die Approximationen aber noch ungeeignet für die Anwendung auf einer Rechenmaschine, denn die höheren Potenzen lassen sich nur durch entsprechend viele Multiplikationen ermitteln (auf der FACIT CA1-13 kann man z.B. nur noch das Quadrat einer Zahl bequem errechnen), und aufgrund der begrenzten Kapazit ät der Rechenwerke müßte man zudem bei jeder Multiplikation entsprechend viele Stellen abstreichen. Wir
können diese Probleme vermeiden, indem wir die Summen (6) und (7) in eine Form bringen, die für das Maschinenrechnen wesentlich besser geeignet sind, und zwar
$$ \sin x \approx x \left. \right.\left(1 - \frac {x ^ {2}}{2 \cdot 3} \left(1 - \frac {x ^ {2}}{4 \cdot 5} \left(1 - \frac {x ^ {2}}{6 \cdot 7} \left(1 - \frac {x ^ {2}}{8 \cdot 9}\right)\right)\right)\right) \tag {8} $$
$$ \cos x \approx 1 - \frac {x ^ {2}}{1 \cdot 2} \left(1 - \frac {x ^ {2}}{3 \cdot 4} \left(1 - \frac {x ^ {2}}{5 \cdot 6} \left(1 - \frac {x ^ {2}}{7 \cdot 8}\right)\right)\right) \tag {9} $$
Diese Ausdrücke sehen auf den ersten Blick etwas komplizierter aus als die Formeln (6) und (7), aber sie liefern Algorithmen, die den Rechenvorgang in sich wiederholende, maschinen-taugliche Rechenschritte zerlegen. Zur Berechnung von x bzw. x sind die folgenden Operationen durchzuführen, wobei die Klammern in (8) bzw. (9) von innen nach außen ausgewertet werden.
- Algorithmus für sin :
- Berechne x=57,29578 und quadriere x. Das Ergebnis ist a.
- Berechne 1 - 72 und multipliziere mit a. Das Ergebnis ist b.
- Berechne 1 - 42 und multipliziere mit a. Das Ergebnis ist c.
- Berechne 1 - 20 und multipliziere mit a. Das Ergebnis ist d.
- Berechne 1 - 6 und multipliziere mit x. Das Ergebnis ist ≈ .
- Algorithmus für :
- Berechne x = 57,29578 und quadriere x. Das Ergebnis ist a.
- Berechne 1 - 56 und multipliziere mit a. Das Ergebnis ist b.
- Berechne 1 - 30 und multipliziere mit a. Das Ergebnis ist c.
- Berechne 1 - 12 und multipliziere mit a. Das Ergebnis ist d.
- Berechne 1 - 2 . Das Ergebnis ist der Näherungswert für .
Die Auswertung von erfordert also lediglich eine Quadrierung, vier Multiplikationen bzw. fünf Divisionen. Bei der Berechnung von ist die letzte Multiplikation mit x nicht erforderlich, d.h. man kommt sogar mit einer Multiplikation weniger aus. Die Quadrierung kann bei der FA-CIT CA1-13 in einem Schritt durchgeführt werden, indem man nach dem Eintasten von xsofort die Taste = drückt. Außerdem werden die Multiplikationen vollautomatisch abgewickelt, und ein Ausdruck der Form 1 - läßt sich, wie die nachfolgenden Überlegungen zeigen, mit Hilfe der negativen Division direkt und ohne Subtraktion ermitteln.
Schnelle Berechnung von 1 - . Unter der Voraussetzung 0 < p < q gilt 0 < 1 - < 1 , und daher sind nur die Nachkommastellen des Resultats von Interesse. Wir bringen zun ächst die Facit-Rechenmaschine in die Divisionslage, d.h. der Hauptsteuerhebel wird auf DIV umgelegt, und durch Betätigung der Taste NEG schalten wir das Quotientenwerk gleichläufig zum Resultatwerk. Nachdem wir den Dividenden p ganz links in das Resultatwerk und den Divisior q ganz links in das Einstellwerk gebracht haben, löschen wir das Quotientenwerk und betätigen anschließend die Taste ÷. Am Ende des Rechenvorgangs erhalten wir im Quotientenwerk die Nachkommastellen von 1 - . Begründung: Mittels der negativen Division, welche man durch die Kombination DIV + NEG auf der FACIT CA1-13 einstellt, wird der Komplement ärwert des Quotienten in das Umdrehungszählwerk eingebracht. Denkt man sich – ähnlich wie bei der Division im Plussinn – eine Außen-Eins links am Quotientenwerk, so entspricht das Ergebnis wegen 0 < < 1 genau dem Wert 1 - .
Praktische Durchführung
Falls der Winkel mit 0 ≤ < 90^ im Gradmaß gegeben ist, rechnen wir ihn zunächst mittels der Formel (2) in das Bogenmaß um, d.h. wir dividieren den Wert durch die Zahl 57, 2958. Nehmen wir als Beispiel = 48^ , so sind die Operationen
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III III MULT DIV 4 8 ← ADD 5 7 2 9 5 8 ← ÷durchzuf"uhren. Werk II zeigt das Ergebnis 08377577, d.h. 48° entspricht auf sechs Dezimalstellen gerundet dem Bogenmaß x ≈ 0,837758 . Bei der Ausführung der einzelnen Rechenschritte im Algorithmus ist übrigens darauf zu achten, daß man alle einzugebenden Werte, also das Argument x, den Wert x^2 sowie die Resultate der negativen Divisionen stets auf sechs Dezimalstellen rundet.
Für die weitere Durchführung des Algorithmus benötigen wir den Wert a = x^2 , den wir schnell mit Hilfe der Quadrierautomatik der FACIT CA1-13 ermitteln:
Das Resultatwerk III liefert den Wert 0701838466564, und somit ist auf sechs Dezimalstellen gerundet x^2 = 0.701838 .
Bei den nachfolgenden Rechenschritten ist die Zahl a = x^2 ein konstanter Multiplikator. Er wird mit führender 0 nur einmal eingetastet und bleibt im Multiplikatorwerk gespeichert:
Damit das Multiplikatorwerk nicht gel öscht wird, d'urfen wir keine der Tasten ADD, SUB STOP, I drücken – das Nullstellen des Einstellwerks erfolgt von nun ab (bei zuvor eingestellter Lage MULT des Hauptsteuerhebels) mit der Taste ✗. Die Multiplikanden sind jeweils die gerundeten Ergebnisse der negativen Divisionen, von denen wir nur die ersten sechs Nachkomma- stellen verwenden. Wir bilden somit immer Produkte aus einer siebenstelligen Zahl mit sechs- stelligen Zahlen, so daß die Ergebnisse genau 13 Dezimalstellen haben und die Kapazität des Resultatwerks voll ausgeschöpft wird.
Die Zahl akommt außerdem als Dividend in der ersten negativen Division vor und steht aufgrund der Quadrierung bereits an richtiger Position ganz links im Resultatwerk. Nach dem Löschen des Umdrehungsz ählwerks und des Einstellwerkes schalten wir um auf DIV + NEG und führen die negative Division zur Berechnung von 1 - 72 aus. Das Ergebnis im Quotientenwerk wird dann auf sechs Dezimalstellen gerundet und anschließend mit dem Wert a aus dem Multiplikatorwerk multipliziert:
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II × MULT DIV NEG 7 2 ÷ MULT DIV III × 9 9 0 2 5 2 2 5 III 0 6 9 4 9 9 6 4 8 3 1 7 6Wir führen diesen Schritt noch zweimal durch, wobei sich jeweils nur der Divisor ändert:
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II × MULT DIV NEG 4 2 ← ÷ MULT DIV III × 9 8 3 4 5 2 = II × MULT DIV NEG 2 0 ← ÷ MULT DIV III × 9 6 5 4 8 9 =Abschließend m"ussen wir noch eine negative Division ausf"uhren und das Ergebnis mit dem Wert xmultiplizieren:
Als Resultat erhalten wir den Wert sin 48^ ≈ 0,743144962512 . Vergleichen wir dieses Ergebnis mit dem exakten Wert sin 48^ = 0,743144825477 , so liegt der absolute Fehler bei 0,14 · 10^-6 und damit unterhalb der gewünschten Genauigkeit von 0,5 · 10^-6 . Daher ist, gerundet und auf sechs Nachkommastellen genau,
$$ \sin 4 8 ^ {\circ} \approx 0, 7 4 3 1 4 5. $$
Ergänzungen und Ausblicke
- Alle weiteren trigonometrischen Funktionen lassen sich mittels einer Division aus den Werten von Sinus und Cosinus gewinnen. Den Tangens bzw. Cotangens eines Winkels erhält man über die Formeln
$$ \tan \alpha = \frac {\sin \alpha}{\cos \alpha} \quad \text { bzw. } \quad \cot \alpha = \frac {\cos \alpha}{\sin \alpha} $$
und die (weniger gebräuchlichen) Funktionen Sekans bzw. Cosekans sind gerade die reziproken Werte von Cosinus bzw. Sinus.
- Die angegebenen Verfahren zur Berechnung von und liefern Näherungswerte mit einem absoluten Abbruchfehler kleiner als 10^-9 . Nicht berücksichtigt wurden bisher Fehler, die beim Runden der Zwischenergebnisse auftreten. Mittels einer genaueren Fehleranalyse läßt sich aber zeigen, daß das Endergebnis einschließlich dieser Rundungsfehler immer noch auf sechs Nachkommastellen genau ist.
- Eine Alternative zu dem hier vorgestellten Verfahren ist der CORDIC-Algorithmus, der 1959 von Volder entwickelt wurde und auch heute noch in Prozessoren zur Berechnung trigonometrischer Funktionen verwendet wird (siehe J. E. Volder, The CORDIC Trigonometric Computing Technique, IRE Trans. Electronic Computers, Sept. 1959, 330–334).
Weitere Beispiele
Beispiel 1: sin 17,4°
other
| Operation | Value | |-----------|-------| | x | 17.4 / 57,29578 | | II | 03036871 | | x ≈ 0 | 303687 quadrieren | | III | 0092225793969 | | x² | ≈0,092226 speichern | | 1 - a/72 | berechnen | | II | 99871909 | | b:=a | (1 - a/72) | | III | 0092107858494 | | 1 - b/42 | berechnen | | II | 99780696 | | c:=a | (1 - b/42) | | III | 0092023748382 | | 1 - c/20 | berechnen | | II | 99539882 | | d:=a | (1 - c/20) | | III | 0091801668174 | | 1 - d/6 | berechnen | | II | 98469973 | | x(1-d/6) | (1-d/6) | | III | 0299040588900 |Ergebnis: 17,4^ ≈ 0,299041
Beispiel 2: cos 17,4°
other
| Operation | Value | |-----------|-------| | MULT DIV | 303687 | | I | 009 | | II | 222 | | MULT DIV | 56 | | MULT DIV | 9983 | | II | 9983 | | MULT DIV | 5 | | MULT DIV | 30 | | MULT DIV | 0 | | MULT DIV | 99693 | | II | 1 | | MULT DIV | 12 | | MULT DIV | 99693 | | II | 2 | | MULT DIV | 388 | | II | 0 | | MULT DIV | 2 | | MULT DIV | 0 | | MULT DIV | 2 | | MULT DIV | ÷ | | MULT DIV | x ≈ 0.303687 (aus Beispiel 1) quadrieren | | I | x ≈ 0.303687 (aus Beispiel 1) quadrieren | | II | x ≈ 0.303687 (aus Beispiel 1) quadrieren | | MULT DIV | x ≈ 0.303687 (aus Beispiel 1) quadrieren | | I | x ≈ 0.303687 (aus Beispiel 1) quadrieren | | II | x ≈ 0.303687 (aus Beispiel 1) quadrieren | | MULT DIV | x ≈ 0.303687 (aus Beispiel 2) quadrieren | | I | x ≈ 0.303687 (aus Beispiel 2) quadrieren | | II | x ≈ 0.303687 (aus Beispiel 2) quadrieren | | MULT DIV | x ≈ 0.303687 (aus Beispiel 2) quadrieren | | I | x ≈ 0.303687 (aus Beispiel 2) quadrieren | | II | x ≈ 0.303687 (aus Beispiel 2) quadrieren | | MULT DIV | x ≈ 0.303687 (aus Beispiel 1) quadrieren | | I | x ≈ 0.303687 (aus Beispiel 1) quadrieren | | II | x ≈ 0.303687 (aus Beispiel 1) quadrieren | | MULT DIV | x ≈ 0.303687 (aus Beispiel 1) quadrieren | | I | x ≈ 0.303687 (aus Beispiel 1) quadrieren | | II | x ≈ 0.303687 (aus Beispiel 1) quadrieren | | MULT DIV | x ≈ 0.303 | | I | x ≈ 0.303 | | II | x ≈ 0.303 | | MULT DIV | x ≈ 0.303 | | I | x ≈ 0.303 | | II | x ≈ 0.303 | | MULT DIV | x ≈ 0.303 | | I | x ≈ 0.303 | | II | x ≈ 0.303 | | MULT DIV | x ≈ 1 | | I | x ≈ 0.303 | | II | x ≈ 0.303 | | MULT DIV | x ≈ 1 | | I | x ≈ 0.303 | | II | x ≈ 0.303 | | MULT DIV | x ≈ 1 | | I | x ≈ 0.303 | | Mult DIV | x ≈ 1 | | I | x ≈ 0.303 | | Mult DIV | x ≈ 1 | | I | x ≈ 0.303 | | Mult DIV | x ≈ 1 | | I | x ≈ 0.303 | | Mult DIV | x ≈ 1 | | I | x ≈ 0.304 | | Mult DIV | x ≈ 1 | | I | x ≈ 0.304 | | Mult DIV | x ≈ 1 | | I | x ≈ 0.304 | | Mult DIV | x ≈ 1 | | I | x ≈ 0.304 | | Mult DIV | x ≈ 1 | | I | x ≈ 1 | | Mult DIV | x ≈ 1 | | I | x ≈ 1 | | Mult DIV | x ≈ 1 | | I | x ≈ 1 | | Mult DIV | x ≈ 1 | | I | x ≈ 1 | | Mult DIV | x ≈ 1 | | I | x ≈ 1 | | Mult DIV | x ≈ 1 |Ergebnis: 17,4^ ≈ 0,954240
Beispiel 3: tan 17, 4°
Ergebnis: 17,4^≈0,313381
17,4^ = 17,4^ 17,4^ (mit den Werten aus Beispiel 1 und 2) II 03133813