Retrouvez gratuitement la notice de l'appareil 49G+ HP au format PDF.
Téléchargez la notice de votre Calculatrice graphique au format PDF gratuitement ! Retrouvez votre notice 49G+ - HP et reprennez votre appareil électronique en main. Sur cette page sont publiés tous les documents nécessaires à l'utilisation de votre appareil 49G+ de la marque HP.
(voir pages 1-11 du Guide de l'utilisateur pour plus d'information). Le mode RPN a été inclus dans la calculatrice pour améliorer son efficacité. Avec ce mode, les opérandes d'une opération (par exemple, ‘2’ et ‘3’ dans l'opération ‘2+3’) sont saisis à l'écran de la calculatrice, que l'on appelle la pile, et l'opérateur(par exemple, ‘+’ dans l'opération ‘2+3’) est ensuite saisi pour effectuer l'opération. Le mode ALG, par contre, fonctionne comme les calculatrices ordinaires. Donc, l'opération ‘2+3’, en mode ALG, sera saisie en pressant les touches ‘2’, ‘+’, et ‘3’, dans cet ordre. Pour effectuer l'opération, nous utilisons la touche ENTER. Des exemples sur les applications des différentes fonctions et opérations, pour les deux modes, ont été ajoutés dans ce Guide de l'utilisateur. Le présent guide contient des exemples qui illustrent l’utilisation des fonctions et opérations de base de la calculatrice. Les chapitres de ce Guide de l'Utilisateur sont organisés par ordre de difficulté. Du paramétrage des modes de la calculatrice aux calculs de nombres réels et complexes, opérations avec des listes, vecteurs, matrices, exemples détaillés des opérations graphiques, utilisation des chaînes de caractères, programmation de base, programmation graphiques, analyses de vecteurs, applications avancées et opérations à plusieurs variables, équations différentielles avancées (comprenant les transformées de Laplace, les séries et les transformées de Fourier), probabilités et statistiques.
System (CAS) qui vous permet de choisir entre différents modes d’opération, c'est-à-dire nombres complexes ou nombres réels ou mode exact (symbolique) et mode arrondi (numérique). L’affichage peut-être réglé pour fournir des expressions semblables à celles employées dans les manuels, ce qui peut être utile lorsque l’on travaille avec des matrices, vecteurs, fractions, additions, dérivées et intégrales. Les graphiques à grande vitesse de la calculatrice sont très pratiques pour produire presque instantanément des figures complexes. Grâce au port infrarouge et au câble USB livrés avec votre calculatrice, vous pouvez la connecter à d’autres calculatrices et ordinateurs. La connexion à grande vitesse par infrarouge ou USB permet l’échange rapide et efficace de programmes et de données avec d’autres calculatrices et ordinateurs. La calculatrice dispose de port pour carte mémoire afin de faciliter le stockage et l’échange de données avec d’autres utilisateurs. La fonction de programmation de la calculatrice permet à l'utilisateur de développer des applications spécifiques à but particulier. Qu'il s'agisse d'applications mathématiques avancées, de la solution d'un problème particulier ou de l’enregistrement de données, les langages de programmation de votre calculatrice en font un outil informatique très polyvalent. Nous espérons que votre calculatrice deviendra une compagne fidèle pour tous vos usages scolaires et professionnels. Cette calculatrice représente, sans l’ombre d’un doute, le nec plus ultra en matière d’outils de calcul portables.
Chapitre 1 – Pour commencer, 1-1 Prise en main, 1-1 Piles, 1-1 Allumer et éteindre la calculatrice, 1-2 Ajuster le contraste de l’écran, 1-2 Description de l’écran de la calculatrice, 1-2 Menus, 1-3 Menus SOFT et CHOOSE boxes, 1-4 Sélectionner les menus SOFT ou les CHOOSE boxes, 1-5 Le menu TOOL, 1-7 Régler la date et l’heure, 1-8 Le clavier de la calculatrice, 1-11 Choisir les modes d’opération de la calculatrice, 1-13 Mode d’opération, 1-14 Format numérique et point décimal ou virgule, 1-19 Mesure d’angles, 1-24 Système de coordonnées, 1-25 Bip, Clic et dernière pile, 1-27 Sélectionner les paramètres CAS, 1-28 Choix du mode d’affichage,1-28 Choisir la police d’affichage, 1-29 Choisir les propriétés de l’Editeur de ligne, 1-30 Choisir les propriétés de la pile, 1-31 Choisir les propriétés de l’Editeur d’équations (Equation Writer EQW), 1-32 Choisir la taille de l’en-tête, 1-32 Choisir l’affichage de l’horloge, 1-33
Objets, 2-1 Afficher des expressions à l’écran, 2-4 Créer des expressions arithmétiques, 2-4 Editeur des expressions arithmétiques, 2-7
Créer et éditer des sommes, des dérives et des intégrales, 2-33 Organiser les données dans la calculatrice, 2-37 Fonctions de manipulation des variables, 2-38 Le répertoire HOME, 2-39 Le sous-répertoire CASDIR, 2-40 Taper des noms de répertoires et de variables, 2-42 Créer des sous-répertoires, 2-44 Se déplacer parmi les sous-répertoires, 2-48 Effacer des sous-répertoires, 2-49 Les variables, 2-53 Créer des variables, 2-54 Vérifier le contenu des variables, 2-58 Remplacer le contenu des variables, 2-61 Copier des variables, 2-63 Réorganiser les variables dans un répertoire, 2-66 Déplacer des variables en utilisant le menu des fichiers FILES, 2-67 Effacer des variables, 2-68 Les fonctions UNDO et CMD , 2-70 Indicateurs 2-71 Exemple d’activation d’un indicateur : solutions générales ou valeur principale, 2-72 Autres indicateurs utiles, 2-74 Logarithmes en base 10 et puissances de 10, 3-6 Entrer des données avec des puissances de 10, 3-6 Logarithmes népériens et fonction exponentielle, 3-6 Fonctions trigonométriques, 3-6 Fonctions trigonométriques inverses, 3-7 Différences entre fonctions et opérateurs, 3-7 Fonctions réelles dans le menu MTH, 3-8 Fonctions hyperboliques et leurs inverses, 3-9 Fonctions réelles, 3-12 Fonctions spéciales, 3-15 Les constantes de la calculatrice, 3-17 Opérations sur les unités, 3-18 Le menu des unités (UNITS), 3-18 Unités disponibles, 3-20 Convertir en unités de base, 3-22 Associer des unités à des nombres, 3-24 Opérations sur les unités, 3-26 Outils de manipulation d’unités, 3-29 Constantes physiques de la calculatrice, 3-30 Fonctions de physique particulières, 3-33 Fonction ZFACTOR, 3-34 Fonction F0λ, 3-34 Fonction SIDENS, 3-34 Le menu CMPLX en passant par le menu MTH, 4-6 Menu CMPLX accessible sur le clavier, 4-8 Fonctions appliquées aux nombres complexes, 4-8 Fonctions du menu MTH, 4-9 Fonction DROITE: équation d’une ligne droite, 4-10
Saisie des objets algébriques, 5-1 Opérations simples avec les objets algébriques, 5-2 Fonctions du menu ALG, 5-3 COLLECT, 5-5 EXPAND, 5-5 Développement et mise en facteur en utilisant les fonctions trigonométriques, 5-9
Menu de conversion BASE (Option 2), 5-30 Menu de conversion TRIGONOMETRIC (Option 3), 5-30 Menu de conversion MATRICES (Option 5), 5-30 Menu de conversion REWRITE (Option 4), 5-30
Le sous-menu SOLVR, 6-31 Le sous-menu DIFFE, 6-34 Le sous-menu POLY, 6-35 Le sous-menu SYS, 6-35 Le sous-menu TVM, 6-36
Systèmes d’équations rationnelles, 7-1 Opérations avec des listes de nombres, 8-3 Changement de signe, 8-3 Addition, soustraction, multiplication, division, 8-4 Fonctions nombres réels à partir du clavier, 8-5 Fonctions réelles dans le menu MTH, 8-6 Exemples de fonctions utilisant deux arguments, 8-7 Listes de nombres complexes, 8-8 Listes d’objets algébriques, 8-9 Le menu MTH/LIST, 8-9 Manipulation des éléments d’une liste, 8-11 Taille de la liste, 8-11 Extraire et insérer des éléments dans une liste, 8-11 Emplacement d’un élément dans la liste, 8-12 Fonctions HEAD et TAIL, 8-12 Fonction SEQ, 8-13 Fonction MAP, 8-14 Définition de fonctions qui utilisent des listes, 8-14 Applications des listes, 8-16 Moyenne harmonique d’une liste, 8-17 Moyenne géométrique d’une liste, 8-18 Moyenne pondérée, 8-19 Construire un vecteur avec ARRY, 9-7 Identifier, extraire et insérer des éléments de vecteur, 9-8 Opérations simples avec des vecteurs, 9-10 Changement de signe, 9-10 Addition, soustraction, 9-10 Multiplication et division par un scalaire, 9-10 Fonction valeur absolue, 9-11 Le menu MTH/VECTOR, 9-11 Magnitude, 9-12 Produit scalaire, 9-12 Fonctions GETI et PUTI, 10-7 Fonction SIZE, 10-8 Fonction TRN, 10-8 Les listes représentent les lignes de la matrice, 10-19 Manipulation de matrices par colonnes, 10-19 Fonction COL, 10-20 Fonction COL, 10-21 Fonction COL+, 10-22 Résolution avec la matriceinverse, 11-28 Résolution par “division“ de matrices, 11-29 Résolution d’ensembles multiples d’équations avec une matrice de même coefficient , 11-30 Elimination de Gauss et de Gauss-Jordan, 11-31 Procédure pas à pas sur la calculatrice pour résoudre des systèmes linéaires, 11-42 Résolution de systèmes linéaires en utilisant les fonctions de la calculatrice, 11-45 Erreurs résiduelles dans la résolution de systèmes linéaires (Fonction RSD), 11-48 Valeurs propres et vecteurs propres, 11-49 Fonction PCAR, 11-50 Fonction EGVL, 11-50 Graphiques de fonction transcendantes, 12-9 Graphique de ln(X), 12-9 Graphe d’une fonction exponentielle, 12-12 La variable PPAR, 12-12 Fonctions inverses et leurs graphes, 12-13 Résumé du fonctionnement de la Fonction Plot, 12-15 Graphiques de fonctions trigonométriques et hyperboliques et leurs inverses, 12-19 Générer une table de valeurs pour une fonction, 12-20 La variable TPAR, 12-21 Graphiques en coordonneés polaires, 12-22 Tracer des courbes coniques, 12-24 Graphiques paramétriques, 12-26 Générer une table pour les équations paramétriques, 12-29 Tracé de la solution d’équations différentielles simples, 12-30 Graphiques Truth, 12-33
La règle de la chaîne, 13-6 Dérivées des équations, 13-7 Dérivées implicites, 13-8 Application des dérivées,13-8 Analyse des graphiques de fonctions, 13-8 Fonction DOMAIN, 13-10 Fonction TABVAL, 13-10 Fonction SIGNTAB, 13-11 Evaluation pas à pas des dérivées et des intégrales,13-18 Intégration d’une équation, 13-19 Techniques d’intégration, 13-19 Substitution ou changement de variables, 13-20 Intégration par parties et différentielles, 13-21 Intégration par fractions partielles, 13-22 Intégrales généralisée, 13-22 Intégration avec des unités, 13-23 Séries infinies, 13-25
Intégrales multiples, 14-8 Jacobienne de transformation de coordonnées, 14-9 Intégrale double en coordonnées polaires, 14-10
Définitions, 15-1 Visualisation des solutions en isoclines , 16-3 Le menu CALC/DIFF, 16-4
Fonction delta de Dirac et fonction d’étape de Heaviside, 16-16 Applications de la transformation de Laplace à la solution d’ODE linéaires, 16-18 Séries de Fourier, 16-29 Fonction de FOURIER, 16-30 Séries de Fourier pour une équation fonction, 16-31 Séries de Fourier pour une onde triangulaire, 16-37 Séries de Fourier pour une onde carrée, 16-43 Applications des séries de Fourier aux équations différentielles, 16-44 Transformations de Fourier, 16-46 Définition des transformations de Fourier, 16-49 Propriétés de la transformation de Fourier, 16-51 Transformation de Fourier Rapide (FFT), 16-52 Exemples d’application de la FFT, 16-53 Solution d'équations spécifiques différentielles de second ordre, 16-56 L’équation de Cauchy ou d’Euler, 16-57 Equation de Legendre, 16-57 Equation de Bessel, 16-58 Polynômes de Tchebychev ou Tchebycheff, 16-61 Equation de Laguerre, 16-62 Equation de Weber et polynômes Hermite, 16-63 Solutions numériques et graphiques aux ODEs, 16-64 Solution numérique d’un ODE de premier ordre, 16-64 Solution graphique d’une ODE du premier ordre, 16-66 Solution numérique à une ODE de second ordre, 16-68 Solutions graphiques pour une ODE de second ordre, 16-71 Solution numérique à une ODE de premier ordre raide, 16-73
La distribution bêta 17-8 La distribution de Weitbull, 17-8 Fonctions de distributions continues, 17-8 Distributions continues d’inférences statistiques, 17-10 Distribution normale pdf, 17-10 Distribution normale cdf, 17-11 La distribution t de Student, 17-11 La distribution chi-carré, 17-12 La distribution F, 17-13 Fonctions de distribution cumulative inverses, 17-14
Adapter les données à une fonction y = f(x), 18-11 Obtenir des statistiques de résumé additionnelles, 18-14
Le sous-menu PLOT, 18-19 Le sous-menu FIT, 18-20 Le sous-menu SUMS, 18-20 Exemple d’opérations du menu STAT, 18-21 Intervalles de confiance , 18-24 Estimation des intervalles de confiance, 18-25 Définitions, 18-26 Intervalles de confiance pour la moyenne de population quand la variance de population est connue, 18-26 Intervalles de confiance pour la moyenne de population quand la variance de population est inconnue, 18-27 Intervalle de confiance pour une proportion, 18-27 Distribution d’échantillon de statistiques de différences et de sommes, 18-28 Intervalles de confiance pour les sommes et les différences de valeurs moyennes, 18-29 Déterminer des intervalles de confiance, 18-30 Intervalles de confiance pour la variance, 18-36 Test d’hypothèses, 18-38 Procédure pour tester des hypothèses, 18-38 Erreurs des tests d’hypothèse, 18-39 Inférences concernant une moyenne, 18-40 Inférences concernant deux moyennes, 18-43 Test d’échantillon par paires, 18-44 Inférences concernant une proportion, 18-44 Tester la différence entre deux proportions, 18-46 Test d’hypothèse en utilisant les fonctions préprogrammées de la calculatrice, 18-47 Inférences concernant une variance, 18-50 Inférences concernant deux variances, 18-52
Erreur de prédiction, 18-56 Intervalles de confiance et test d’hypothèse en régression linéaire, 18-57 Procédure pour les statistiques d’inférence pour la régression linéaire en utilisant la calculatrice, 18-58 Adaptations linéaires multiples, 18-61 Adaptation polynomiale, 18-63 Sélectionner la meilleure adaptation, 18-67
Nombres hexadécimaux pour références pixel, 19-8
Personnalisation des menus, 20-1 Le menu PRG/MODES/MENU, 20-1 Numéros des menus (fonctions RCLMENU et MENU), 20-2 Menus personnalisés (fonctions MENU et TMENU), 20-2 Spécification du menu et variable CST, 20-4 Personnalisation du clavier, 20-5 Le sous-menu PRG/MODES/KEYS, 20-6 Rappel de la liste actuelle des touches définies par l’utilisateur, 20-7 Affectation d’un objet à une touche définie par l’utilisateur, 20-7 Fonctionnement des touches définies par l’utilisateur, 20-7
Le menu PRG, 21-5 Navigation dans les sous-menus RPN, 21-7 Fonctions répertoriées par sous-menu, 21-7 Raccourcis dans le menu PRG, 21-10 Séquence de touches pour les commandes couramment utilisées, 21-11 Programmes permettant de générer des listes de nombres, 21-14 Exemples de programmation séquentielle, 21-15 Programmes générés par la définition d’une fonction, 21-15 Programmes simulant une séquence d’opérations de la pile, 21-17 Entrée interactive dans les programmes, 21-20 Invite avec chaîne d’entrée, 21-22 Fonction avec chaîne d’entrée, 21-23 Chaîne d’entrée pour deux ou trois valeurs d’entrée, 21-26 Entrée via des formulaires d’entrée, 21-29 Création d’une CHOOSE boxes, 21-34 Identification de la sortie dans les programmes, 21-36 Etiquetage d’un résultat numérique, 21-36 Décomposition d’un résultat numérique étiqueté en un nombre et une étiquette, 21-36 “Désétiquetage” d’une quantité étiquetée, 21-37 Exemples de sortie étiquetée, 21-37 Utilisation d’une boîte de message, 21-41 Opérateurs relationnels et logiques, 21-47 Opérateurs relationnels, 21-47 Opérateurs logiques, 21-49 Embranchement des programmes, 21-50 Embranchement avec IF, 21-51 La construction CASE, 21-56
Erreurs et détection des erreurs, 21-70 DOERR, 21-70 ERRN, 21-71 ERRM, 21-71 Génération de graphiques avec des programmes, 22-16 Graphiques en deux dimensions, 22-17 Graphiques en trois dimensions, 22-17 La variable EQ, 22-18 Exemples de graphiques interactifs utilisant le menu PLOT, 22-18 Exemples de graphiques générés par des programmes, 22-21 Commandes de dessin pour une utilisation en programmation, 22-24 PICT, 22-25 PDIM, 22-25 LINE, 22-25 Plus d’informations sur la fonction ANIMATE, 22-36 Objets graphiques (GROBs), 22-36 Le menu GROB, 22-38 Programme avec fonctions de tracé et de dessin, 22-41 Programmation modulaire, 22-43 Exécution du programme, 22-45 Un programme pour calculer les stress principaux, 22-46 Mise en ordre des variables dans le sous-répertoire, 22-47 Deuxième exemple de calculs du cercle de Mohr, 22-48 Un formulaire d’entrée pour le programme du cercle de Mohr, 22-49
Fonctions liées aux chaînes dans le sous-menu TYPE, 23-1 Concaténation des chaînes, 23-2 Le menu CHARS, 23-2 La liste des caractères, 23-4
Description des objets de la calculatrice, 24-1 Fonction TYPE, 24-2 Fonction VTYPE, 24-2 Indicateurs de la calculatrice, 24-2 Indicateurs système, 24-3 Fonctions permettant de définir et de modifier des indicateurs, 24-3 Indicateurs utilisateur, 24-4
Le menu TIME, 25-1 Réglage de l’heure et de la date, 25-2 Outils du menu TIME, 25-2 Calculs faisant intervenir des dates, 25-4
Structure de la mémoire, 26-1 Le répertoire HOME, 26-2 Mémoire des ports, 26-2 Contrôle des objets mémoire, 26-2 Objets de sauvegarde, 26-3 Sauvegarde d’objets dans la mémoire des ports, 26-4 Sauvegarde et restauration du répertoire HOME, 26-4 Stockage, suppression et restauration d’objets de sauvegarde, 26-6 Utilisation de données figurant dans des objets de sauvegarde, 26-7 Utilisation des cartes SD, 26-7 Stockage d’objets sur la carte SD, 26-8 Rappel d’un objet de la carte SD, 26-9 Purge d’un objet de la carte SD, 26-9 Utilisation des bibliothèques, 26-10 Installation et adjonction d’une bibliothèque, 26-10 Numéros des bibliothèques, 26-10 Suppression d’une bibliothèque, 26-11 Création de bibliothèques, 26-11 Pile de sauvegarde, 26-11
Annexe A – Utiliser les formules de saisie des données, A-1 Annexe B – Clavier de la calculatrice, B-1 Annexe C – Paramètres CAS, C-1 Annexe D – Lot de caractères supplémentaires, D-1 Annexe E – L’arborescence de sélections de l'Editeur d'équation, E-1 Annexe F – Le menu d’applications (APPS) , F-1 Prise en main Le but des exercices suivants est de vous familiariser avec le boîtier de votre calculatrice.
La calculatrice nécessite 3 piles AAA(LR03) comme source d’alimentation et une pile CR2032 au lithium comme pile de secours pour la mémoire. Avant d’utiliser la calculatrice, veuillez installer les piles de la manière suivante. Pour installer les piles principales a. Ouvrez le compartiment des piles comme illustré ci-dessous.
Pour installer la pile de secours a. Appuyez sur le support, poussez ensuite sur la platine dans la direction indiquee sur l'illustration, puis soulevez-la.
Après avoir installé les piles, appuyez sur [ON] pour allumer la calculatrice. Attention : Si un message apparaît à l’écran vous signalant de changer cette pile, remplacez-la au plus tôt. En revanche, évitez d’enlever la pile de secours en même temps que les piles principales, afin de ne pas perdre de données.
La touche $ est situee en bas a gauche du clavier. Appuyez une seule fois pour allumer votre calculatrice. Pour éteindre la calculatrice, appuyez sur le bouton rouge @ (première touche de la deuxième ligne en partant du bas sur le clavier) puis sur la touche $. Notez que le mot OFF est indiqué en rouge dans le coin supérieur droit de la touche $, pour rappeler l’utilisation de la commande OFF.
Vous pouvez ajuster le contraste de l’écran en maintenant la touche $ enfoncée tout en appuyant sur les touches + ou -. La combinaison $ (maintenue enfoncée) et + rend l’écran plus sombre. La combinaison $ (maintenue enfoncée) et - rend l’écran plus clair.
Allumez une nouvelle fois votre calculatrice. L'écran devrait être comme cidessous.
En bas de l’écran se trouvent une série d’indicateurs, avec les noms suivants : @EDIT @VIEW @@ RCL @@ @@STO@ ! PURGE !CLEAR qui sont associés aux six touches de menu système, F1 à F6: ABCDEF Les six indicateurs affichés en bas de l’écran changeront selon le menu affiché. Cependant, A sera toujours associé avec le premier indicateur, B avec le deuxième indicateur, et ainsi de suite.
Les six indicateurs associés avec les touches A à Fconstituent le menu des fonctions. Comme la calculatrice ne comporte que 6 touches de menu, seulement 6 indicateurs peuvent être affichés au même moment. Cependant,
Le menu d’outils (TOOL) est décrit en détail dans la section suivante. Pour le moment, nous allons illustrer quelques propriétés des menus qui vous seront utiles pour l’utilisation générale de votre calculatrice.
Les menus, aussi appelés menus SOFT, associent les indicateurs du bas de l’écran avec les six touches de menu (A à F). En appuyant sur la touche de menu appropriée, la fonction indiquée est activée. Par exemple, lorsque le menu d’outils TOOL est activé, le fait d’appuyer sur la touche @CLEAR (F) activera la fonction effacer CLEAR, qui efface (se laver) le contenu de l’écran. Pour essayer cette fonction, entrez un nombre, par exemple, 123`, et appuyez ensuite sur la touche F. On utilise généralement les menus SOFT pour sélectionner une fonction parmi un certain nombre de fonctions. Cependant, les menus SOFT ne sont pas le seul moyen d’accéder aux fonctions dans la calculatrice. L’autre méthode est appelé CHOOSE boxes. Pour voir un exemple de l’une de ces fenêtres, activez le menu TOOL (appuyez sur I) et appuyez ensuite sur la combinaison de touches ‚ã (associée à la touche 3). Ceci ouvrira la CHOOSE boxes suivante :
Si vous voulez revenir en haut de la page de menu de la CHOOSE box, utilisez „—. Pour aller en bas de la page, utilisez „˜. Pour revenir tout en haut du menu général, utilisez ‚—. Pour vous rendre tout à la fin du menu général, utilisez ‚˜.
Vous pouvez sélectionner le format dans lequel vos menus seront affichés en changeant un paramètre des indicateurs système de la calculatrice (un indicateur système, ou flag, est une variable de la calculatrice qui commande une opération ou un mode de la calculatrice. Pour en savoir plus sur les indicateurs système, reportez-vous au Chapitre 24). On peut activer l’indicateur système 117, pour obtenir soit des menus SOFT, soit des CHOOSE boxes. Pour avoir accès à cet indicateur, composez : H @)FLAGS —„ —˜ L’écran suivant s’affichera sur la calculatrice et la ligne qui commence par le nombre 117 sera surlignée:
Si maintenant vous appuyez sur ‚ã, six indicateurs de menu apparaîtront à l’écran, en tant que première page du menu de pile STACK, à la place de la CHOOSE box qui était affichée auparavant :
L pour avancer à la page suivante ou composez „«(associée à la touche L) pour revenir à la page précédente. Les figures suivantes indiquent les différentes pages du menu BASE accessibles en appuyant deux fois sur la touche L : En appuyant une fois de plus sur la touche L on revient à la première page du menu. Note: Si l’indicateur système 117 se trouve en position menu SOFT, la combinaison de touches ‚(maintenu) ˜, fera apparaître la liste des fonctions disponibles pour le menu actif. Par exemple, pour les deux premières pages du menu BASE, on obtient:
H @)FLAGS —„ —˜@@CHK@@ @@@OK@@@ @@@OK@@@.
CHOOSE boxes sont présentées dans le Chapitre 2 de ce guide.
TOOL sont associées aux opérations liées à la manipulation de variables (voir la section sur les variables dans ce Chapitre): @EDIT A EDIT - Pour afficher le contenu d’une variable (voir Chapitre 2 de ce guide et appendice L pour plus d'information). @VIEW B VIEW – Pour voir le contenu d’une variable @@ RCL @@ C ReCaLl – Pour rappeler le contenu d’une variable @@STO@ D STOre – Pour mémoriser le contenu d’une variable ! PURGE E PURGE – Pour effacer une variable de la mémoire CLEAR F CLEAR – Pour effacer l’écran ou la pile Comme la calculatrice ne comporte que 6 touches de menu, seuls 6 indicateurs peuvent être affichés au même moment. Cependant, un menu peut comporter plus de six choix. Chaque groupe de 6 choix est appelé une Page menu. Ce menu TOOL comporte en fait huit choix disposés en deux pages. La page suivante, qui contient les deux choix suivants du menu, est accessible en appuyant sur la touche L(du menu NeXT). Cette touche est la troisième touche en partant de la gauche dans la troisième ligne des touches du clavier. Dans ce cas, seules les deux premières touches de menu sont associées à des commandes. Ces commandes sont : @CASCM A CASCMD: CAS CoMmanD, à utiliser pour lancer une commande depuis le CAS en choisissant dans une liste @HELP B HELP: Commande d’aide qui décrit les commandes disponibles
En appuyant sur la touche I (troisième touche en partant de la gauche dans la deuxième ligne des touches du clavier), on dispose d’une autre façon de faire réapparaître le menu TOOL.
La calculatrice contient une horloge interne. On peut afficher cette horloge en permanence sur l’écran et l’utiliser en tant que réveil ou pour lancer des tâches planifiées. Cette section expliquera comment régler la date et l’heure et donnera également les bases pour utiliser les CHOOSE boxes et entrer des données dans les boîtes de dialogue. Les boîtes de dialogue de la calculatrice sont semblables à celles d’un ordinateur. Pour régler la date et l’heure, on utilise la boîte de sélection affichable par l’une des fonctions de la touche 9. En combinant le bouton rouge majuscule de droite, ‚, avec la touche 9, la boîte de sélection de temps TIME s’active. On peut également utiliser, pour cette opération, ‚Ó. La boîte de sélection TIME s’affiche ci-dessous :
3. Set time, date... En utilisant la touche directionnelle vers le bas, ˜, surlignez cette option et appuyez sur la touche de menu !!@@OK#@ F.Le formulaire d’entrée (voir Appendice 1-A) pour ajuster l’heure et la date apparaît :
25 !!@@OK#@ . Le champ des secondes est maintenant surligné. Supposons que nous voulions entrer 45 dans le champ des secondes, nous composons : 45 !!@@OK#@ Le champ de format de l’heure est alors surligné. Pour changer la valeur initiale de ce champ, vous pouvez soit appuyer sur la touche W (deuxième touche en partant de la gauche sur la cinquième ligne de touches en partant du bas du clavier) soit appuyer sur la touche de menu @CHOOS ( B). •
PM : indique que l’heure affichée est en mode PM (après-midi) 24-hr : indique que l’heure affichée utilise le format de 24 heures où, 18:00, par exemple, est équivalent à 6pm
Appuyez sur la touche de menu !!@@OK#@ F pour valider le choix. Régler la date Après avoir choisi l’option de format de l’heure, le formulaire SET TIME AND DATE apparaîtra ainsi :
Le clavier de la calculatrice La figure ci-dessous représente un schéma du clavier de la calculatrice et indique les numéros des lignes et des colonnes.
…N Fonction right-shift, pour activer la fonction CATalogue ~p Fonction ALPHA, pour entrer la lettre P majuscule ~„p Fonction ALPHA-Left-Shift, pour entrer la lettre P minuscule ~…p Fonction ALPHA-Right-Shift, pour entrer le symbole P Des six fonctions associées à une touche, seules les quatre premières sont indiquées sur le clavier. Ceci est la représentation du clavier.
Pour plus d’informations sur l’utilisation du clavier de la calculatrice, reportezvous à l’Appendice B.
Dans ce paragraphe, nous supposons que vous êtes maintenant familiarisé, au moins en partie, avec l’utilisation des boîtes de sélection et de dialogue (si vous ne l’êtes pas, veuillez vous reporter au Chapitre 2). Appuyez sur la touche H (deuxième touche en partant de la gauche sur la deuxième ligne de touches en partant du haut) pour afficher la fenêtre CALCULATOR MODES suivante :
La calculatrice comporte deux modes d’opération : le mode Algebraic et le mode Reverse Polish Notation (RPN). Le mode par défaut est le mode Algébrique (comme indiqué sur la figure ci-dessus), mais, les utilisateurs des calculatrices HP précédentes sont certainement davantage habitués au mode RPN. Pour sélectionner un mode d’opération, ouvrez d’abord la fenêtre CALCULATOR MODES, en appuyant sur la touche H. Le champ Operating Mode apparaît surligné. Sélectionnez le mode Algebraic ou RPN soit en utilisant la touche \ (deuxième touche en partant de la gauche de la cinquième ligne depuis le bas du clavier), soit en appuyant sur la touche menu @CHOOS ( B). Si vous utilisez cette dernière méthode, activez les touches directionnelles vers le bas et vers le haut, —˜, pour sélectionner le mode avant d’appuyer sur la touche menu !!@@OK#@ pour valider l’opération. Pour illustrer la différence entre ces deux modes d’opération, nous allons calculer l’expression suivante dans les deux modes :
Les chiffres entiers utilisés ci-dessus, c’est-à-dire, 3, 5, 1, représentent des chiffres exacts. Par contre, le chiffre EXP(2.5) ne peut pas être écrit en tant que chiffre entier et par conséquent, il est nécessaire de changer le mode sur Approx] :
R!Ü3.*!Ü5.1./ !Ü3.*3.™™ Vous remarquerez qu’il apparaît plusieurs niveaux de sortie numérotés 1, 2, 3, etc.…, de bas en haut. On appelle cela la pile de la calculatrice. Les différents niveaux sont appelés les niveaux de la pile et ainsi on a le niveau de pile 1, le niveau de pile 2, etc. En fait, RPN signifie que, plutôt que d’écrire une opération telle que 3 + 2, dans la calculatrice en tapant 3+2`, il faut écrire en premier les opérandes , dans le bon ordre, puis l’opérateur, c'est-à-dire, 3`2`+. Au fur et à mesure que vous entrez les opérandes, ils occupent des niveaux de pile différents. En entrant 3` on place le chiffre 3 dans le niveau de pile 1. Ensuite, en entrant 2` on pousse le nombre 3 vers le haut pour occuper le niveau de pile 2. Enfin, en appuyant sur +, on indique à la calculatrice d’appliquer l’opérateur ou programme + aux objets qui occupent les niveaux 1 et 2. Le résultat, 5, est alors placé dans le niveau 1. Il est plus facile d'écrire cette opération en utilisant : 3`2+. Essayons d’autres opérations simples avant d’essayer l’expression plus compliquée que nous avons utilisée plus haut pour le mode d’opération algébrique : 123/32 123`32/ 3 monte au niveau 3 Tapez 3 et multipliez, 9 apparaît dans le niveau 1 1/(3×3), dernière valeur dans le niv. 1; 5 dans le niveau 2; 3 dans le niveau 3 5 - 1/(3×3), occupe maintenant le niveau 1; 3 dans le niveau 2 3× (5 - 1/(3×3)), occupe maintenant le niveau 1. Entrez 23 dans le niveau 1, 14.66666 monte au niveau 2. Entrez 3, calculez 233 dans le niveau 1. 14.666 dans niv. 2. (3× (5-1/(3×3)))/233 dans le niveau 1 Entrez 2.5 dans le niveau 1 e2.5, arrive au niveau 1, le niveau 2 contient la valeur précédente. (3× (5 - 1/(3×3)))/233 + e2.5 = 12.18369, dans niv. 1. √((3× (5 - 1/(3×3)))/233 + e2.5) = 3.4905156, dans niv. 1
‚OR3.*!Ü5.-1/3.*3. ——————— /23.Q3™™+!¸2.5` L’expression obtenue est affichée dans le niveau de pile 1, comme indiqué cidessous : RPN, appuyer sur ENTER, alors que la ligne de commande est vide, a pour effet d’exécuter la fonction DUP qui copie le contenu du niveau 1 de la pile dans le niveau 2 de la pile (et repousse tous les autres niveaux de pile un cran vers le haut). Ceci est très utile, comme le montre l'exemple précédent. Pour basculer entre les modes d’opération ALG et RPN, vous pouvez aussi activer/désactiver l’indicateur système 95 par la séquence de touches suivante : H @)FLAGS —„—„—„ — @@CHK@@ @@OK@@ @@OK@@ Vous pouvez également utiliser l’un des raccourcis suivants:
Pour sélectionner un format numérique, ouvrez d’abord la fenêtre CALCULATOR MODES en appuyant sur la touche H. Ensuite, utilisez la flèche vers le bas, ˜, pour sélectionner l’option Number format. La valeur par défaut est Std, ou format Standard. Dans le format standard, la calculatrice affiche les nombres à virgule avec la précision maximale supportée par la calculatrice (12 chiffres significatifs). Pour en savoir plus sur les réels, reportez--vous au Chapitre 2 de ce guide. Pour illustrer ceci ainsi que les autres formats numériques, essayez les exercices suivants : •
Ce mode est le mode le plus utilisé car il affiche les nombres dans leur notation la plus fréquente. Appuyez sur la touche menu !!@@OK#@ avec le paramètre Number format dans l’état Std, pour revenir à l’affichage de la calculatrice. Entrez le nombre 123.4567890123456. Notez que ce chiffre contient 16 chiffres significatifs. Appuyez sur la touche `. Le nombre est arrondi avec le maximum de 12 chiffres significatifs et s’affiche comme indiqué ci-dessous :
Des exemples supplémentaires de nombres affichés en format standard sont présentés ci-dessous :
à l’écran derrière la virgule. Appuyez sur la touche !!@@OK#@ pour revenir en mode d’affichage normal. Le nombre apparaît maintenant ainsi :
12 chiffres significatifs dans la mémoire de la calculatrice. Si vous changez le nombre de décimales à afficher, vous verrez réapparaître les décimales supplémentaires.
Ensuite, utilisez la flèche vers le bas ˜, pour sélectionner l’option Number format. Appuyez sur le menu @CHOOS et la touche ( B), puis sélectionnez l’option Scientific avec la touche directionnelle vers le bas ˜. Gardez le nombre 3 en face de Sci. (on peut changer ce nombre de la même manière qu’on a pu changer le nombre de décimales de l’option Fixed dans l'exemple ci-dessus).
(indiqué ci-dessus) représente le nombre de chiffres significatifs après la virgule. La notation scientifique comprend toujours un nombre entier,
Ensuite, utilisez la flèche vers le bas ˜, pour sélectionner l’option Number format. Appuyez sur le menu @CHOOS et la touche ( B) et sélectionnez l’option Engineering avec la touche directionnelle vers le bas ˜. Conservez le nombre 3 en face de Eng. (on peut changer ce nombre de la même manière qu’on a pu changer le nombre de décimales de l’option Fixed dans l’un des exemples précédents).
• Grades: Il y a 400 grades (400 g) dans un cercle ou 100 grades (100 g) dans un angle droit. Cette notation semblable aux degrés a été introduite
La mesure d’angle affecte les fonctions trigonométriques telles que SIN, COS, TAN et les fonctions qui leurs sont associées. Pour changer le mode de mesure d’angles, suivez la procédure suivante : • Appuyez sur la touche H. Ensuite, appuyez à deux reprises sur la touche directionnelle vers le bas, ˜. Sélectionnez le mode de Mesure d’Angles soit en utilisant la touche \ (deuxième à partir de la gauche dans la cinquième ligne depuis le bas du clavier), soit en appuyant sur la touche de menu @CHOOS ( B). Si vous utilisez cette dernière méthode, utilisez les touches directionnelles vers le haut et vers le bas,— ˜, pour sélectionner le mode choisi, et appuyez sur la touche de menu !!@@OK#@ F pour terminer l’opération. Par exemple, sur l’écran suivant, le mode Radians a été sélectionné :
Le système de coordonnées affecte la manière dont les vecteurs et les nombres complexes sont affichés et saisis. Pour en savoir plus sur les nombres complexes et les vecteurs, reportez--vous respectivement aux Chapitres 4 et 9. Les vecteurs bi- et tri-dimensionnels et les nombres complexes peuvent être représentés dans l’un des 3 systèmes de coordonnées : le système cartésien (bi-dimensionnel) ou rectangulaire (tri-dimensionnel), le système cylindrique (tri-dimensionnel) ou polaire (bi-dimensionnel) et le système sphérique (tridimensionnel uniquement). Dans un système de coordonnées cartésien ou rectangulaire, un point P a trois coordonnées linéaires (x,y,z) mesurées depuis l’origine le long de chacun des trois axes perpendiculaires entre eux (en système bi-dimensionnel, z vaut 0). Dans un système de coordonnées cylindrique ou polaire, les coordonnées d’un point sont notées (r,θ,z), où r est la distance radiale mesurée depuis l’origine dans le plan xy, θ est l’angle
_Key Click : Lorsque cette option est sélectionnée, chaque touche produit un bruit de “clic”. _Last Stack : Garde en mémoire le contenu de la dernière donnée entrée dans la pile pour l’utiliser avec les fonctions UNDO et ANS (voir Chapitre 2). L’option _Beep est utile pour prévenir l’utilisateur en cas d’erreur. Nous vous recommandons de désactiver cette option si vous utilisez votre calculatrice en classe ou dans une bibliothèque. L’option _Key Click est utile pour vérifier, de manière auditive, que chaque commande a été entrée comme voulu. L’option _Last Stack est particulièrement utile pour recopier la dernière opération au cas où on voudrait la réutiliser pour un nouveau calcul. Pour activer ou désactiver l’une de ces trois options, appuyez d’abord sur la touche H. Ensuite, • Utilisez la flèche vers le bas ˜, quatre fois, pour sélectionner l’option _Last Stack. Pour modifier la sélection, appuyez sur la touche de menu @@CHK@@ (c’est-à-dire la touche B).
• Variable indépendante par défaut • Modes numérique et symbolique • Modes exact et d’approximation • Modes diffus et non-diffus • Mode pas à pas pour les opérations • Format de puissance croissante pour les polynômes • Mode rigoureux • Simplification des expression irrationnelles Les détails des paramètres du CAS sont présentés à l’Appendice C.
Vous pouvez personnaliser l’affichage de la calculatrice en sélectionnant différents modes d’affichage. Pour voir les différents paramètres de cette option, procédez comme suit : • D'abord, appuyez sur la touche H pour activer la fenêtre CALCULATOR MODES. Dans la fenêtre CALCULATOR MODES, appuyez sur la touche de menu @@DISP@ (D) pour afficher la fenêtre DISPLAY MODES.
Pour sélectionner la police d’affichage, surlignez le champ en face de l’option Font: dans la fenêtre DISPLAY MODES et utilisez la touche @CHOOS (B). Après avoir sélectionné et désélectionné toutes les options voulues dans la fenêtre DISPLAY MODES, appuyez sur la touche de menu @@@OK@@@. Cela vous ramènera à la fenêtre CALCULATOR MODES. Pour revenir en mode d’affichage normal de la calculatrice à ce moment-là, appuyez encore une fois sur la touche de menu @@@OK@@@.
Changer la police d’affichage vous permet de personnaliser votre calculatrice comme vous le souhaitez. En utilisant une police de taille 6, par exemple, vous pouvez afficher jusqu’à 9 niveaux de pile ! Suivez ces instructions pour choisir votre police d’affichage : D'abord, appuyez sur la touche H pour activer la fenêtre CALCULATOR MODES. Dans la fenêtre CALCULATOR MODES, appuyez sur la touche de menu @@DISP@ (D) pour afficher la fenêtre DISPLAY MODES. Le champ Font: est surligné et l’option Ft8_0:system 8 est sélectionnée. C’est la valeur par
(B), vous obtiendrez la liste des polices disponibles dans le système, comme indiqué ci-dessous :
6) et l’option de navigation. Cette dernière vous permettra de parcourir la mémoire de la calculatrice pour y chercher des polices supplémentaires que vous avez pu créer (voir Chapitre 23) ou télécharger dans la calculatrice. Essayez de modifier la taille de la police en tailles 7 et 6. Appuyez sur la touche de menu OK pour valider la sélection. Lorsque vous en avez terminé avec le choix de la police, appuyez sur la touche de menu @@@OK@@@ pour revenir à la fenêtre CALCULATOR MODES. Pour repasser en mode d’affichage normal à ce moment-là, appuyez encore une fois sur la touche de menu @@@OK@@@ et vous pourrez constater que le mode d’affichage de la pile a changé pour s’accorder avec cette nouvelle police.
D'abord, appuyez sur la touche H pour activer la fenêtre CALCULATOR MODES. Dans la fenêtre CALCULATOR MODES, appuyez sur la touche de menu @@DISP@ (D) pour afficher la fenêtre DISPLAY MODES. Appuyez une fois sur la touche directionnelle vers le bas, ˜, pour arriver sur la ligne Edit . Cette ligne comporte trois propriétés qui peuvent être modifiées. Lorsque ces propriétés sont sélectionnées (validées), cela active les effets suivants : _Small _Full page _Indent Auto-indexation du curseur après un retour à la ligne
Chapitre 2 de ce guide.
D'abord, appuyez sur la touche H pour activer la fenêtre CALCULATOR MODES. Dans la fenêtre CALCULATOR MODES, appuyez sur la touche de menu @@DISP@ (D) pour afficher la fenêtre DISPLAY MODES. Appuyez deux fois sur la touche directionnelle vers le bas, ˜, pour arriver sur la ligne Stack . Cette ligne comporte deux propriétés qui peuvent être modifiées. Lorsque ces propriétés sont sélectionnées (validées), cela active les effets suivants : _Small Réduit la taille de la police. Ceci permet de maximiser la quantité d’informations affichée à l’écran. Notez que ce choix annule le choix de la police d’affichage de la pile. _Textbook Affiche les expressions mathématiques en notation mathématique graphique. Pour illustrer ces paramètres, en mode algébrique ou en mode RPN, utilisez l’Editeur d’équation pour entrer l’intégrale infinie suivante : ‚O…Á0™„虄¸\x™x` En mode algébrique, l’écran suivant montre le résultat de cette séquence de touches, alors qu’aucune des options _Small ou _Textbook n'est sélectionnée :
Réduit la taille de la police pour l’Editeur d’équations _Small Stack Disp Affiche la police de petite taille dans la pile après avoir utilisé l’Editeur d’équations Les instructions détaillées sur l’utilisation de l’Editeur d’équations (Equation Writer – EQW) sont présentées dans une autre partie de ce manuel. Pour l’exemple de l’intégrale
Header. Ceci signifie que la partie supérieure de l’écran contiendra deux lignes, l’une affichant les paramètres courants de la calculatrice et la seconde affichant le sous-répertoire actuellement en mémoire dans la calculatrice (ces lignes sont décrites précédemment dans ce manuel). L’utilisateur peut choisir de fixer ce paramètre à 1 ou à 0 pour réduire le nombre de lignes d’en-tête affichées.
D'abord, appuyez sur la touche H pour activer la fenêtre CALCULATOR MODES. Dans la fenêtre CALCULATOR MODES, appuyez sur la touche de menu @@DISP@ (D) pour afficher la fenêtre DISPLAY MODES. Appuyez à quatre reprises sur la touche directionnelle vers le bas, ˜, pour atteindre la ligne d’en-tête (Header). Le champ Header sera surligné. Utilisez la touche directionnelle vers la droite (™) pour sélectionner le symbole souligné en face des options _Clock ou _Analog. Appuyez sur la touche de menu @@CHK@@ jusqu’à ce que vous ayez obtenu le paramètre désiré. Si l’option _Clock est sélectionnée, l’heure et la date apparaîtront dans le coin en haut à droite de l’écran. Si l’option _Analog est également sélectionnée, une horloge analogique, apparaîtra dans le coin en haut à droite de l’écran, à la place de l’horloge numérique. Si l’option _Clock n’est pas sélectionnée, où si l’entête est absente ou est trop petite, la date et l’heure ne seront pas affichées à l’écran.
Réel. Ces objets représentent un nombre, positif ou négatif, avec 12 chiffres significatifs et un exposant compris entre -499 et +499. Des exemples possibles de réels sont : 1., -5., 56.41564 1.5E45, -555.74E-95 Pour saisir un nombre réel, vous pouvez avoir recours à la touche V pour entrer l’exposant ainsi qu’à la touche \ pour remplacer le signe de l’exposant ou la mantisse. Vous remarquerez que les réels doivent être entrés avec un point décimal, même si le nombre n’a pas de partie décimale. Sinon, le nombre est considéré comme entier et est alors un objet différent de la calculatrice. Les réels se comportent comme tout nombre couramment utilisé dans les expressions mathématiques. Entiers. Ces objets représentent des nombres entiers (nombre sans partie décimale) et n’ont pas de limites (mis à part les limitations de la mémoire de la calculatrice). Des exemples possibles d’entiers sont : 1, 564654112, -413165467354646765465487. Vous remarquerez que ces nombres n’ont pas de point décimal. En raison de leur format, les nombres entiers sont toujours à leur degré maximal de précision dans les calculs. Par exemple, une opération telle que 30/14, avec des nombres entiers, renvoie le résultat 15/7 et non 2.142…
Si le mode d’approximation (APPROX) est actif dans le système CAS (voir Appendice C), les entiers seront automatiquement convertis en réels. Si vous ne prévoyez pas d’utiliser le système CAS, il peut être utile de sélectionner directement le mode d’approximation. Reportez--vous à l’appendice C pour plus de détails. Il est relativement courant de mélanger les entiers et les réels, ainsi que de prendre un entier pour un réel. La calculatrice détectera de telles erreurs et vous proposera de passer en mode d’approximation. Nombres complexes, Les nombres complexes sont une extension des nombres réels et comportent le nombre imaginaire unitaire, i 2= -1. Un nombre complexe, tel que 3 + 2i, s’écrit (3, 2) dans la calculatrice. Les nombres complexes peuvent être affichés soit en mode Cartésien, soit en mode polaire, suivant l’option sélectionnée. Vous remarquerez cependant que les nombres complexes sont toujours enregistrés en format Cartésien et que seul l’affichage est affecté par cette option. Ceci permet à la calculatrice de garder une précision maximale durant les calculs. La plupart des fonctions mathématiques s’appliquent aux nombres complexes. Il n’est pas nécessaire d’utiliser une fonction spéciale “+ complexe“ pour additionner des nombres complexes et vous pouvez utiliser la même fonction + que pour les entiers ou les réels. Les opérations sur les vecteurs et les matrices utilisent des objets de type 3, tels que les tableaux de réels et, si nécessaire, de type 4, avec les tableaux de complexes. Les objets de type 2, tels que les chaînes de caractères, sont simplement des lignes de texte (entre apostrophes) créées avec le clavier alphanumérique. Une liste est simplement une collection d’objets entrés entre accolades et séparés par des espaces en mode RPN (la touche espace est notée #) ou des virgules en mode Algébrique. Les listes, qui sont des objets de type 5,
Les objets de type 8 sont les programmes en langage User RPL. Ce sont simplement des ensembles d’instructions rentrés entre les symboles << >>. Les objets associés aux programmes sont les objets de type 6 et 7, qui sont respectivement les Noms Globals et Locaux. Ces noms, ou variables, sont utilisés pour mémoriser tout type d’objets. Le concept de variable globale ou locale est lié à la portée de telle ou telle variable dans un programme donné. Un objet algébrique, ou plus simplement, un élément algébrique (objet de type 9), est une expression algébrique valide saisie entre apostrophes. Les entiers binaires, objets de type 10, sont utilisés dans les applications informatiques. Les objets graphiques, objets de type 11, contiennent les graphes générés par la calculatrice. Les objets étiquettes, objets de type 12, sont utilisés en sortie d’un certain nombre de programmes pour en identifier les résultats. Par exemple, dans l’objet étiqueté : moyenne : 23.2, le mot moyenne : est l’étiquette utilisée pour identifier le nombre 23.2 en tant que moyenne d’un échantillon par exemple. Les objets d’unités, objets de type 13, sont des valeurs numériques auxquelles sont attachées des unités physiques. Les répertoires, objets de type 15, sont des zones de la mémoire utilisées pour organiser les variables de la même façon que les répertoires d’un ordinateur. Les bibliothèques, objets de type 16, sont des programmes stockés dans des cases mémoires et accessibles depuis n’importe quel répertoire (ou sousrépertoire) de votre calculatrice. Par leur fonctionnement, elles ressemblent aux fonctions built-in, objets de type 18, et aux commandes built-in, objets de type 19.
Dans cette section, nous présentons des exemples d’affichage d’expressions directement sur l’écran de la calculatrice (affichage de l’historique en mode Aalgébrique ou de la pile en mode RPN).
Dans cet exemple, nous sélectionnons le mode Algébrique et choisissons le format Fix avec 3 décimales pour l’affichage. Nous allons entrer l’expression arithmétique suivante :
7.5 Dans le cas présent, lorsque vous saisissez l’expression directement dans la pile, dès que vous appuyez sur `, la calculatrice va essayer de calculer le résultat de l’expression. Cependant, si l’expression est saisie entre deux apostrophes, la calculatrice va reproduire l’expression telle quelle. Dans l’exemple suivant, nous entrons la même expression que précédemment mais en utilisant des apostrophes. Dans ce cas, nous nous plaçons en mode d’opération algébrique, en mode CAS Exact (désélectionnez le mode _Approx), et en mode d’affichage Textbook. La séquence de touches utilisée pour entrer l’expression est la suivante : .5*„Ü1+1/7.5™/ „ÜR3-2Q3` Le résultat apparaîtra comme indiqué ci-dessous :
7.5 L’expression incorrecte a été plutôt que l’expression souhaitée : 5 ⋅ š™, pour déplacer le curseur à l’endroit approprié pour l’édition, et la touche effacer, ƒ, pour effacer les caractères.
• Appuyez sur la touche directionnelle vers la droite, ™, jusqu’à ce que le curseur se trouve juste à droite du point décimal dans le terme 1.75 • Appuyez deux fois sur la touche effacer, ƒ, pour enlever le caractère 1. • Appuyez une fois sur la touche directionnelle vers la droite, ™, pour déplacer le curseur et le placer à la droite du 7 • Entrez un point décimal en tapant . • Appuyez sur la touche directionnelle vers la droite, ™, jusqu’à ce que le curseur arrive juste après le 5 • Appuyez une fois sur la touche effacer, ƒ, pour enlever le • •
Les expressions algébriques comportent non seulement des nombres, mais aussi des noms de variables. Comme exemple, nous allons entrer l’expression algébrique suivante : Appuyez sur ` pour obtenir le résultat suivant :
Écrire une expression algébrique dans la ligne d’édition est semblable à l’écriture d’une expression arithmétique (se reporter aux exercices précédents). Supposons que nous voulions modifier l’expression entrée ci-dessous pour la remplacer par
2L 1 + Le curseur d’édition apparaît sous la forme d’une flèche vers la gauche qui clignote sur le premier caractère de la ligne éditée. Comme dans l’un des exercices précédents, nous allons utiliser les touches directionnelles vers la
Appuyez sur la touche directionnelle vers la droite, ™, jusqu’à ce que le curseur arrive juste après le y Appuyez une fois sur la touche effacer, ƒ, pour enlever le caractère y. Tapez ~„x pour entrer un x Appuyez quatre fois sur la touche directionnelle vers la droite, ™, pour déplacer le curseur et le placer à la droite de * Tapez R pour entrer le symbole de la racine carrée Tapez „Ü pour entrer une paire de parenthèses (les deux parenthèses apparaissent simultanément) Appuyez une fois sur la touche directionnelle vers la droite, ™, et une fois sur la touche effacer, ƒ, pour enlever la parenthèse de droite de la paire qui vient d’être ajoutée Appuyez 4 fois sur la touche directionnelle vers la droite, ™, pour déplacer le curseur à la droite de b Tapez „Ü pour entrer une deuxième paire de parenthèses Appuyez une fois sur la touche effacer, ƒ, pour enlever la parenthèse de gauche de la paire qui vient d’être ajoutée Appuyer sur ` pour retourner en mode d’affichage normal.
1). Après avoir effectué ce changement, l'affichage est le suivant :
Vous obtenez l'affichage suivant :
@EDIT : permet à l’utilisateur d’éditer une entrée dans l’éditeur de ligne (voir exemples précédents) @CURS : surligne l’expression et y ajoute un curseur graphique @BIG : si activée (on peut vérifier l’activation par le caractère qui apparaît sur l’indicateur) la police d’écriture utilisée pour l’édition est de taille 8 (la plus grande police disponible) @EVAL : vous permet de calculer, de façon symbolique ou numérique, l’expression surlignée dans l’Editeur d’équations (de la même façon que la touche …µ) @FACTO : vous permet de factoriser l’expression surlignée dans l’Editeur d’équations (si une factorisation est possible) @SIMP : vous permet de simplifier l’expression surlignée dans l’Editeur d’équations (autant que possible suivant les règles algébriques du CAS) Si vous appuyez sur la touche L deux options de menu supplémentaires s’affichent, comme indiqué ci-dessous :
@HELP: active la fonction d’aide du CAS qui fournit des informations et des exemples pour les commandes du CAS. Des exemples d’utilisation de l’Editeur d’équations sont donnés ci-dessous.
La méthode pour saisir des expressions arithmétiques avec l’Editeur d’équations est très similaire à la façon dont on entre des expressions arithmétiques entre apostrophes dans la pile. Seule grande différence : les expressions produites avec l’Editeur d’équations apparaissent en style “textbook” au lieu d’apparaître comme une ligne d’écriture. Donc, quand un signe de division (par exemple : /) est utilisé dans l’Editeur d’équations, une fraction est créée et le curseur descend dans le numérateur. Pour déplacer le curseur, vous devez utiliser la touche directionnelle vers le bas. Par exemple, essayez la séquence de touches suivante dans l’Editeur d’équations : 5/5+2 Il en résulte l’expression suivante :
*„Ü5+1/3 L’expression saisie apparaît comme suit : Pour insérer le dénominateur 2 dans l’expression, nous devons surligner l’expression π2 dans sa totalité. Pour cela, nous appuyons une seule fois sur la touche directionnelle vers la droite (™). A ce moment-là, nous entrons la séquence suivante : /2 L’expression apparaît maintenant ainsi :
Pour afficher l’expression en caractères de plus petite taille (ce qui peut être utile si l’expression est longue et compliquée), appuyez simplement sur la touche de menu @BIG C. Dans cet exemple, l’affichage sera alors le suivant :
‘. Ensuite, appuyez sur la touche de menu @EVAL D. Si votre calculatrice est en mode de CAS Exact (c’est-à-dire si le mode _Approx CAS n’est pas activé), alors vous obtenez le résultat symbolique suivant :
En supposant maintenant que vous ne vouliez évaluer que la partie de l’expression entre parenthèses dans le dénominateur de la première fraction de l’expression ci-dessus. Il faut utiliser les touches directionnelles pour sélectionner cette partie de l’expression. Voici comment procéder : ˜ Surligne seulement la première fraction ˜ Surligne le numérateur de la première fraction ™ Surligne le dénominateur de la première fraction ˜ Surligne le premier terme du dénominateur de la première fraction ™ Surligne le deuxième terme du dénominateur de la première fraction ˜ Surligne le premier facteur du deuxième terme du dénominateur de la première fraction ™ Surligne l’expression entre parenthèses du dénominateur de la première fraction
Essayons maintenant d’obtenir une évaluation numérique de ce terme. Utilisez …ï , ce qui donne :
(ƒ) pour changer la forme du curseur en curseur d’insertion. Appuyez à nouveau sur ƒ pour effacer le 2 et cliquez sur 3 pour entrer le chiffre 3. L’affichage est alors le suivant :
π 2/3. Appuyez une fois sur la touche directionnelle vers la gauche (š) pour surligner l’exposant 2 dans l’expression π 2/3. Ensuite, appuyez une fois sur la touche effacer (ƒ) pour changer la forme du curseur en curseur d’insertion. Appuyez sur ƒ une fois de plus pour effacer le chiffre 2 et appuyez sur 5 pour entrer le chiffre 5. Appuyez trois fois sur la touche directionnelle vers le haut (—) pour surligner l’expression π 5/3. Ensuite, tapez ‚¹ pour appliquer la fonction LN à cette expression. L’affichage est le suivant :
La dernière étape consiste à enlever le 1/3 de la partie droite de l’expression. On effectue cela en utilisant : —————™ƒƒƒƒƒ Le résultat final donne :
Créer des expressions algébriques Une expression algébrique est très similaire à une expression arithmétique, mis à part le fait qu’elle peut inclure des lettres des alphabets latins et grecs. La procédure pour créer une expression algébrique suit donc la même idée que l’écriture d’une expression arithmétique, sauf qu’on utilise en plus le clavier alphabétique. Pour illustrer l’utilisation de l’Editeur d’équations pour entrer une expression algébrique, nous allons utiliser l’exemple suivant. Supposons que nous voulions entrer l’expression :
λ + e − µ ⋅ LN ~„y). Souvenez--vous que pour entrer une lettre minuscule, il faut utiliser la combinaison : ~„ suivie de la lettre que vous voulez saisir. De plus, vous pouvez toujours écrire des caractères spéciaux en utilisant le menu
~‚les plus fréquemment utilisées se trouve dans un paragraphe précédent. L’arborescence d’expressions L’arborescence d’expressions est un diagramme représentant la manière selon laquelle l’Editeur d’équations interprète une expression. Un exemple détaillé d’arborescence est présenté dans l’Appendice E. La fonction CURS La fonction CURS (@CURS) du menu de l’Editeur d’équations (touche B) convertit l’affichage en un affichage graphique et crée un curseur graphique qui peut être commandé avec les touches directionnelles (š™—˜) pour sélectionner des parties d’expression. La partie d’expression sélectionnée avec @CURS apparaîtra dans le cadre de l’affichage graphique. Après avoir sélectionné une partie d’expression vous pouvez appuyer sur ` pour surligner la partie de l’expression sélectionnée dans l’Editeur d’équations. Les figures suivantes indiquent différentes parties d’expressions sélectionnées et l’écran de l’Editeur d’équations correspondant après avoir appuyé sur `.
• Utiliser la touche directionnelle vers le bas (˜), de façon répétée, pour afficher le curseur transparent d’édition. Dans ce mode, utilisez les flèches vers la gauche ou vers la droite (š™) pour vous déplacer de termes en termes dans une expression. • Au point d’édition, utilisez la touche effacer (ƒ) pour afficher le curseur d’insertion et procédez à l’édition de l’expression. Pour voir le curseur transparent d’édition en action, commençons avec l’expression algébrique que nous avons saisie dans l’exercice précédent :
Dans cet exemple, l’ordre de sélection du curseur transparent d’édition est le suivant (appuyez sur la flèche gauche, š, de façon répétée) : 1. Le chiffre 1 dans l’exposant 1/3 2. θ 3. ∆y 4. µ 10. le chiffre 2 dans la fraction 2/√3
Entre la factorielle de 3 sous la racine carrée (le fait d’entrer la factorielle change le curseur en format de curseur de sélection) ˜˜™™ Sélectionne le µ dans la fonction exponentielle /3*~‚f Modifie l’argument de la fonction exponentielle ™™™™ Sélectionne ∆y R Ajoute une racine carrée sur ∆y (cette opération change également le curseur en format de curseur de sélection) ˜˜™—— S Sélectionne θ1/3 et entre la fonction SIN Vous obtenez l’écran suivant :
D et vous n’obtiendrez aucun changement. Par contre, en appuyant encore une fois sur —D, on modifie l’expression comme indiqué cidessous :
Vous pouvez essayer la séquence de touches suivante : C˜˜˜˜, pour placer le curseur d’édition transparent sur le facteur 3 du premier terme
Simplifier une expression Appuyez sur la touche de menu @BIG C pour obtenir un écran similaire à celui de la figure précédente (voir ci-dessus). Ensuite, appuyez sur la touche de menu @SIMP C , pour voir s’il est possible de simplifier cette expression telle qu’elle apparaît dans l’Editeur d’équations. Vous obtenez l’écran suivant :
Dans cet exercice, nous allons essayer de factoriser une expression polynomiale. Pour poursuivre l’exercice précédent, appuyez sur la touche ` . Ensuite, relancez l’Editeur d’équations en appuyant sur la touche ‚O . Entrez l’équation : XQ2™+2*X*~y+~y Q2™~‚a Q2™™+~‚b Q2 Ce qui nous donne :
Appuyez sur ‚¯ pour revenir à l’expression de départ. Ensuite, sélectionnez la totalité de l’expression en appuyant une fois sur la touche directionnelle vers le haut (—). Et appuyez sur la touche de menu @FACTO, pour obtenir :
Note: Lorsque l’expression d’origine est sélectionnée, appuyer sur les touches de menus @EVAL ou @SIMP , simplifie l’expression de la manière suivante :
Appuyez sur la touche de menu @@OK@@ (F), pour obtenir :
Appuyez sur la touche L pour afficher les touches de menu @CMDS et @HELP . Appuyez sur la touche de menu @HELP pour obtenir la liste de commandes du CAS. Ensuite, composez ~ d ˜ ˜ ˜ pour sélectionner la
CAS est donnée au Chapitre 1. Pour revenir à l’Editeur d’équations, appuyez sur la touche de menu @EXIT. Appuyez sur la touche ` pour sortir de l’Editeur d’équations. Utiliser les fonctions d’édition BEGIN (début), END (fin), COPY (copier), CUT (couper) et PASTE (coller) Pour faciliter l’édition, que ce soit dans l’Editeur d’équations ou dans la pile, la calculatrice fournit cinq fonctions d’édition : BEGIN (début), END (fin), COPY (copier), CUT (couper) et PASTE (coller), qu’on peut activer en combinant la touche majuscule de droite (‚) avec les touches respectives (2,1), (2,2), (3,1), (3,2) et (3,3). Ces touches sont situées à gauche des lignes 2 et 3. Les actions de ces fonctions d’édition sont les suivantes : BEGIN (début) : marque le début d’une chaîne de caractères à éditer END (fin) : marque la fin d’une chaîne de caractères à éditer COPY (copier) : copie la chaîne de caractères comprise entre BEGIN et END CUT (couper) : coupe la chaîne de caractères comprise entre BEGIN et END PASTE (coller) : colle la chaîne de caractères, qui vient d’être coupée ou collée, à la position du curseur Pour en voir un exemple, démarrons l’Editeur d’équations pour y saisir l’expression suivante (déjà utilisée dans un exercice précédent) : 2 / R3 ™™ * ~‚m + „¸\ ~‚m ™™ * ‚¹ ~„x + 2 * ~‚m * ~‚c ~„y ——— / ~‚t Q1/3 L’expression de départ est la suivante : Ensuite, nous allons copier la fraction 2/√3 du facteur le plus à gauche dans cette expression et la placer dans le numérateur de l’argument de la fonction LN. Composez la séquence de touches suivante : ˜˜šš———‚¨˜˜ ‚™ššš‚¬ Vous obtenez l’affichage suivant : Nous allons utiliser l’Editeur d’équations pour entrer la somme suivante : ∞ ‚— et sur la touche de menu A, ce qui donne :
Σ(index = valeur_initiale, valeur_finale, expression à sommer) Appuyez sur ` pour revenir dans l’Editeur d’équations. Cependant, l’affichage obtenu n’est pas la somme que nous avons saisie mais la valeur symbolique suivante :
Cette expression illustre le format général d’une dérivation dans la pile ou dans l’éditeur de lignes : ∂variable (fonction de variables) Appuyez sur ` pour revenir dans l’Editeur d’équations. Cependant, l’affichage obtenu n’est pas la dérivée que nous avons saisie mais la valeur symbolique suivante :
Cette expression illustre le format général d’une intégrale dans la pile ou dans l’éditeur de lignes : ∫(limite_basse, limite_haute, intégrant, variable_de_l'intégration)
Le résultat de cette intégrale est 36.
Vous avez la possibilité d’organiser les données dans votre calculatrice en mémorisant les variables dans une arborescence de répertoires. Pour mieux comprendre le fonctionnement de la mémoire de la calculatrice, observons tout d’abord le répertoire de fichiers. Composez la combinaison de touches „¡ (première touche de la deuxième ligne de touches depuis le haut du clavier) pour obtenir l’écran du gestionnaire de fichiers de la calculatrice :
1:ERAM et port 2:FLASH. Les ports mémoires sont utilisés pour le stockage des applications et des bibliothèques fournis par des tiers, ainsi que pour les sauvegardes de sécurité. La taille de ces différents ports est également indiquée. A partir de la quatrième ligne se trouve l’arborescence de répertoires de la calculatrice. Le répertoire du haut (qui est surligné) est le répertoire Home et contient un sous-répertoire par défaut appelé CASDIR. Il y a trois fonctions associées au gestionnaire de fichiers accessibles par les touches de menu : @CHDIR (A) : Entre dans le répertoire sélectionné @CANCL (E) : Annule l’action précédente Fonctions de manipulation des variables Cet écran comprend 20 commandes associées aux touches de menu qui peuvent être utilisées pour créer, éditer et manipuler des variables. Les six premières fonctions sont les suivantes : @EDIT Pour éditer la variable surlignée @COPY Pour copier la variable surlignée @MOVE Pour déplacer la variable surlignée @@RCL@ Pour mémoriser le contenu de la variable surlignée
Si vous appuyez sur la touche L, la deuxième série de fonctions apparaît : @PURGE Pour effacer ou détruire une variable @RENAM Pour renommer une variable @NEW Pour créer une nouvelle variable @ORDER Pour classer un ensemble de variables dans un répertoire @SEND Pour envoyer une variable à une autre calculatrice ou à un ordinateur @RECV Pour recevoir une variable d’une autre calculatrice ou d’un ordinateur Si vous appuyez sur la touche L, la troisième série de fonctions apparaît : @HALT Pour revenir temporairement à la pile @VIEW Pour afficher le contenu d’une variable @EDITB Pour éditer le contenu d’une variable binaire (semblable à @EDIT) @HEADE Pour afficher le répertoire qui contient la variable dans son entête @LIST Fournit une liste de noms de variables et leur description @SORT Pour classer les variables selon un critère d’ordre Si vous appuyez sur la touche L, la dernière série de fonctions apparaît : @XSEND Pour envoyer une variable par le protocole X-modem @CHDIR Pour changer de répertoire Pour passer d’une commande du menu à une autre, vous pouvez utiliser la touche NEXT (suivant) (L), et également la touche PREV (précédent) („«). L’utilisateur est invité à se familiariser avec ces fonctions par lui-même. Leurs applications sont évidentes.
HOME, appuyez sur la fonction UPDIR („§) -- autant de fois que nécessaire, jusqu’à ce que le symbole {HOME} apparaisse sur la deuxième ligne de l’entête de l’afficheur. Sinon, vous pouvez utiliser „ (maintenir)
C). Pour afficher le contenu du répertoire, vous pouvez utiliser la combinaison de touches : „¡qui ouvre une fois de plus le gestionnaire de fichiers :
• La première colonne indique le type de la variable (par exemple, ‘EQ’ signifie une variable de type équation, |R indique une variable réelle, { } signifie une liste, nam est ‘un nom global’ et le symbole représente une variable graphique. • La deuxième colonne contient le nom des variables, à savoir PRIMIT, CASINFO, MODULO, REALASSUME, PERIOD, VX et EPS. • La colonne 3 indique une autre spécification du type de variable : par exemple, ALG est utilisé pour une expression algébrique, GROB représente un objet graphique, INTG est utilisé pour une variable numérique entière, LIST représente une liste de données, GNAME représente un nom global et REAL signifie une variable réelle. • La quatrième et dernière colonne représente la taille, en octets, de la variable tronquée, sans décimales (c.a.d. demi-octet). Ainsi, par exemple, la variable PERIOD compte 12.5 octets, alors que la variable REALASSUME occupe 27.5 octets (1 octet=8 bits, 1 bit est la plus petite unité de la mémoire des ordinateurs et des calculatrices). Variables CASDIR dans la pile En appuyant sur la touche $, on ferme l’écran précédent et on revient en mode d’affichage normal de la calculatrice. Par défaut, nous revenons au menu TOOL :
CASDIR, en appuyant sur la touche J (première touche de la deuxième ligne du clavier). Cela donne :
Pour afficher la valeur d’une variable numérique, il suffit d’appuyer sur la touche de menu de cette variable. Par exemple, en appuyant sur cz puis sur `, affiche la même valeur de la variable dans la pile, si la calculatrice est en mode Algébrique.. Si la calculatrice est en mode RPN, il vous suffit d’appuyer sur la touche de menu `. Pour afficher le nom complet d’une variable, appuyez d’abord sur l’apostrophe ³, et ensuite sur la touche de menu correspondant à la variable. Par exemple, pour la variable PERIO affichée dans la pile, nous utiliserons ³@PERIO@, ce qui donnera : 'PERIOD'. Cette méthode s’applique aux modes d’opération Algébrique et RPN.
PRIMIT La dernière primitive (anti-dérivée) calculée, et non la variable par défaut, mais une primitive créée lors d’un exercice précédent CASINFO un graphe qui fournit l’information du CAS MODULO Modulo pour l’arithmétique des modules (par défaut = 13) REALASSUME Liste des noms de variables supposées réelles PERIOD Période pour les fonctions trigonométriques (par défaut = 2π) VX Nom de la variable indépendante par défaut (par défaut = X) EPS Valeur du petit incrément (epsilon), (par défaut = 10-10) Ces variables sont utilisées pour le fonctionnement du CAS.
Pour nommer les sous-répertoires, et de temps en temps les variables, vous devrez taper les chaînes de caractères en une fois, qu’elles soient ou non combinées avec des nombres. Plutôt que d’appuyer sur les combinaisons de
~~ bloque le clavier alphabétique en mode majuscule. Dans ce mode, appuyer sur „ avant une touche de caractère donne une lettre minuscule et appuyer sur la touche ‚ avant une touche de caractère crée un caractère spécial. Si le clavier alphabétique est déjà bloqué en position majuscule, pour le bloquer en position minuscule, tapez, „~ ~~„~ bloque le clavier alphabétique en mode minuscule. Dans ce mode, appuyer sur „ avant une touche de caractère donne une lettre majuscule. Pour désactiver le mode minuscule, appuyez sur „~ Pour désactiver le mode minuscule, appuyez sur ~ Pratiquons maintenant quelques exercices pour entrer des noms de répertoires/variables dans la pile. En supposant que la calculatrice est en mode Algébrique (bien que ces instructions fonctionnent également en mode RPN), composez les séquences de touches suivantes. Avec ces commandes, nous entrerons les mots ‘MATH’, ‘Math’ et ‘MatH’ ³~~math` ³~~m„a„t„h` ³~~m„~at„h` Sur l’écran de la calculatrice, on verra l’affichage suivant (à gauche pour le mode Algébrique, à droite pour le mode RPN) : En utilisant le menu des fichiers FILES Quel que soit le mode d’opération de la calculatrice (Algébrique ou RPN), nous pouvons créer une arborescence de répertoires, à partir du répertoire HOME, en utilisant les fonctions actives du menu FILES. Appuyez sur „¡pour activer le menu FILES. Si le répertoire HOME n’est pas déjà surligné à l’écran, comme dans cet exemple :
MANualS) dans lequel nous allons stocker les variables créées dans les exercices de ce manuel. Pour créer ce sous-répertoire, entrez d’abord : L @@NEW@@ (C). Ceci affiche le formulaire de saisie suivant :
(ou variable, suivant le cas), de la façon suivante : ~~mans` Le curseur se déplace alors dans le champ _Directory. Appuyez sur la touche de menu @@CHK@@ (C) pour préciser que vous créez un répertoire et appuyez sur @@OK@@ pour sortir du formulaire de saisie. La liste des variables du répertoire HOME s’affichera à l’écran de la manière suivante :
Ensuite, nous allons créer un sous-répertoire appelé INTRO (pour INTROduction), à l’intérieur de MANS, pour contenir les variables créées lors des exercices des sections suivantes de ce manuel. Appuyez sur la touche
Ensuite, appuyez sur J pour afficher contenu du répertoire HOME relatif aux indications des touches de menu. L’affichage est alors le suivant (si vous avez créé d’autres variables dans le répertoire HOME, elles apparaîtront également sur les indications des touches de menu) :
Créons le sous-répertoire INTRO en utilisant : „¡@@OK@@ L @@NEW@@ ˜ ~~intro` @@CHK@@ @@OK@@ Appuyez sur la touche $ puis sur la touche J, pour afficher le contenu du répertoire MANS de la façon suivante :
En utilisant la commande CRDIR La commande CRDIR peut être utilisée pour créer des répertoires. Cette commande est accessible en appuyant sur la touche de catalogue des commandes (c’est la touche ‚N deuxième touche de la quatrième ligne du clavier), sur les menus de programmation (la touche „° , même touche que ‚N) ou en tapant simplement cette commande. • Par la touche de catalogue Appuyez sur ‚N~c. Utilisez les touches directionnelles vers le bas et vers le haut (—˜) pour localiser la commande CRDIR. Appuyez sur la touche de menu @@OK@@ pour activer la commande.
Une fois que vous avez sélectionné le CRDIR par l’une des méthodes décrites ci-dessus, la commande sera disponible dans votre pile, comme indiqué cidessous :
Commande CRDIR en mode RPN Pour utiliser CRDIR en mode RPN, il faut que le nom du répertoire soit déjà disponible dans la pile avant d’accéder à la commande. Par exemple : ~~„~chap2~` Ensuite, essayez d’accéder à la commande CRDIR en utilisant l’une des méthodes présentées ci-dessus, par exemple, en utilisant la touche ‚N :
Pour redescendre dans l’arborescence des répertoires, il faut appuyer sur la touche de menu correspondant au sous-répertoire vers lequel vous voulez vous déplacer. On peut afficher la liste des variables d’un sous-répertoire en appuyant sur la touche J (VARiables). Pour remonter dans l’arborescence des répertoires, utilisez la fonction UPDIR, c’est-à-dire entrez „§. Sinon, vous pouvez aussi utiliser le menu FILES, c’est-à-dire en appuyant sur „¡. Utilisez les touches directionnelles vers le bas ou vers le haut (—
Pour effacer un sous-répertoire, utilisez l’une des méthodes suivantes : En utilisant le menu des fichiers FILES Appuyez sur la touche „¡ pour ouvrir le menu FILES. Sélectionnez le répertoire qui contient le sous-répertoire que vous voulez effacer et appuyez sur !CHDIR si nécessaire. Ceci fermera le menu FILES et affichera le contenu du répertoire sélectionné. Dans ce cas, il vous faudra appuyer sur `. Appuyez alors sur la touche de menu @@OK@@ pour afficher le contenu du répertoire à l’écran. Sélectionnez le sous-répertoire (ou la variable) que vous souhaitez effacer. Appuyer sur L@PURGE. L’écran ci-dessous apparaîtra :
@YES@ (A) Confirme la destruction du sous-répertoire (ou de la variable) @ALL@ (B) Confirme la destruction de tous les répertoires (ou de toutes les variables) !ABORT (E) N’efface pas le sous-répertoire (ou la variable) de la liste @@NO@@ (F) N’efface pas le sous-répertoire (ou la variable) Après avoir sélectionné l’une de ces quatre commandes, vous reviendrez à l’écran qui indique le contenu du sous-répertoire. Cependant, la commande !ABORT fera apparaître un message d’erreur :
En utilisant la commande PGDIR La commande PGDIR peut être utilisée pour effacer le contenu d’un répertoire. De la même façon que pour la commande CRDIR, on accède à la commande PGDIR par la touche ‚N ou par la touche „° ou on peut également simplement taper la commande. • Par la touche de catalogue Appuyez sur ‚N~~pg. Ceci devrait surligner la commande PGDIR. Appuyez sur la touche de menu @@OK@@ pour activer la commande. • Par les menus de programmation Appuyez sur „°. Ceci affichera le menu déroulant suivant pour la programmation :
Il en résulte que le sous-répertoire )@@S4@@ est effacé :
Commande PGDIR en mode RPN Pour utiliser la commande PGDIR en mode RPN, vous devez placer le nom du répertoire, entre apostrophes, dans la pile avant d’accéder à la commande. Par exemple : ³~s2` Ensuite, accédez à la commande PGDIR par l’une des méthodes décrites cidessus, par exemple, en utilisant la touche ‚N :
On accède à la commande PURGE en appuyant sur la touche de menu @PURGE (E). Dans les exemples suivants, nous voulons effacer le sous-répertoire S1 : • Mode Algébrique : Entrez @PURGE J)@@S1@@` • Mode RPN :
Les variables fonctionnent comme les fichiers sur le disque dur d’un ordinateur. Une variable peut contenir un objet (des valeurs numériques, des expressions algébriques, des listes, des vecteurs, des matrices, des programmes, etc.). Même des sous-directoires peuvent être considérés comme des variables (en fait, dans la calculatrice, un sous-directoire est aussi un type d'objet). On se réfère aux variables par leurs noms, qui peuvent être une combinaison de caractères alphanumériques, commençant toujours par une lettre (latine ou grecque). On peut utiliser certains symboles, comme la flèche (→) dans un nom de variable, à condition de les combiner avec un caractère alphabétique. Ainsi, ‘→A’ est un nom de variable valide, mais ‘→’ ne l’est pas. Comme exemples de noms de variables valides, on a : ‘A’, ‘B’, ‘a’, ‘b’, ‘α’, ‘β’, ‘A1’, ‘AB12’, ‘A12’,’Vel’,’Z0’,’z1’, etc. Une variable ne peut pas avoir le même nom qu’une fonction dans la calculatrice. Par exemple, il n'est pas possible d'avoir une variable SIN car il y a déjà une commande SIN dans la calculatrice. Les noms de variables réservés par la calculatrice sont les suivants : ALRMDAT, CST, EQ, EXPR, IERR, IOPAR, MAXR, MINR, PICT, PPAR, PRTPAR, VPAR, ZPAR, der_, e, i, n1,n2, …, s1, s2, …, ΣDAT, ΣPAR, π, ∞ Les variables peuvent être organisées dans des sous-répertoires.
@@OK@@ ~a@@OK@@. Ce qui donne l’affichage suivant :
• Appuyez sur la touche de menu @GRAPH (A) pour afficher le contenu en format graphique.
A devrait maintenant apparaître sur les indications des touches de menu :
Une manière plus simple de créer une variable est d’utiliser la commande STO (c’est-à-dire la touche K ). Nous illustrons des exemples à la fois en mode Algébrique et en mode RPN, en créant le reste des variables suggérées ci-dessus, à savoir : Nom α A12 0.25\K~‚a. L’écran est alors le suivant : Cette expression signifie que la valeur –0.25 est prête à être enregistrée dans α (le symbole représente l'opération. Appuyez sur
~„m+~„r™™ ³~q` K Pour entrer la valeur de R, nous pouvons utiliser une méthode encore plus rapide : R: „Ô3#2#1™ ³~r `K Vous remarquerez que pour séparer les éléments d’un vecteur en mode RPN, on peut utiliser la touche espace (#), plutôt que la virgule (‚í) utilisée plus haut en mode Algébrique. z1: ³3+5*„¥ ³~„z1 K (Acceptez le passage en mode Complex si le programme vous le demande) p1: ‚å‚é~„r³„ì* ~„rQ2™™™ ³ ~„p1™` K. L’affichage est alors le suivant :
A titre d’exercice sur la visualisation des variables, nous allons utiliser les sept variables enregistrées lors de l’exercice précédent. Lorsque nous avions créé la variable A, nous avions illustré l’utilisation du menu FILES pour l’affichage des variables. Dans cette section, nous allons présenter un moyen simple de visualiser le contenu d’une variable.
Cette méthode affichera le contenu d’une variable, si cette variable contient une valeur numérique ou algébrique, ou un tableau. Par exemple, pour les variables affichées précédemment, appuyez sur les touches suivantes pour afficher le contenu des variables : Mode Algébrique Tapez ces séquences de touches : J@@z1@@ ` @@@R@@ `@@@Q@@@ `. L’affichage est alors le suivant :
L’affichage est alors le suivant :
Cependant, ce programme attend une valeur numérique en entrée. Essayez d’entrer la séquence : $@@@p1@ „Ü5`. Le résultat est :
Le symbole « »indique un programme écrit en langage User RPL (c’est le langage de programmation originel des calculatrices HP 28/48 qui est également disponible dans la série HP 49G). Les caractères → r indiquent qu’il faut fournir au programme une variable d’entrée, qui sera appelée r. L’action du programme est de prendre la valeur de cette variable r et de calculer l’expression algébrique 'π*r^2'. Dans l’exemple illustré ci-dessus, la valeur de r est 5 et ainsi, la valeur de πr2 = π⋅25 est affichée. Le programme calcule alors la surface d’un disque de rayon r. Mode RPN En mode RPN, il suffit d’appuyer sur la touche de menu correspondante pour obtenir le contenu d’une variable numérique ou algébrique. Dans le cas présent, on peut essayer d’afficher les variables z1, R, Q, A12, α et A, créées plus haut, de la façon suivante : J@@z1@@ @@@R@@ @@@Q@@ @@A12@@ @@ª@@ L’affichage est alors le suivant :
Pour activer le programme p1 avec r = 5, utilisez : L5 @@@p1@@@.
Utiliser la touche majuscule de droite right-shift ‚ suivie des touches de menu Cette méthode de visualisation des variables fonctionne de la même façon pour les modes algébrique et RPN. Essayez les exemples suivants dans l’un de ces modes : J‚@@p1@@ ‚ @@z1@@ ‚ @@@R@@ ‚@@@Q@@ ‚ @@A12@@ Cela donne le résultat suivant (mode Algébrique à gauche, mode RPN à droite) :
@@@ª@@ L ‚ @@@A@@ Afficher le contenu de toutes les variables à l’écran Utilisez la combinaison de touches ‚˜ pour afficher le contenu de toutes les variables à l’écran. Par exemple :
On peut considérer que remplacer le contenu d’une variable revient à enregistrer une valeur différente pour un même nom de variable. Ainsi, on
En utilisant la commande STO En utilisant comme exemple les six variables créées précédemment, p1, z1, R, Q, A12, a, et A, nous allons modifier le contenu de la variable A12 (qui est pour l’instant une variable numérique) en la convertissant en l’expression algébrique ‘β/2’, grâce à la commande STO . Tout d’abord, si vous utilisez le mode Algébrique : ³~‚b/2™ K @@A12@@ ` Vérifiez le contenu de la nouvelle variable A12 en utilisant ‚@@A12@@ . Si vous utilisez le mode RPN : ³~‚b/2` ³@@A12@@ ` K ou, plus simplement, ³~‚b/2™ ³@@A12@@ K Utiliser la touche majuscule de gauche (left-shift) „ suivie de la touche de menu associée à la variable (RPN) C’est une façon très simple de modifier le contenu d’une variable mais exclusivement disponible en mode RPN. La méthode consiste à entrer la nouvelle valeur de la variable dans la pile, puis à appuyer sur la touche majuscule de gauche ("left-shift"), puis sur la touche de menu associée à la variable. Par exemple, en mode RPN, si nous voulons changer le contenu de la variable z1 en ‘a+b⋅i ’, nous utiliserons : ³~„a+~„b*„¥` Ceci entrera l’expression algébrique ‘a+b⋅i ’ dans le niveau 1: de la pile. Pour entrer ce résultat dans la variable z1, tapez : J„@@@z1@@ Pour vérifier le nouveau contenu de la variable z1, composez : ‚@@@z1@@ La méthode équivalente pour le mode Algébrique est la suivante : ~„a+~„b*„¥` K @@@z1@@ ` Pour vérifier le nouveau contenu de la variable z1, composez : ‚@@@z1@@ En utilisant la variable ANS(1) (Mode Algébrique) En mode Algébrique, on peut utiliser la variable ANS(1) pour remplacer le contenu d’une variable. Voici, par exemple, la méthode pour changer le
„î K @@@z1@@ `. Pour vérifier le nouveau contenu de la variable z1, composez : ‚@@@z1@@
Les exercices suivants illustrent diverses méthodes pour copier des variables d’un sous-répertoire à un autre. En utilisant le menu des fichiers FILES Pour copier une variable d’un répertoire à un autre, vous pouvez utiliser le menu FILES. Par exemple, à l’intérieur du sous-répertoire {HOME MANS INTRO}, nous avons les variables p1, z1, R, Q, A12, α et A. Supposons que nous voulions copier la variable A et placer sa copie dans le sous-répertoire {HOME MANS}. De plus, nous allons aussi copier la variable R et placer une copie dans le répertoire HOME. La manière de procéder est décrite cidessous : appuyez sur „¡@@OK@@ pour obtenir la liste de variables suivante :
(la dernière de la liste), puis appuyez sur @@COPY@. L’affichage de la calculatrice propose l’écran PICK DESTINATION (choisissez une destination) :
En utilisant l’historique en mode Algébrique Voici une manière d’utiliser l’historique (de la pile) pour copier une variable d’un répertoire à un autre en utilisant le mode de calcul algébrique. Supposons que nous nous trouvions dans le sous-répertoire {HOME MANS INTRO} et que nous voulions copier le contenu de la variable z1 dans le sousrépertoire {HOME MANS}. Utilisons la procédure suivante : ‚@@z1@ K@@z1@ `. Ceci mémorise simplement le contenu de la variable z1 en elle-même (aucun changement n’est effectué sur z1). Ensuite, nous utiliserons „§` pour atteindre le sous-répertoire {HOME MANS}. L’affichage est alors le suivant :
Cette méthode crée une liste du contenu et du nom des variables dans la pile. L’affichage est alors le suivant :
Copier deux variables ou plus en utilisant la pile en mode Algébrique L’exercice suivant explique comment copier deux variables ou plus en utilisant la pile lorsque la calculatrice est en mode Algébrique. Supposons, là encore, que nous nous trouvions dans le sous-répertoire {HOME MANS INTRO} et que nous voulions copier les variables R et Q dans le sous-répertoire {HOME MANS}. Les séquences de touches suivantes permettent d’effectuer cette opération : ‚@@ @R@@ K@@@R@@ ` ‚@@ @Q@@ K@@@Q@@ ` „§` Copier deux variables ou plus en utilisant la pile en mode RPN L’exercice suivant explique comment copier deux variables ou plus en utilisant la pile lorsque la calculatrice est en mode RPN. Supposons, là encore, que nous nous trouvions dans le sous-répertoire {HOME MANS INTRO} et que
Réorganiser les variables dans un répertoire Dans cette section, nous allons présenter l’utilisation de la commande ORDER qui permet de réorganiser les variables dans un répertoire. Supposons que nous partions du sous-répertoire {HOME MANS} qui contient les variables, A12, R, Q, z1, A et le sous-répertoire INTRO, comme indiqué ci-dessous (copier A12 de l’INTRO dans MANS).
Dans ce cas, la calculatrice se trouve en mode Algébrique. Supposons que nous voulions modifier l’ordre des variables pour les placer dans l'ordre suivant : INTRO, A, z1, Q, R, A12. Procédez comme indiqué ci-dessous pour activer la fonction ORDER : „°˜@@OK@@ On crée la liste à réorganiser en tapant la séquence : „ä )@INTRO @@@@A@@@ @@@z1@@ @@@Q@@@ @@@@R@@@ @@A12@@ ` Ensuite, on entre la commande ORDER, comme précédemment, c’est-à-dire : „°˜@@OK@@ Sélectionnez MEMORY dans le menu de programmation ˜˜˜˜ @@OK@@ Sélectionnez DIRECTORY dans le menu MEMORY —— @@OK@@ Sélectionnez ORDER dans le menu DIRECTORY Vous obtenez l’écran suivant :
MANS et appuyez sur @@OK@@. L’écran va maintenant afficher le contenu du sous-répertoire {HOME MANS INTRO} :
Effacer des variables On peut effacer des variables, en utilisant la fonction PURGE. Cette fonction est directement accessible en utilisant le menu TOOLS (I), ou en utilisant le menu FILES „¡@@OK@@ . En utilisant la commande FILES On peut utiliser la commande FILES pour détruire une variable à la fois. Pour effacer une variable d’un répertoire donné, vous pouvez utiliser le menu FILES. Par exemple, à l’intérieur du sous-répertoire {HOME MANS INTRO}, il nous reste les variables p1, z1, R, Q, α, et A. Supposons que nous voulions effacer la variable A. Voici comment procéder : appuyez sur „¡@@OK@@ pour créer la liste des variables. Utilisez la touche directionnelle vers le bas ˜pour sélectionner la variable A (la dernière de la liste), puis appuyez sur L@PURGE@ @@@YES@@@. L’écran affiche le contenu du sous-répertoire INTRO sans la variable A.
Nous allons recommencer depuis le sous-répertoire {HOME MANS INTRO} qui contient maintenant uniquement les variables p1, z1, Q, R et α. Nous utiliserons la commande PURGE pour effacer la variable p1. Appuyez sur I @PURGE@ J@@p1@@ `. L’affichage indique maintenant que la variable p1 a été effacée :
I @PURGE@ „ä³ J@@@R!@@ ™ ‚í ³ J@@@Q!@@ L’écran indique alors la commande suivante, qui est prête à être exécutée :
Les fonctions UNDO et CMD Les fonctions UNDO et CMD sont utiles pour récupérer des commandes récentes, ou pour annuler une opération si une erreur a été commise. Ces fonctions sont associées à la touche HIST : la séquence de touches ‚¯, donne accès à la fonction UNDO, tandis que la commande CMD est accessible par la combinaison „®. Pour illustrer le fonctionnement de UNDO, essayez l’exercice suivant en mode Algébrique (ALG) : 5*4/3`. La commande UNDO (‚¯) va simplement effacer le résultat. Le même exercice en mode RPN utilise la séquence de touches : 5`4`*3`/. L’utilisation de ‚¯ à ce moment-là va permettre d’annuler l’opération la plus récente (20/3), ce qui replace les termes de départ dans la pile :
La fonction CMD s’applique de la même façon en mode RPN, mis à part le fait que la liste des commandes affiche seulement les nombres ou les expressions algébriques. Les fonctions saisies n’apparaissent pas. A titre d’exemple, essayez l’exercice suivant en mode RPN : 5`2`3/*S ³ S5*2`. En appuyant sur „®, on obtient le cadre suivant :
Un indicateur est une valeur booléenne, qui peut être activée ou désactivée et qui spécifie un paramètre donné de la calculatrice ou une option de programme. Les indicateurs de la calculatrice sont identifiés par des numéros. Il existe 256 indicateurs, numérotés de -128 à 128. Les indicateurs positifs sont appelés indicateurs de l’utilisateur et sont disponibles pour l’utilisateur pour des applications de programmation. Les indicateurs négatifs sont appelés indicateurs système et s’appliquent au fonctionnement de la calculatrice.
\. Vous pouvez utiliser les touches directionnelles vers le bas ou vers le haut (—˜) pour vous déplacer dans la liste des indicateurs système. Bien qu’il existe 128 indicateurs système, tous ne sont pas disponibles et certains d’entre eux sont utilisés pour la commande du système interne. Les indicateurs système auquel l’utilisateur n’a pas accès ne sont pas affichés à l’écran. La liste complète des indicateurs est présentée au Chapitre 24.
Par exemple, la valeur par défaut de l’indicateur système 01 est General solutions (solutions générales). Ceci signifie que, lorsqu’une équation a plusieurs solutions, la calculatrice affichera toutes les solutions, la plupart du temps, sous la forme d’une liste. En appuyant sur la touche de menu @@CHK@@ vous pouvez modifier le paramètre de l’indicateur 01 en Principal value (valeur principale). Ce paramètre va commander à la calculatrice de ne retourner qu’une solution unique de l’équation, appelée valeur principale. Pour en voir un exemple, placez tout d’abord l’indicateur 01en position Principal Value). Appuyez à deux reprises sur @@OK@@ pour revenir en mode d’affichage normal. Nous allons essayer de résoudre une équation du second degré, par exemple, t2+5t+6 = 0, en utilisant la commande QUAD.
H@FLAGS@ @@CHK@@ @@OK@@ @@OK@@ . Et réessayez la résolution de l’équation : ƒ³~ „t` ‚N~q (utilisez les touches directionnelles vers le haut et vers le bas, —˜ , pour sélectionner la commande QUAD) et appuyez sur @@OK@@ . La solution contient maintenant deux valeurs :
Affichez à nouveau le paramètre de l’indicateur actuel en appuyant sur le bouton H puis sur la touche de menu @FLAGS! Faites attention de libérer l’indicateur système 01, qui a été coché dans l’exercice précédent. Utilisez les touches directionnelles vers le bas et vers le haut (—˜) pour vous déplacer dans la liste des indicateurs système.. Voici la liste des indicateurs utiles et de leurs valeurs préférées pour effectuer les exercices suivants du manuel : 02 Constant → symb: Les valeurs constantes (par exemple π) sont affichées en tant que symboles. 03 Function → symb: Les fonctions ne sont pas calculées automatiquement mais sont entrées en tant qu’expressions symboliques. 27 ‘X+Y*i’ → (X,Y): Les nombres complexes sont représentés en tant que paires ordonnées 60 [α][α] locks: La séquence ~~ bloque le clavier alphabétique Appuyez deux fois sur @@OK@@ pour revenir en mode d’affichage normal.
CHOOSE boxes. Par exemple, pour utiliser la commande ORDER pour réorganiser des variables dans un directoire, nous utilisons : „°˜ Affiche le menu PROG et sélectionne MEMORY
Vous remarquerez qu’à la place d’un menu, nous obtenons des indications de menu avec les différentes options du menu PROG, c’est-à-dire :
Pour vérifier les paramètres d’état de la calculatrice et les paramètres du CAS, il suffit de lire la première ligne en haut de l’écran en mode d’opération normal. Par exemple, vous pouvez lire les paramètres suivants : RAD XYZ DEC R = ‘X’ Cela signifie RADians pour les mesures d’angles, XYZ pour le système de coordonnées rectangulaires (cartésiennes), DECimale pour la base numérique, Réel pour le type de nombres privilégié, = signifie les résultats “exacts” et ‘X’ est la valeur par défaut de la variable indépendante. Une autre liste possible d’options pourrait être
2. Spécification du système de coordonnées (XYZ, R∠Z, R∠∠). Le symbole ∠ indique une coordonnée angulaire XYZ : Cartésien ou rectangulaire (x,y,z) R∠Z : Coordonnées polaires cylindriques (r,θ,z) Calculs sur les nombres réels Pour effectuer des calculs sur les nombres réels, il vaut mieux mettre le CAS en mode Real (et non Complex) . Dans certains cas, il se peut qu’un nombre complexe apparaisse et que la calculatrice vous propose de passer en mode
-2.5. En mode RPN, il faut entrer d’abord au moins une partie du nombre et ensuite utiliser la touche \ par exemple : 2.5\. Le résultat est = -2.5. Si vous utilisez la fonction \ alors qu’il n’y a pas de ligne de commande, la calculatrice appliquera la fonction NEG (inversion de signe) à l’objet du premier niveau de la pile.
Utilisez la touche Y. En mode ALG, appuyez d’abord sur Y et tapez ensuite le nombre ou l’expression algébrique, par exemple : Y2. Le résultat est = ½ ou 0.5. En mode RPN, entrez d’abord le nombre, et utilisez ensuite la touche Y, par exemple : 4`Y. Le résultat est = ¼ ou 0.25.
„Ü5+3.2™/„Ü7-2.2` En mode RPN, les parenthèses sont inutiles, le calcul est effectué directement sur la pile : 5`3.2`+7`2.2`-/ En mode RPN, vous pouvez entrer une expression comme dans le mode algébrique, en tapant l’expression entre apostrophes : ³„Ü5+3.2™/ „Ü7-2.2`µ Pour les deux modes ALG et RPN, et en utilisant l’Editeur d’équations : ‚O5+3.2™/7-2.2 L’expression peut être calculée dans l’Editeur d’équation, en utilisant : ————@EVAL@ ou, ‚—@EVAL@
2.3\„º La fonction racine carrée, √, est accessible par la touche R. Lorsque vous effectuez le calcul dans la pile en mode ALG, entrez la fonction avant d’entrer l’argument, c’est-à-dire : R123.4` En mode RPN, entrez d’abord le nombre, et ensuite la fonction, c’est-à-dire :
La fonction puissance, ^, est accessible par la touche Q. Lorsque vous effectuez le calcul dans la pile en mode ALG, entrez la base (y) suivie par la touche Q, et entrez ensuite l’exposant (x), c’est-à-dire : 5.2Q1.25 En mode RPN, entrez d’abord le nombre, et ensuite la fonction, c’est-à-dire : 5.2`1.25`Q La fonction racine, XROOT(y,x), est accessible par la combinaison de touches ‚». Lorsque vous effectuez le calcul dans la pile en mode ALG, entrez la fonction XROOT suivie des arguments (y,x), séparés par des virgules, c’està-dire : ‚»3‚í 27`
‚Ã (fonction LOG), alors que la fonction inverse (ALOG ou antilogarithme) est calculée en utilisant „Â. En mode ALG, on entre la fonction avant l’argument : ‚Ã2.45` „Â\2.3` En mode RPN, on entre l’argument avant la fonction : 2.45` ‚Ã Ou, en mode RPN : 4.5\V2\`
(fonction EXP) est calculée en utilisant „¸. En mode ALG, on entre la fonction avant l’argument : ‚¹2.45` „¸\2.3` En mode RPN, on entre l’argument avant la fonction : 2.45` ‚¹ En mode ALG: „¼0.25` „¾0.85` „À1.35` En mode RPN: Avec le paramètre par défaut pour l’indicateur système 117 sur la position CHOOSE boxes (voir Chapitre 2), le menu MTH est affiché sous la forme du menu suivant :
Par exemple : les options 1. VECTOR.., 2. MATRIX., et 3. LIST.. s’appliquent aux types de données vecteurs, matrices et listes et seront détaillées dans les chapitres suivants. Les options 4. HYPERBOLIC et 5. REAL s’appliquent aux nombres réels et seront présentées en détail plus bas. L’option 6. BASE.. utilisée pour convertir des nombres entre différentes bases sera aussi présentée dans un autre chapitre. L’option 7. PROBABILITY. est utilisée dans les calculs de probabilités et sera présentée dans l’un des chapitres suivants. L’option 8. FFT.. (Fast Fourier Transform) est une application de traitement du signal et sera décrite dans un autre chapitre. L’option 9. COMPLEX.. contient des fonctions appropriées aux nombres complexes, qui seront décrites dans le
De façon générale, pour appliquer ces fonctions, vous devez connaître le nombre et l’ordre des arguments nécessaires, et vous souvenir que, en mode ALG vous devez d’abord sélectionner la fonction et ensuite entrer l’argument, alors qu’en mode RPN, vous devez d’abord entrer l’argument dans la pile avant de sélectionner la fonction. Utiliser les menus de la calculatrice: 1. Puisque le fonctionnement des différentes fonctions MTH (ainsi que de nombreux autres menus de la calculatrice) est identique, nous allons décrire en détail l’utilisation du menu 4. HYPERBOLIC dans le but de décrire le fonctionnement général des menus de la calculatrice. Faites bien attention à la méthode de sélection des différentes options. 2. Pour sélectionner rapidement l’une des nombreuses options dans un menu (ou dans une CHOOSE boxes), appuyez simplement sur le numéro de l’option au clavier. Par exemple, pour sélectionner l’option 4. HYPERBOLIC.. dans le menu MTH, appuyez simplement sur 4.
En choisissant l’option 4. HYPERBOLIC.. dans le menu MTH et en appuyant sur @@OK@@, on obtient le menu de fonctions hyperboliques suivant :
Sinus hyperbolique, SINH, et son inverse, ASINH ou sinh-1 Cosinus hyperbolique, COSH, et son inverse, ACOSH ou cosh-1 Tangente hyperbolique, TANH, et son inverse, ATANH ou tanh-1 Ce menu contient également les fonctions :
„´ Sélectionnez le menu MTH. 4 @@OK@@ Sélectionnez le menu 4. HYPERBOLIC.. En appuyant sur L, on affiche le reste des options :
Ainsi, pour sélectionner, par exemple, le menu des fonctions hyperboliques, avec ce format de menu, appuyez sur )@@HYP@ , ce qui donne :
(tanh), appuyez simplement sur @@TANH@. Note: Pour afficher des options supplémentaires sur ces touches de menu, appuyez sur la touche L ou sur la combinaison de touches „«. Par exemple, pour calculer tanh(2.5), en mode ALG, en utilisant les Menus SOFT plutôt que les CHOOSE boxes, procédez ainsi : „´ )@@HYP@ @@TANH@ Sélectionnez le menu MTH )@@HYP@ Sélectionne le menu HYPERBOLIC.
Ces fonctions requièrent deux arguments. Nous illustrons le calcul de %T(15,45), c’est-à-dire le calcul de 15% de 45, plus loin. Nous supposons que le mode de calcul est ALG, et que l’indicateur système 117 est en position CHOOSE boxes. La procédure est la suivante : „´ Sélectionnez le menu MTH 5 @@OK@@ Sélectionnez le menu 5. REAL.. Calculez la fonction Le résultat est le suivant :
15` Entrez le premier argument
A titre d’exercice utilisant les fonctions associées aux pourcentages, vérifiez le calcul des valeurs suivantes : %(5,20) = 1, %CH(22,25) = 13.6363, %T(500,20) = 4 Minimum et maximum Utilisez ces fonctions pour déterminer le minimum ou le maximum de deux arguments. MIN(x,y) : valeur minimale de x et y MAX(x,y) : valeur maximale de x et y A titre d’exercice, vérifiez que MIN(-2,2) = -2, MAX(-2,2) = 2 Modulo MOD: y mod x = reste de y/x, c’est-à-dire que, si x et y sont deux nombres entiers, y/x = d + r/x, où d = quotient, r = reste. On a alors, r = y mod x. Veuillez noter que MOD n’est pas une fonction, mais un opérateur, et donc, en mode ALG, MOD devra être utilisé en tant que y MOD x et non pas en tant que MOD(y,x). Ainsi, l’utilisation de MOD est identique à celle de +, -, *, /. A titre d’exercice, vérifiez que 15 MOD 4 = 15 mod 4 = reste de 15/4 = 3 Valeur absolue, signe, mantisse, exposant, entier et parties décimales ABS(x) R→D (x) : convertit des radians en degrés. A titre d’exercice, vérifiez que DR(45) = 0.78539 (i.e., 45o = 0.78539rad), RD(1.5) = 85.943669.. (i.e., 1.5rad = 85.943669..o).
Et donc, elle est liée à la factorielle d’un nombre, par la relation Γ(α) = (α−1)!, si α est un entier positif. Nous pouvons également utiliser la fonction factorielle pour calculer la fonction Gamma, et inversement. Par exemple : Γ(5) = 4! ou, 4~‚2`. La fonction factorielle est accessible par le menu MTH, par le menu 7. PROBABILITY.. La fonction PSI, Ψ(x,y), représente la yième dérivée de la fonction digamma,
ψ ( x) , où ψ(x) est la fonction digamma, encore c’est-à-dire : Ψ ( n, x) = dx n appelée fonction Psi. Pour cette fonction, y doit être un nombre positif. La fonction Psi, ψ(x), ou fonction digamma, est définie par ψ ( x ) = ln[Γ( x)] . Des exemples de ces fonctions spéciales sont illustrés ici en modes ALG et RPN. A titre d’exercice, vérifiez que GAMMA(2.3) = 1.166711…, PSI(1.5,3) = 1.40909.. et Psi(1.5) = 3.64899739..E-2. Ces calculs sont indiqués sur l’affichage suivant :
• π: rapport du périmètre d’un cercle et de son diamètre. • MINR: le plus petit nombre réel de la calculatrice. • MAXR: le plus grand nombre réel de la calculatrice. Pour accéder à ces constantes, sélectionner l’option 11. CONSTANTS dans le menu MTH,
3.14.., 1E-499, 9.99..E499) dans la pile. Veuillez noter que e est également accessible par le clavier en tant que exp(1), c’est-à-dire „¸1`, en mode ALG, ou 1` „¸, en mode RPN. La valeur π est également accessible directement depuis le clavier, en tant que „ì. Et enfin, i est accessible en utilisant „¥.
Il est possible d’associer des unités aux nombres de la calculatrice. Ainsi, il est possible de calculer des résultats qui impliquent un système d’unités cohérent et de produire un résultat avec la combinaison d’unités appropriée.
On lance le menu des unités par la combinaison de touches ‚Û(associée à la touche 6). Avec l’indicateur système 117 paramétré sur CHOOSE boxes, vous obtenez le menu suivant :
Pour effectuer des opérations plus complètes sur les unités, les touches menu SOFT permettent d’associer des unités de façon plus pratique. Changez l’indicateur système 117 en menu SOFT (voir Chapitre 1) et utilisez la combinaison de touches ‚Û pour obtenir les menus suivants. Appuyer sur L pour afficher la page de menu suivante :
(UNITS). Souvenez-vous que vous pouvez à tout moment afficher tous les composants du menu à l’écran en tapant ‚˜, et ainsi, pour l’ensemble des unités @)ENRG les indicateurs suivants apparaîtront :
(utilisez ‚˜ pour montrer les noms) :
International, utilisez la fonction UBASE. Par exemple, pour trouver la valeur de 1 poise (unité de viscosité) en unités SI, faites : En mode ALG, avec l’indicateur système 117 en position CHOOSE boxes : ‚Û Sélectionnez le menu unités (UNITS)
Voici la séquence à suivre pour entrer ce nombre en mode ALG, avec l’indicateur système en position CHOOSE boxes. 5‚Ý ‚Û 8@@OK@@ Entrez la quantité avec les unités dans la pile
Pour entrer la même quantité, en mode RPN, utiliser la séquence de touches suivante : 5 Entrez le nombre (pas de symbole souligné) ‚Û Sélectionnez le menu unités (UNITS) Les séquences de touches utilisées pour entrer les unités, lorsque l’option menu SOFT est sélectionnée, sont décrites ci-dessous, pour les modes ALG et RPN. Par exemple, en mode ALG, pour entrer la quantité 5_N, utilisez la séquence suivante : 5‚Ý ‚Û L @)@FORCE Sélectionnez les unités de force Sélectionnez Newtons (N) Entrez la quantité avec les unités dans la pile
5 Entrez le nombre (pas de symbole souligné) ‚Û Sélectionnez le menu unités (UNITS) L @)@FORCE Sélectionnez les unités de force @ @@N@@ 5‚Ý~n donnera le résultat : 5_N Les préfixes d’unités Vous pouvez utiliser les préfixes d’unités selon la table des préfixes du Système International qui suit.
En utilisant UBASE pour convertir ce nombre en unités par défaut (1 m), on obtient :
Une fois qu’une quantité et ses unités sont entrés dans la pile, on peut les utiliser pour effectuer des opérations comme pour des nombres normaux, mis à part le fait que les quantités avec unités ne peuvent pas être des arguments
ce qui donne 65_(m⋅yd). Pour convertir en unités du SI, utilisez la fonction UBASE:
Pour effectuer une division, par exemple, 3250 mi / 50 h, entrez, (3250_mi)/(50_h) `:
CONVERT(x,y) : convertit un objet à unités x en un objet à unités y UBASE(x) : convertit un objet à unités x en unités du SI UVAL(x) : extrait la valeur de l’objet à unités x UFACT(x,y) : factorise l’unité y de l’objet à unités x UNIT(x,y) : combine la valeur de x avec les unités de y La fonction UBASE a été décrite en détail dans un paragraphe précédent de ce chapitre. Pour accéder à l’une de ces fonctions, reportez--vous aux exemples donnés plus haut pour la fonction UBASE. Vous remarquerez que la fonction UVAL ne requiert qu’un argument, mais que les fonctions CONVERT, UFACT et UNIT nécessitent deux arguments. Essayez les exercices suivants, dans votre mode de calcul préféré. Le résultat ci-dessous a été produit en mode ALG avec le systeme flag 117 paramétré sur menu SOFT :
CONVERT(33_W,1_hp) ` CONVERT(33_W,11_hp) ` Ces opérations apparaissent ainsi à l’écran :
(CONSTANTS LIBRARY) contiennent les fonctions suivantes : SI lorsqu’elle est active, les constantes sont affichées en unités du SI ENGL lorsqu’elle est active, les constantes sont affichées en unités impériales (*) UNIT lorsqu’elle est active, les constantes sont affichées avec leurs unités (*) VALUE lorsqu’elle est active, les constantes sont affichées sans unités STK copie la valeur (avec ou sans unité) dans la pile
(*) Actif uniquement si la fonction VALUE a été choisie. Lorsque l’option VALUE est active (unités du SI), le haut de la bibliothèque des constantes s’affiche ainsi :
ALG, l’affichage est le suivant :
Dans ce cas, Vm, est l’étiquette de ce résultat. Toute opération arithmétique
Les fonctions sont : ZFACTOR : Fonction Z pour la compressibilité des gaz FANNING : Facteur de friction Fanning pour les débits liquides DARCY : Facteur de friction Darcy-Weisbach pour les débits liquides F0λ : Fonction de puissance émise par un corps noir SIDENS : Densité intrinsèque du silicium TDELTA : Fonction Delta pour les températures Sur la deuxième page de ce menu (appuyez sur L) se trouvent les éléments suivants :
ZFACTOR(xT, yP), où xT est la température normalisée, c’est-à-dire le rapport de la température réelle et de la température pseudo-critique, et où yP est la pression normalisée, c’est-à-dire le rapport le la pression réelle et de la pression pseudo-critique. La valeur de xT doit être entre 1.05 et 3.0, alors que la valeur de yP doit être entre 0 et 30. Par exemple, en mode ALG :
1/cm3) en fonction de la température T (T en K), pour T comprise entre 0 et 1685 K. Par exemple :
Fonction TINC La fonction TINC(T0,∆T) calcule T0+DT. Le principe de cette fonction est le même que celui de la fonction TDELTA dans le sens qu’elle renvoie le résultat dans les unités de T0. Sinon, elle renvoie simplement le résultat de l’addition des deux valeurs, c’est-à-dire :
Les utilisateurs peuvent définir leurs propres fonctions en utilisant la commande DEF accessible par la séquence de touches „à (associée à la touche 2). La fonction doit être entrée dans le format suivant :
<< x ‘LN(x+1) + EXP(x)’ >> Ceci est un programme simple qui est écrit dans le langage de programmation par défaut de la série HP 48 G et est également inclus dans la série HP 49 G. Ce langage de programmation est appelé UserRPL. Le programme ci-dessus est relativement simple et est constitué de deux parties, incluses entre les délimiteurs du programme << >>: • Entrées : x En mode RPN, pour activer la fonction, entrez d’abord l’argument, et appuyez ensuite sur la touche de menu correspondant au nom de la variable @@@H@@@ . Par exemple, vous pouvez essayer d’entrer : 2`@@@H@@@ . Les autres exemples ci-dessus peuvent être entrés en utilisant : 1.2`@@@H@@@ , 2/3`@@@H@@@ . Les fonctions peuvent comporter plus de 2 arguments. Par exemple, l’affichage ci-dessous indique la définition de la fonction K(α,β) = α+β, et son calcul pour les arguments K(√2,π), et K(1.2,2.3):
Dans cette section, nous nous intéressons aux fonctions qui sont définies par deux expressions ou plus. Un exemple d’une telle fonction serait :
<< x ‘IFTE(x>0, x^2-1, 2*x-1)’ >> Pour appliquer la fonction en mode ALG, tapez le nom de la fonction, f, suivi du nombre auquel vous souhaitez l’appliquer, par exemple, f(2), puis appuyez sur `. En mode RPN, entrez le nombre et appuyez sur @@@f@@@. Vérifiez par exemple que f(2) = 3, et que f(-2) = -5.
Pour programmer des fonctions plus compliquées telles que
Un nombre complexe z s’écrits z = x + iy, où x et y sont des nombres réels et i est l'unité imaginaire définie par i2 = -1. Le nombre complexe x+iy a une partie réelle, x = Re(z) et une partie imaginaire, y = Im(z). Nous pouvons imaginer un nombre complexe comme un point P(x,y) dans le plan x-y, avec l'axe x appelé l'axe réel et l'axe y appelé l'axe imaginaire. Et donc, on dit qu'un nombre complexe écrit sous sa forme x+iy est sous sa représentation Cartésienne. Une autre manière d'écrire la représentation polaire est la paire z = (x,y). La représentation polaire d’un nombre complexe est z = re iθ = r⋅cosθ + i r⋅sinθ, où r = |z| = (x,y). Par exemple, si la calculatrice est en mode ALG, le nombre complexe (3.5,-1.2) est saisi de la façon suivante : „Ü3.5‚í\1.2` Un nombre complexe peut aussi être saisi sous la forme x+iy. Par exemple, en mode ALG, 3.5-1.2i est saisi de la façon suivante : 3.5 -1.2*„¥` L’écran suivant apparaît, après avoir saisi les nombres complexes. (Remarquez la nécessité de saisir une apostrophe avant de taper le nombre 3.5-1.2i en mode RPN). L’écran RPN correspondant est présenté ci-dessous :
Ceci car le nombre est entré entre deux apostrophes, ce qui indique une expression algébrique. Pour faire l'opération, nous utilisons la touche EVAL (µ).
Retourner aux coordonnées cartésiennes ou rectangulaires en utilisant la fonction RECT (présente dans le catalogue ‚N). Un nombre complexe en représentation polaire s’écrit z = r⋅eiθ. Vous pouvez saisir ce nombre dans la calculatrice en utilisant une paire ordonnée sous la forme (r, ∠θ). Le symbole angulaire (∠) est saisi de la façon suivante ~‚6. Par exemple, le
Complex, essayez les opérations suivantes : (3+5i) + (6-3i) :
9 et une partie imaginaire 2. Essayez d’effectuer tout seul les opérations suivantes : (5-2i) - (3+4i) = (2,-6)
Les dernières options (options 7 à 10) sont les suivantes :
Ce premier écran indique les fonctions RE, IM et CR. Notez que la dernière fonction retourne une liste {3. 5.} correspondant aux parties réelle et imaginaire du nombre complexe:
ARG(3.+5.i) = 1.0303… est en radians.
SIGN, NEG (qui s'affiche en signe négatif -) et CONJ.
Le menu CMPLX accessible par le clavier constitue une autre méthode similaire au menu accessible par le MTH, contenant les fonctions basiques des nombres complexes. Essayez, pour vous exercer, d’appliquer les exemples précédents, en utilisant le menu CMPLX accessible par le clavier.
La plupart des fonctions pour nombres réels accessibles avec le clavier et expliquées au Chapitre 3, telles que, SQ, ,LN, ex, LOG, 10X, SIN, COS, TAN, ASIN, ACOS, ATAN, peuvent aussi être appliquées aux nombres complexes. Le résultat est un autre nombre complexe, comme l’illustrent les exemples suivants. Pour utiliser cette fonction, suivez la même méthode que pour les nombres réels (voir Chapitre 3).
Gamma, PSI et Psi (fonctions uniques) ont été introduites et appliquées aux nombres complexes au Chapitre 3. Ces fonctions peuvent être appliquées aux nombres complexes en suivant la méthode du Chapitre 3. Des exemples sont affichés ci-dessous :
En utilisant EVAL(ANS(1)), le résultat se simplifie :
• Une expression : ‘p*D^2/4’,’f*(L/D)*(V^2/(2*g))’ • Une équation : ‘Q=(Cu/n)*A(y)*R(y)^(2/3)*So^0.5’
Les objets algébriques peuvent être saisis en tapant l’objet entre guillemets directement dans la pile niveau 1 ou en utilisant l’Editeur d’équations ‚O. Par exemple, pour entrer l’objet algébrique ‘π*D^2/4’ directement dans la pile, utilisez : ³„ì*~dQ2/4 `. L'écran est illustré ci-dessous pour les modes ALG (côté gauche) et RPN (côté droit) :
(equation writer) et renvoyé à la pile. Le fonctionnement de l’Editeur d’équations est décrit au Chapitre 2. En guise d’exercice, construire l’objet algébrique suivant dans l’Editeur d’équation :
La combinaison de touches correspondante en mode RPN est la suivante : ³„ì*~r Q2`~a1 K Après avoir stocké la variable A2 et appuyé sur la touche, l’écran affiche les variables comme suit :
Remarquez que, en bas de l’écran, la ligne See: EXPAND FACTOR suggère des liens vers d’autres entrées de la fonction d’aide, ici les fonctions EXPAND et FACTOR. Pour aller directement à ces entrées, appuyez sur l’onglet du menu logiciel @SEE1! pour EXPAND, et @SEE2! pour FACTOR. En appuyant sur @SEE1!, par exemple, l’information suivante sur EXPAND, s’affiche :
EXPAND illustrée ci-dessus, appuyez sur l’onglet du menu logiciel @ECHO! pour copier l’exemple suivant dans la pile (appuyez sur ` pour exécuter) :
L’illustration de gauche montre la façon de saisir l’expression (la valeur à substituer, x=2, doit être comprise entre parenthèses) avant d’appuyer sur `. Après avoir appuyé sur `, le résultat s’affiche comme dans l’illustration de droite :
Une approche différente de la substitution consiste à définir les expressions de substitution dans les variables de la calculatrice et à placer le nom des
être obtenus en appuyant sur la touche shift de droite suivie de la touche 8, c’est-à-dire ‚Ñ. La combinaison de cette touche avec la touche shift de gauche, c’est-à-dire ‚ Ð, fait s’afficher un menu qui vous permet de remplacer des expressions en termes de fonctions exponentielles ou de logarithmes naturels. Dans les sections suivantes, nous présentons ces menus de manière plus détaillée.
La commande „Ð affiche le menu suivant :
été introduites dans le menu HYPERBOLIC, dans le menu MTH (voir Chapitre 2). La seule fonction restante est EXPLN. Ainsi, sa description est illustrée ici dans la colonne de gauche, et l’exemple extrait de la fonction d’aide à droite :
Le menu TRIG, auquel on accède en utilisant ‚Ñ, affiche les fonctions suivantes :
La description de ces commandes ainsi que des exemples de leurs applications sont disponibles dans la fonction d’aide de la calculatrice (IL@HELP). Nous invitons l’utilisateur à explorer cette fonction pour trouver des informations sur les commandes du menu TRIG. Notez que la premiere commande du menu TRIG est le menu HYPERBOLIC, dont les fonctions ont été expliquées au Chapitre 2.
(associée à la touche 1 ). Une fois l’indicateur système 117 paramétré sur CHOOSE boxes, „Þ affiche le menu suivant :
PROPFRAC, SIMP2) correspondent aux fonctions habituelles qui s’appliquent aux nombres entiers ou aux polynômes. Les options restantes (1. INTEGER, 2. POLYNOMIAL, 3. MODULO, et 4. PERMUTATION) sont en fait des sousmenus de fonctions qui s’appliquent à des objets mathématiques spécifiques. La distinction entre les sous-menus (options 1 à 4) et les fonctions simples (options 5 à 9) est évidente quand l’indicateur système 117 est paramétré sur menus SOFT. En activant le menu ARITHMETIC („Þ ), dans ces circonstances, on affiche :
Renvoie u,v, tels que au + bv = gcd(a,b)
Prochain nombre premier pour un entier donné Nombre premier comme norme au carré d’un nombre complexe Nombre premier précédant un entier donné
Factorise un nombre entier ou un polynôme Génère une fraction à partir des racines et de la multiplicité Renvoie les racines et la multiplicité à partir d’une fraction donnée Plus grand diviseur commun de 2 nombres ou polynômes Polynôme Hermite de nième degré Evaluation de Horner d’un polynôme Interpolation du polynôme de Lagrange Plus petit multiple commun de 2 nombres ou polynômes Polynôme de Legendre de nième degré Décomposition partielle-fraction d’une fraction donnée (Aucune entrée disponible dans la fonction d’aide) Renvoie Q(x-a) dans Q(x-a) = P(x), polynôme de Taylor Quotient euclidien de deux polynômes Déterminant de la matrice Sylvester de 2 polynômes Reste euclidien de deux polynômes Séquences de Sturm pour un polynôme Signe à lien bas et nombre de zéros entre les liens
Divise deux polynômes modulo le module actuel Inverse d'un entier modulo le module actuel (Aucune entrée disponible dans la fonction d’aide) Modifie les paramètres du module à la valeur spécifiée Multiplication de deux polynômes modulo le module actuel Elève un polynôme à une puissance modulo le module actuel Soustraction de 2 polynômes modulo le module actuel
12 seraient 10-5 ≡ 5 (mod 12); 6-9 ≡ 9 (mod 12); 5 – 8 ≡ 9 (mod 12); 5 – 10 ≡ 7 (mod 12) etc. La multiplication suit la règle suivante : si j⋅k > n, de telle sorte que j⋅k = m⋅n + r, où m et r sont des entiers non négatifs, tous deux inférieurs à n, alors j⋅k ≡ r (mod n). Le résultat de la multiplication fois j fois k en module n arithmétique est, par essence, le reste entier de j⋅k/n en arithmétique infinie, si j⋅k>n. Par exemple, en module 12 arithmétique nous avons 7⋅3 = 21 = 12 + 9, (ou, 7⋅3/12 = 21/12 = 1 + 9/12, est le reste entier. Nous pouvons maintenant écrire 7⋅3 ≡ 9 (mod 12) et lire ce résultat “sept fois trois est congru à neuf, modulo trois.” L’opération de division peut être définie en termes de multiplication comme suit , r/k ≡ j (mod n), si, j⋅k ≡ r (mod n). Cela signifie que r doit être le reste de j⋅k/n. Par exemple, 9/7 ≡ 3 (mod 12), parce que 7⋅3 ≡ 9 (mod 12). Certaines divisions ne sont pas permises en arithmétique modulaire. Par exemple, en arithmétique module 12, vous ne pouvez pas définir 5/6 (mod 12) parce que la table de multiplication de 6 ne montre pas le résultat 5 en arithmétique module 12. Cette table de multiplication est donnée ci-dessous :
Depuis le début, nous avons défini nos opérations arithmétiques finies de telle sorte que les résultats soient toujours positifs. Le système arithmétique modulaire dans la calculatrice est paramétré de telle sorte que l’anneau de module n inclue les nombres -n/2+1, …,-1, 0, 1,…,n/2-1, n/2, si n est pair, et –(n-1)/2, -(n-3)/2,…,-1,0,1,…,(n-3)/2, (n-1)/2, si n est impair. Par exemple, pour n = 8 (pair), l’anneau arithmétique fini dans la calculatrice comprend les nombres : (-3,-2,-1,0,1,3,4), tandis que pour n = 7 (impair), l’anneau arithmétique fini de la calculatrice correspondant est donné par (-3,2,-1,0,1,2,3). Arithmétique modulaire dans la calculatrice Pour lancer le menu arithmétique modulaire dans la calculatrice, sélectionner le sous-menu MODULO dans le menu ARITHMETIC („Þ). Le menu disponible propose les fonctions suivantes : ADDTMOD, DIVMOD, DIV2MOD, EXPANDMOD, FACTORMOD, GCDMOD, INVMOD, MOD, MODSTO, MULTMOD, POWMOD, et SUBTMOD. De brèves descriptions de ces fonctions ont été données dans une section précédente. Nous allons présenter par la suite quelques applications de ces fonctions. Paramétrer le module (ou MODULO) La calculatrice contient une variable appelée MODULO qui est placée dans le répertoire {HOME CASDIR} et va enregistrer la magnitude du module à utiliser dans l’arithmétique modulaire. La valeur par défaut du MODULO est 13. Pour changer la valeur du MODULO, vous pouvez soit enregistrer la nouvelle valeur directement dans la variable MODULO du sous-répertoire {HOME CASDIR} Sinon, vous pouvez enregistrer une nouvelle valeur de MODULO en utilisant la fonction MODSTO. Opération d’arithmétique modulaire avec des nombres Pour ajouter, soustraire, multiplier, diviser et élever à une puissance en arithmétique modulaire vous utiliserez les fonctions ADDTMOD, SUBTMOD, MULTMOD, DIV2MOD et DIVMOD (pour la division), et POWMOD. En mode RPN, vous devez saisir les deux nombres sur lequel le calcul doit être
Exemples de ADDTMOD 6+5 ≡ -1 (mod 12) 6+6 ≡ 0 (mod 12) 11+5 ≡ 4 (mod 12) Les polynômes sont des expressions algébriques consistant en un ou plusieurs termes contenant des puissances décroissantes d’une variable donnée. Par exemple, ‘X^3+2*X^2-3*X+2’ est un polynôme de troisième degré de X, tandis que ‘SIN(X)^2-2’ est un polynôme de deuxième degré de SIN(X). Une liste des fonctions du menu ARITHMETIC liées aux polynômes a été présentée plus tôt. Quelques définitions générales sur les polynômes sont proposées ciaprès. Dans ces définitions, A(X), B(X), C(X), P(X), Q(X), U(X), V(X), etc., sont des polynômes. • Fraction polynomiale : une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont des polynômes, disons C(X) = A(X)/B(X) • Racines ou zéros, d’un polynôme : valeurs de X pour lesquelles P(X) = 0 • Pôles d’une fraction : racines du dénominateur • Multiplicité des racines ou des pôles : nombre de fois qu’une racine apparaît, c’est-à-dire P(X) = (X+1)2(X-3) a les racines {-1, 3} avec des multiplicités {2,1} • Polynôme cyclothymique (Pn(X)): un polynôme d’ordre d’EULER(n) dont les racines sont les primitives nièmes racines de l’unité, à savoir, P2(X) = X+1, P2 4(X) = X +1 • Equation du polynôme de Bézout : A(X) U(X) + B(X)V(X) = C(X) Des exemples d’applications de ces fonctions sont illustrés ci-dessous.
Un polynôme P(X) appartient à un anneau arithmétique fini de modules polynomiaux M(X), s’il existe un troisième polynôme Q(X), tel que (P(X) – Q(X)) est un multiple de M(X). Nous pourrions alors écrire : P(X) ≡ Q(X) (mod M(X)). Cette dernière expression est interprétée comme “P(X) est congru à Q(X), modulo M(X)”.
[expression_2, modulo_2]. Les données de sortie sont un vecteur contenant [expression_3, modulo_3], où modulo_3 est lié au produit (modulo_1)⋅(modulo_2). Exemple: CHINREM([‘X+1’, ‘X^2-1’],[‘X+1’,’X^2’]) = [‘X+1’,-(X^4-X^2)] Déclaration du Théorème Chinois pour les entiers Si m1, m2,…,mr sont des nombres naturels dont chaque paire est un nombre premier relatif et : a1, a2, …, ar sont des entiers quelconques, alors il existe un entier x qui satisfait simultanément les congruences : x ≡ a1 (mod m1), x ≡ a2 (mod m2), …, x ≡ ar (mod mr). De plus, si x = a est une solution quelconque, alors toutes les autres solutions sont congruentes à un modulo égal au produit m1⋅m2⋅ … mr.
HERMITE(5) = ‘32*x^5-160*X^3+120*X’.
Par exemple, PTAYL(‘X^3-2*X+2’,2) = ‘X^3+6*X^2+10*X+6’. En fait, vous devez interpréter ce résultat comme signifiant ‘(X-2) ^3+6*(X-2) ^2+10*(X-2) +6’. Vérifions en utilisant la substitution : ‘X = x – 2’. Nous retrouvons le polynôme original, mais en terme de x minuscule plutôt que de x majuscule.
Q(X) et le reste R(X) résultant de la division de deux polynômes, P1(X) and P2(X). En d’autres termes, elles fournissent les valeurs de Q(X) et R(X) à partir de P1(X)/P2(X) = Q(X) + R(X)/P2(X). Par exemple : QUOT(X^3-2*X+2, X-1) = X^2+X-1 REMAINDER(X^3-2*X+2, X-1) = 1.
ARITHMETIC, il faut y accéder à travers le catalogue de fonctions (‚N). Exemple : PEVAL([1,5,6,1],5) = 281.
Tchebycheff de premier type, d’ordre n, étant donnée une valeur de Tn(X) = cos(n⋅arccos(X)). Si l’entier n est négatif (n < 0), la fonction TCHEBYCHEFF(n)
‘2*X+(1/2/(X+i)+1/2/(X-2)+5/(X-5)+1/2/X+1/2/(X-i))’
Note: Si une fraction rationnelle est produite sous forme F(X) = N(X)/D(X), les racines de la fraction sont données par la résolution de l’équation N(X) = 0, tandis que les pôles sont donnés par la résolution de l’équation D(X) = 0. La base de la fonction est un vecteur faisant la liste des racines suivies de leur multiplicité (c’est-à-dire, combien de fois une racine donnée est répétée), et les pôles suivis de leur multiplicité représentée comme un nombre négatif. Par exemple, si vous voulez créer une fraction de racines 2 avec multiplicité 1, 0 de multiplicité 3, et -5 de multiplicité 2, et des pôles 1 de multiplicité 2 et –3 de multiplicité 5, utilisez : FCOEF([2 1 0 3 –5 2 1 -2 -3 -5]) = ‘(X--5)^2*X^3*(X-2)/(X--3)^5*(X-1)^2’ Si vous appuyez sur µ vous obtenez :
En paramétrant les modes du CAS sur étape par étape, la calculatrice affiche les simplifications des fractions ou les opérations avec des polynômes étape par étape. Cela est très utile pour visualiser les étapes d’une division synthétique. L’exemple de la division
X −2 est expliqué en détail dans l'appendice C. L’exemple suivant illustre une division synthétique plus longue :
Ce menu est le même que le menu BASE obtenu en utilisant ‚ã. Les applications de ce menu sont discutées en détail dans le Chapitre 19.
Ce menu est le même que le menu TRIG obtenu en utilisant ‚Ñ. Les applications de ce menu sont discutées en détail dans le présent Chapitre.
Ce menu contient également les fonctions suivantes :
Ce menu contient également les fonctions suivantes :
à virgule flottante en une fraction de π, si une fraction de π peut être trouvée pour ce nombre, sinon la fonction convertit le nombre en fraction. Des exemples d’applications de ces trois fonctions sont illustrés ci-dessous.
EXP2POW, FDISTRIB, LIN, LNCOLLECT, POWEREXPAND et SIMPLIFY s’appliquent aux expressions algébriques. Plusieurs de ces fonctions sont présentées dans le présent Chapitre. Cependant, dans un souci d’exhaustivité, nous présentons ici les entrées de la fonction Aide pour ces fonctions :
“Symbolic Solver“. Activer le menu en utilisant la combinaison de touches appropriée. Si l’indicateur système 117 est paramétré sur CHOOSE boxes, les listes de menu suivantes s’affichent :
SOLVZVX résout une équation polynomiale où l’inconnue est la variable par défaut du CAS VX (paramétré généralement comme ‘X’). Finalement, la fonction ZEROS calcule les zéros, ou racines, des polynômes. Les entrées de toutes les fonctions du menu S.SLV, sauf la fonction ISOL, sont accessibles par l’intermédiaire de la fonction d'aide du CAS (IL@HELP ).
Equation en isolant une variable. Par exemple, avec la calculatrice paramétrée en mode ALG, pour trouver t dans l’équation at3-bt = 0 nous pouvons procéder comme suit :
(associée à la touche \ ). Le même problème peut être résolu en mode RPN de la façon présentée cidessous (les illustrations montrent la pile RPN avant et après l’application de la fonction ISOL) :
SOLVE peut aussi être utilisée pour résoudre des équations polynomiales. L’entrée de la fonction d’aide de la calculatrice pour la fonction SOLVE, présentant la solution de l’équation X^4 – 1 = 3, est illustrée ci-dessous :
=125, SOLVE n’a pas trouvé de solution { }. Pour la seconde, β4 - 5β = 6, SOLVE a trouvé quatre solutions, affichées à la dernière ligne. La toute dernière solution n’est pas visible car l’affichage du résultat nécessite plus de caractères que la largeur d’écran ne le permet. Cependant, vous pouvez toujours voir toutes les solutions en utilisant la flèche directionnelle vers le bas (˜), qui enclenche l’éditeur de ligne (cette opération peut être utilisée pour accéder à n’importe quelle ligne de résultat dépassant la largeur de la calculatrice) :
Les fonctions du menu de résolution symbolique “Symbolic Solver“ présentées ci-dessus donnent des solutions à des équations rationnelles (essentiellement des équations polynomiales). Si l’équation à résoudre est affectée de coefficients numériques, il est possible de trouver une solution numérique en utilisant les options de résolution numérique de la calculatrice.
à cet environnement, vous devez lancer le calculateur numérique " numerical solver" (NUM.SLV) en utilisant ‚Ï. Cela affiche un menu déroulant qui présente les options suivantes :
équations différentielles. L'option 4. Solve lin sys.. sera présentée dans un autre chapitre, avec les matrices. L’option 6. MSLV (Multiple equation SoLVer) sera présentée dans le chapitre suivant. Nous vous présentons ci-dessous les applications des options 3. Solve poly.., 5. Solve finance, et 1. Solve equation .., dans cet ordre. L’Annexe 1-A, à la fin du Chapitre 1, contient des instructions sur la façon d’utiliser les formulaires de saisie avec des exemples d'application du calculateur numérique. Notes: 1. Chaque fois que vous résolvez une équation pour une valeur donnée dans les applications NUM.SLV, la valeur trouvée est placée dans la pile. Ceci est pratique si vous avez besoin de conserver cette valeur pour d’autres opérations. 2. Une ou plusieurs variables seront créées chaque fois que vous activez certaines des applications du menu NUM.SLV.
En utilisant l’option Solve poly… dans l’environnement SOLVE de la calculatrice, vous pouvez : (1) Trouvez les solutions d’équations polynomiales; (2) Obtenir les coefficients polynomiaux ayant un nombre de racines donné;
Nous voulons placer les coefficients de l’équation dans un vecteur : [an,an-1,a1 a0]. Pour cet exemple, nous utilisons le vecteur : [3,2,0,-1,1]. Pour résoudre cette équation polynomiale en utilisant la calculatrice, essayez la démarche suivante : ‚Ϙ˜@@OK@@ Sélectionner Solve poly… „Ô3‚í2‚í 0 Générer des coefficients polynomiaux à partir des racines polynomiales Supposez que vous voulez générer le polynôme dont les racines sont les nombres [1, 5, -2, 4]. Pour que la calculatrice effectue ce calcul, suivre la procédure suivante : ‚Ϙ˜@@OK@@ ˜„Ô1‚í5 ‚í2\‚í 4@@OK@@ Appuyer sur ` pour retourner à la pile. Les coefficients seront indiqués dans la pile.
Générer une expression algébrique pour le polynôme Vous pouvez utiliser la calculatrice pour générer une expression algébrique pour un polynôme à partir des coefficients ou des racines de ce polynôme. L’expression résultant de ce calcul sera affichée en fonction de la variable par défaut du CAS X (les exemples ci-dessous montrent comment vous pouvez remplacer X par n’importe quelle autre variable en utilisant la fonction |.) Pour générer l’expression algébrique en utilisant des coefficients, essayer l’exemple suivant. Supposons que les coefficients polynomiaux sont [1,5,-2,4]. Utiliser la combinaison de touches suivante : ‚Ϙ˜@@OK@@ „Ô1‚í5 ‚í2\‚í 4@@OK@@ Retour à la pile
'(X-1)*(X-3)*(X+2)*(X-1)'. Pour développer les produits, vous pouvez utiliser la commande EXPAND. L’expression en résultant est : 'X^4+-3*X^3+ -3*X^2+11*X-6'. Une approche différente afin d’obtenir une expression pour le polynôme est de générer d’abord les coefficients, puis l’expression algébrique avec les coefficients mis en surbrillance. Par exemple, dans ce cas, essayez : ‚Ϙ˜@@OK@@ ˜„Ô1‚í3 ‚í2\‚í 1@@OK@@ Retour à la pile
'X^4+-3*X^3+ -3*X^2+11*X+-6*X^0'. Les coefficients sont affichés au niveau 2 de la pile.
Les calculs de l’option 5. Solve finance.. en résolution numérique (NUM.SLV) sont utilisés pour calculer la valeur temporelle de l’argent par référence à l’ingénierie économique et à d’autres applications financières. Cette application peut aussi être lancée en utilisant la combinaison de touches „sÒ (associée à la touche 9 ). Avant de discuter en détails des
(P/YR) est un nombre entier de périodes par lequel l’année est divisée dans le but de rembourser l’argent de l’emprunt. Les valeurs typiques de P/YR sont 12 (un paiement par mois), 24 (un paiement deux fois par mois) ou 52 (paiements hebdomadaires). Le paiement (PMT) est le montant que l’emprunteur doit payer au prêteur au début ou à la fin de chacune des n périodes de l’emprunt. La valeur future de l’argent (FV) est la valeur qu’atteindra le montant emprunté à la fin des n périodes. En général, le paiement intervient à la fin de chaque période, de telle sorte que l’emprunteur commence à payer à la fin de la première période et paye ensuite le même montant fixe à la fin de la deuxième, troisième etc… périodes, jusqu’à la fin de la n-ème période. Exemple 1 – Calculer le remboursement d’un emprunt Si $2 millions sont empruntés à un taux d’intérêt annuel de 6.5% et doivent être remboursés en 60 paiements mensuels, quel est le montant du paiement mensuel ? Afin que la dette soit entièrement payée en 60 mois, les valeurs futures de l’emprunt doivent être zéro. Donc, afin d’utiliser la fonction de calculs financiers de la calculatrice, nous allons utiliser les valeurs suivantes : n = 60, I%YR = 6.5, PV = 2000000, FV = 0, P/YR = 12. Pour saisir les données et résoudre le montant du paiement, PMT, utiliser : „Ò 60 @@OK@@ 6.5 @@OK@@ L’écran montre maintenant la valeur de PMT–39,132.30, Cela signifie que l’emprunteur doit payer au prêteur US $ 39,132.30 à la fin de chaque mois pendant 60 mois pour rembourser le montant total. Si la valeur de PMT s’affiche comme négative, c’est que la calculatrice calcule le montant du point de vue de l’emprunteur. L’emprunteur a +US$ 2,000,000.00 à une période temporelle t = 0, puis il commence à payer, c’est-à-dire qu’il ajoute -US $ 39132.30 au temps t = 1, 2, …, 60. A t = 60, la valeur nette entre les mains de l’emprunteur est zéro. Maintenant, si vous prenez la valeur US $ 39,132.30 et la multipliez par 60 paiements, le montant total remboursé par l’emprunteur est US $ 2,347,937.79. Par conséquent, le prêteur fait un profit net de $ 347,937.79 sur les cinq ans pendant lesquels son argent a été utilisé pour financer le projet de l’emprunteur. Exemple 2 – Calculer l’amortissement d’un emprunt La même solution au problème de l’exemple 1 peut être trouvée en appuyant sur @)@AMOR!!, qui signifie AMORTISSEMENT. Cette option est utilisée pour calculer quel montant de l’emprunt a été amorti à la fin d’un certain nombre de paiements. Supposons que nous utilisions 24 périodes à la première ligne de l’écran amortissement, c’est-à-dire : 24@@OK@@. Puis appuyez sur @@AMOR@@. Le menu suivant s’affiche :
0.000316. Bien sûr, ce solde devrait être zéro. La valeur affichée à l’écran cidessus est simplement l’erreur d’arrondi résultant de la solution numérique. Double-cliquez sur $ou `, pour revenir en mode d’affichage normal. Exemple 3 – Calculer le plan de paiement pour des paiements en début de période. Résolvons le même problème qu’aux exemples 1 et 2, mais en utilisant l’option de paiement en début de période de paiement. Utiliser : „Ò 60 @@OK@@ 6.5 @@OK@@ Mettre PMT en surbrillance et résoudre
2. Les valeurs calculées dans l’environnement du calculateur financier sont copiées dans la pile avec leur équette correspondante (désignation d’identification). Effacer des variables Lors de la première utilisation de l’environnement du calculateur financier dans le répertoire HOME ou dans n’importe quel sous-répertoire, les variables suivantes sont générées automatiquement : @@@N@@ @I©YR@ @@PV@@ @@PMT@@ @@PYR@@ @@FV@@ pour enregistrer les termes correspondants dans les calculs. Vous pouvez voir le contenu des variables en utilisant : ‚@@ @n@@ ‚@I©YR@ ‚@@PV@@ ‚@@PMT@@ ‚@@PYR@@ ‚@@FV@@. Vous pouvez soit garder ces variables pour un usage futur, soit utiliser la fonction PURGE pour les effacer du répertoire. Pour effacer toutes les variables à la fois, si vous utilisez le mode ALG mode, essayez la procédure suivante : I@PURGE J „ä ³‚@@@n@@ Entrez le nom de la PMT Entrez une virgule Entrez le nom de la variable PYR Entrez une virgule
J „ä @@@n@@ Purge les variables de la liste
Appuyer sur J pour voir les variables EQ nouvellement créées :
‚Ï@@OK@@. L’écran correspondant est présenté ci-dessous :
@SOLVE@. La solution est maintenant X: -3.045. Marche à suivre pour résoudre des équations avec Equation Solve... La résolution numérique pour les équations à une seule inconnue fonctionne comme suit : • Elle permet à l’utilisateur de saisir ou d'appuyer sur @CHOOS pour résoudre une équation. • Elle crée un formulaire de saisie avec des champs de saisie correspondant à toutes les variables stockées dans la variable EQ. • L’utilisateur doit saisir des valeurs pour toutes les variables impliquées sauf une. • L’utilisateur met ensuite en surbrillance le champ correspondant à l’inconnue à trouver dans l’équation et appuie sur @SOLVE@ • L’utilisateur peut forcer la solution en émettant une supposition initiale dans le champ de saisie approprié avant de résoudre l’équation.
La solution que la calculatrice cherche est déterminée par la valeur initiale présente dans le champ " inconnue". Si aucune valeur n’est saisie, la calculatrice utilise la valeur par défaut de zéro. Par conséquent, vous pouvez rechercher plus d’une solution à l’équation en changeant la valeur initiale de l’inconnue dans le champ de saisie. Des exemples de solutions d’équations sont présentés ci-dessous. Example 1 – Loi de comportement de Hooke L’équation à utiliser est la loi de comportement de Hooke pour une déformation normale dans la direction x d’une particule solide soumise à une contrainte donnée par
Avec le champ ex: en surbrillance, appuyez sur @SOLVE@ pour trouver ex:
0.005 dans le champ ex: et un zéro dans le champ ∆T: (avec ∆T = 0, aucun effet thermique n’est inclus.) Pour trouver E, mettre le champ E: en surbrillance et appuyer sur @SOLVE@. Le résultat, visible avec l’option @EDIT est : E = 449000 psi. Appuyer sur @SOLVE@ ` pour retourner à l’affichage normal. Notez que les résultats trouvés dans l’environnement de résolution numérique ont été copiés dans la pile :
Exemple 2 – Energie spécifique d’un flux en canal ouvert L’énergie spécifique dans un canal ouvert est définie comme l’énergie par unité de poids mesurée par rapport au fond du canal. Supposons que E = est l’énergie spécifique, y = la profondeur du canal, V = la vélocité du flux, g = l’accélération de la gravité. Nous pouvons alors écrire :
équation d’énergie spécifique. La solution que nous venons de trouver correspond à la solution numérique avec une valeur initiale de 0 (la valeur par défaut pour y, à savoir chaque fois que le champ de solution est vide, la valeur par défaut est zéro). Pour trouver d’autres solutions, nous devons saisir une valeur plus grande de y, disons 15, mettre le champ y en surbrillance et résoudre y une fois de plus :
Cet exemple illustre l’utilisation des variables auxiliaires pour écrire des équations compliquées. Quand NUM.SLV est activé, les substitutions induites par les variables auxiliaires sont mises en œuvre et l’écran de saisie pour les équations fournit des champs de saisie pour les variables primaires ou fondamentales résultant des substitutions. L’exemple illustre aussi une équation avec plus d’une solution et la sélection de la supposition initiale de la solution pour produire des solutions différentes.
Fonction spéciale pour les flux dans les tuyaux : DARCY (ε/D,Re) L’équation de Darcy-Weisbach est utilisée pour calculer la perte d’énergie (par unité de poids), hf, d’un flux dans un tuyau de diamètre D, de rugosité absolue ε et de longueur L quand la vélocité du flux dans le tuyau est V. L’équation s’écrit. h f = f ⋅
quantité f est connue comme le
Re. Le nombre de Reynolds est défini comme Re = ρVD/µ = VD/ν, où ρ et µ sont la densité et la viscosité dynamique du fluide, respectivement, et ν = µ/ρ est la viscosité cinétique du fluide. La calculatrice fournit une fonction appelée DARCY qui utilise comme donnée d’entrée la rugosité relative ε/D et le nombre de Reynolds, dans cet ordre, pour calculer le facteur de friction f. Vous pouvez accéder à la fonction DARCY par l’intermédiaire du catalogue de commandes :
Par conséquent, l’équation que nous sommes en train de résoudre, après avoir combiné les différentes variables du répertoire, est :
D: avant de résoudre le problème. La solution est présentée sur l’écran de droite :
D s’affiche dans la pile. Exemple 4 – Gravitation universelle La loi de Newton sur la gravitation universelle indique que la magnitude de la force d’attraction entre deux corps de masse m1 et m2 séparés par une distance r est donnée par l’équation de la F = G ⋅
En lançant la résolution numérique pour cette équation, un formulaire de saisie s’affiche avec des champs de saisie pour F, G, m1, m2 et r.
De même, saisir une valeur de 0_N dans le champ F pour fournir les unités correctes à la calculatrice:
La solution est F : 6.67259E-15_N, ou F = 6.67259×10-15 N. Note: Lorsque vous utilisez des unités dans la résolution numérique, assurezvous que toutes les variables ont les unités appropriées, que les unités sont compatibles et que l’équation est homogène en termes de dimensions. Différentes manières de saisir une équation dans EQ Dans tous les exemples présentés ci-dessus, nous avons saisi l’équation à résoudre dans les variables EQ avant de lancer la résolution numérique. Vous pouvez en fait saisir l’équation à résoudre directement dans la résolution après l‘avoir lancé en éditant le contenu des champs EQ by dans le formulaire de saisie de la résolution numérique. Si la variable EQ n’a pas été précédemment définie, lorsque vous lancez la résolution numérique, (‚Ï@@OK@@), le champ EQ est en surbrillance:
Deux apostrophes s’affichent automatiquement afin que vous puissiez saisir l’expression à l'intérieur :
Une autre façon de saisir une équation dans la variable EQ est de sélectionner des variables déjà existantes dans votre répertoire et de les saisir dans EQ. Cela veut dire que votre équation aura dû être enregistrée sous un nom de variable avant d’activer la résolution numérique. Par exemple, supposons que vous ayez saisi les équations suivantes dans les variables EQ1 et EQ2 :
EQ en surbrillance. A ce stade, appuyez sur la touche menu @CHOOS. Utilisez ensuite les flèches vers le haut et vers le bas (—˜) pour sélectionner, par ex., la variable EQ1:
Les sous-menus proposés par le menu SOLVE sont les suivants :
Ce résultat indique que vous pouvez résoudre la valeur t pour l’équation affichée en haut de l’écran. Si vous essayez, par exemple, „[ t ], vous obtiendrez le résultat t: 1., après que le message “Solving for t” a clignoté brièvement. Il existe une deuxième racine à cette équation, qui peut être trouvée en changeant la valeur de t avant de la résoudre de nouveau. Procédez comme suit : 10 [ t ] puis appuyez sur „[ t ]. Le résultat est
SOLVE est perdu à ce stade, aussi vous devez l’activer une fois de plus (comme cela a été expliqué précédemment) pour continuer les exercices suivants. Exemple 2 - Résoudre l’équation Q = at2+bt Il est possible d’enregistre dans EQ une équation impliquant plus d’une variable, disons ‘Q = at^2 + bt’. Dans ce cas, après avoir activé le menu logiciel SOLVE et appuyé sur @)ROOT @)SOLVR, l’écran suivant s’affiche :
= 2 et b = 3. Vous utilisez: 14 [ Q ], 2 [ a ], 3 [ b ]. Comme des valeurs numériques sont attribuées aux variables Q, a et b, les valeurs assignées sont affichées dans le coin supérieur gauche de l’écran. A ce stade, nous pouvons résoudre t, en utilisant „[ t ]. Le résultat est t: 2. Appuyez sur @EXPR= pour afficher les résultats:
2 [ a ] 5 [ b ] 19 [ c ]. De même, puisque nous ne pouvons résoudre qu’une équation à la fois, saisissons une valeur de supposition pour Y, à savoir : 0 [ Y ], et résolvons X, en utilisant „[ X ]. Cela donne la valeur X: 9.4999…. Pour vérifier la valeur de l’équation à ce stade, appuyer sur @EXPR=. Les résultats sont : gauche : 19, droite : 19. Pour résoudre l’équation suivante, appuyez sur L @NEXQ. L’écran affiche des indications de touches de menu comme suit :
Y, utilisez „[ X ] et „[ Y ], respectivement. La séquence de solutions suivante s’affiche :
Y converge à une valeur de 0.799. Utilisation des unités du sous-menu SOLVR Il y a quelques règles concernant l’utilisation des unités du sous-menu SOLVR : • Saisir une estimation avec des unités pour toute variable consitera à utiliser ces unités dans la solution. • Si une nouvelle estimation ne possède pas de limites, les dernières unités utilisées avec cette variable seront utilisées dans ce cas. • Pour enlever des unités, saisir un nouveau nombre d’estimation sans unité dans une liste, c’est-à-dire utiliser le format { nombre }. • Une liste de nombres peut être utilisée comme estimation de la variable. Dans ce cas, les unités par défaut sont celles de la liste précédente. Par exemple, la saisie de { 1.41_ft 1_cm 1_m } indique que les mètres (m) seront utilisés pour cette variable. • L’expression utilisée dans la solution doit avoir des unités consistantes ou une erreur apparaîtra lorsque vous tenterez de résoudre l’équation pour une valeur.
[an, an-1, … , a2, a1 , a0], et une valeur x0, à savoir : PEVAL calcule anx0n + an-1x0n-1 + … + a2x02 + a1x0 + a0. Par exemple, pour les coefficients [2, 3, -1, 2] et une valeur de 2, PEVAL retourne la valeur 28.
0 et n) et retourne le montant principal, les intérêts et le solde pour les valeurs actuellement stockées dans les variables TVM. Par exemple, avec les données utilisées précédemment, si nous activons la fonction AMORT pour une valeur de 10, nous obtenons :
équations en utilisant cette procédure. De même, plus les expressions sont compliquées, plus le CAS mettra du temps à résoudre un système particulier d’équations. Des exemples de cette application sont présentés ci-dessous :
Utilisez la fonction SOLVE avec les vecteurs d’arguments suivants, le premier étant la liste des équations : [‘x = x0 + v0*COS(θ0)*t’ ‘y =y0+v0*SIN(θ0)*t – g*t^2/2’]` et le second les variables à résoudre, à savoir t et y0, ce qui s’énonce [‘t’ ‘y0’]. La solution dans ce cas sera fournie en mode RPN. La seule raison pour cela est que nous pouvons ainsi construire l’équation pas à pas. L’opération en mode ALG est très similaire. Tout d’abord, nous enregistrons le premier vecteur (équations) dans la variable A2 et le vecteur de variables dans la variable A1. L’écran suivant montre la pile RPN avant d’enregistrer les variables.
Pour procéder à la résolution, commencez par changer le mode du CAS en passant à Exact, puis faites la liste des contenu de A2 et A1, dans cet ordre : @@@A2@@@ @@@A1@@@ .
Après environ 40 secondes, peut-être plus, vous obtenez comme résultat la liste suivante : Note: Cette méthode a bien fonctionné pour cet exemple parce que les inconnues t et y0 étaient des termes algébriques dans les équations. Cette méthode ne fonctionnerait pas pour résoudre θ0, puisque θ0 appartient à un terme transcendant.
T2 dans la pile et d’une addition ou d’une soustraction des deux. Voici comment procéder avec l’Editeur d’équation : Saisir et enregistrer le terme T1 :
σrr, et σθθ. Nous saisissons un vecteur avec les inconnues :
La calculatrice va mettre jusqu’à une minute pour produire le résultat : {[‘Pi=-(((σθ-σr)*r^2-(σθ+σr)*a^2)/(2*a^2))’ ‘Po=-(((σθ-σr)*r^2-(σθ+σr)*b^2)/(2*b^2))’ ] }, à savoir
2. Un vecteur contenant les variables à trouver, à savoir ‘[X,Y]’ 3. Un vecteur contenant les valeurs initiales de la solution, à savoir les valeurs initiales à la fois de X et de Y sont zéro dans cet exemple. En mode ALG, appuyer sur @ECHO pour copier l’exemple dans la pile, appuyer sur ` pour effectuer. Pour voir tous les éléments de la solution, vous devez activer l’éditeur de ligne en appuyant la touche directionnelle vers le bas. (˜):
Comme la solution fournie par la fonction MSLV est numérique, les informations dans le coin supérieur gauche montrent le résultat du processus itératif utilisé pour obtenir la solution. La solution finale est X = 1.8238, Y = -0.9681.
Ce problème particulier de flux à surface libre nécessite la résolution simultanée de deux équations, l’équation d’énergie et l’équation de
Cu A 5 / 3 A = (b + my ) y , tandis que le périmètre mouillé est donné par
Généralement, il faut résoudre les équations d’énergie et de Manning simultanément pour y et Q. Une fois que ces équations sont écrites en termes des variables primaires b, m, y, g, So, n, Cu, Q et Ho, il nous reste un système d’équations de forme f1(y,Q) = 0, f2(y,Q) = 0. Nous pouvons construire ces deux équations comme suit. Nous supposons que nous allons utiliser le mode ALG et les modes Exacts dans la calculatrice, même si la définition et la résolution d’équations avec MSLV sont très similaires en mode RPN. Créez un sous-répertoire, disons CHANL (pour open CHANneL),et définissez les variables suivantes dans ce sous-répertoire :
Supposons que nous utilisions H0 = 5 ft, b = 1.5 ft, m = 1, n = 0.012, S0 = 0.00001, g = 32.2, et Cu = 1.486. Avant d’être en mesure d’utiliser MSLV pour trouver la solution, nous devons saisir ces valeurs dans les variables correspondantes. Ceci peut être effectué comme suit :
Appuyez sur @@OK@@ et autorisez le processus de résolution à continuer. Une étape de solution intermédiaire se présentera ainsi :
(š™—˜) pour voir la solution en détail.
La résolution d’équations multiples est un environnement dans lequel vous pouvez résoudre un système d’équations multiples en résolvant l’inconnue d’une équation à tour de rôle. Il ne s’agit pas vraiment d’une résolution simultanée mais plutôt d’une résolution équation par équation pour plusieurs équations liées. Pour illustrer l’utilisation de la résolution MES pour la résolution d’équations multiples, nous présentons une application liée à la trigonométrie dans la section suivante. Les exemples ci-dessous sont présentés en mode RPN.
Dans cette section, nous utilisons une application importante des fonctions trigonométriques : le calcul des dimensions d’un triangle. La solution est mise en œuvre dans la calculatrice utilisant la résolution d’equations ou MES.
Création d’un répertoire de travail Nous allons utiliser la résolution MES pour résoudre des problèmes relatifs à des triangles en créant une liste d’équations correspondant aux lois des sinus et des cosinus, à la loi de la somme des angles intérieurs et à la formule de Héron pour la surface. Tout d’abord, créez un sous-répertoire dans HOME que nous appellerons TRIANG, et entrez dans ce sous-répertoire. Voir le Chapitre 2 pour les instructions relatives à la création d’un nouveau sousrépertoire. Saisir la liste des équations Dans TRIANG, saisir la liste d’équations suivante, soit en les saisissant directement dans la pile, soit en utilisant l’Editeur d’équation (souvenez-vous que ~‚a produit le caractère α et ~‚b produit le caractère β ; Le caractère γ doit être exporté @ECHO de ‚±): ‘SIN(α)/a = SIN(β)/b’ ‘SIN(α)/a = SIN(γ)/c’ ‘SIN(β)/b = SIN(γ)/c’ Ensuite, nous allons créer un fil de variable appelé TITLE pour contenir le fil “Triangle Solution”, comme suit : ‚Õ Ouvrir des guillemets doubles dans la pile ~~„~ Bloquer le clavier en minuscule alpha „triangle# Saisir le texte : Triangle_ „solution Saisir le texte : Solution Ouvrir des guillemets dans la pile ~~title` Saisir le nom de la variable ‘TITLE’ K Enregistrer le fil dans ‘TITLE’ Créer une liste de variables Ensuite, créez une liste de noms de variables dans la pile qui se présentera comme suit : { a b c α β γ A s } et enregistrez-la dans la variable LVARI (List of VARIables). La liste des variables représente l’ordre dans lequel les variables seront affichées quand la résolution MES commencera sa recherche. Elle doit inclure toutes les variables des équations au risque de ne pas fonctionner avec la fonction MITM (voir plus loin). Voici la séquence de touches à utiliser pour préparer et enregistrer cette liste : Appuyez sur J pour retourner au menu des variables. Votre menu doit présenter les variables @LVARI! !@TITLE @@EQ@@ . Préparation avant de lancer la résolution MES L’étape suivante consiste à activer la résolution MES et à essayer une solution à titre d’échantillon. Afin de le faire, cependant, nous devons paramétrer les unités d’angles à DEGrés, si elles ne sont pas déjà dans cette unité, en saisissant ~~deg`.
• MINIT : MES INITialisation: initialise les variables des équations enregistrées dans EQ. • MITM : MES’ Menu Item: Prend un titre du niveau 2 de la pile et la liste de variables au niveau 1 de la pile et place le titre en haut de la fenêtre MES et la liste de variables comme touches de menu dans l’ordre indiqué par la liste. Dans le présent exercice, nous avons déjà un titre (“Triangle Solution”) et une liste de variables ({ a b c α β γ A s }) au niveau des piles 2 et 1 respectivement, prêts pour activer MITM. • MSOLVR : MES SOLVER, active la résolution d’équations multiples (MES) et attend la saisie de l’utilisateur. Utilisation interactive de la résolution MES Pour faire démarre la résolution MES avec les variables LVARI et TITLE affichées dans la pile, activez la commande MINIT, puis MITM, et finalement, MSOLVR (vous trouverez ces fonctions dans le catalogue ‚N). La fonction MES est lancée et dispose de la liste de variables suivante (appuyer sur L pour consulter la prochaine liste de variables):
5[ c ] c:5 est affichée dans le coin supérieur gauche de l’écran. Pour trouver les angles, utiliser : „[ α ] La calculatrice annonce Résoudre pour α et indique le résultat α: 72.5423968763. Note: Si vous obtenez un chiffre supérieur à 180, essayez ce qui suit : 10[ α Le résultat est γ: 72.5423968763. Vous devriez avoir les valeurs des trois angles affichées dans la pile de niveau 3 à 1. Appuyez deux fois sur + pour vérifier que leur somme est effectivement égale à 180o.
En appuyant sur „@@ALL@@ la calculatrice cherchera toutes les variables, en montrant temporairement les résultats intermédiaires. Appuyez sur ‚@@ALL@@ pour visualiser ces solutions :
MES. Appuyez sur J pour quitter l’environnement MES et retourner à l’affichage normal de la calculatrice. Organiser les variables dans le sous-répertoire Votre menu variable doit maintenant contenir les variables (appuyez sur L pour voir le deuxième ensemble de variables ):
Cela signifie que les paramètres de la résolution MES sont encodés dans un fichier binaire auquel l’éditeur ne peut pas accéder. Ensuite, si nous voulons placer les variables dans les désignations des menus dans un ordre différent de la liste présentée ci-dessus, il faut suivre les étapes suivantes :
Utiliser la fonction ORDER (utiliser le catalogue de commandes ‚N) pour ranger les variables comme présentées dans la liste de la pile de niveau 1. 4. Appuyez sur J pour récupérer votre liste de variables. Elle devrait maintenant se présenter comme suit :
Programmation de la résolution du triangle par la résolution MES en utilisant User RPL Afin de faciliter le lancement de la résolution MES à l’avenir, nous allons créer un programme qui chargera la résolution MES en appuyant sur une seule touche. Le programme soit se présenter comme suit: << DEG MINIT TITLE LVARI MITM MSOLVR >> et peut être saisi en utilisant : ‚å Ouvre le symbole programme ~~ Verrouille le clavier alphanumérique deg# Saisir DEG (paramètre l’unité d’angle à DEGrés) minit# Saisir MINIT_ Verrouille le clavier alphanumérique mitm# Saisir MITM_ msolvr Saisir MSOLVR SOLution, en appuyant sur : ³~~trisol` K Appuyez sur J, pour récupérer votre liste de variables. Une désignation de touche de menu @TRISO devrait maintenant être disponible dans votre menu.
Pour lancer le programme, appuyez sur la touche de menu @TRISO. Vous avez maintenant le menu MES correspondant à la solution du triangle. Essayons les exemples des trois cas énumérés plus tôt pour la résolution de problèmes du triangle. Exemple 1 – Triangle rectangle Utilisez a = 3, b = 4, c = 5. Voici la séquence pour obtenir la solution : 3[ a ] 4 [ b ] 5[ c ] Pour saisir les données „[ α ] Le résultat est α: 36.8698976458 „[ β ] Le résultat est β: 53.1301023541. „[ γ ] Le résultat est γ: 90. L Pour passer au menu suivant des variables : [][ A ] Le résultat est A: 6. LL Pour passer au menu suivant des variables : Exemple 2 – Triangle quelconque Utilisez a = 3, b = 4, c = 6. La procédure de résolution consiste à trouver toutes les variables à la fois et ensuite à rappeler les solutions dans la pile : J @TRISO Pour effacer les données et relancer la résolution MES 3[ a ] 4 [ b ] 6[ c ] Pour saisir les données L Pour passer au menu suivant des variables : „ @ALL! Trouver toutes les inconnues ‚ @ALL! Afficher la solution La solution est :
La touche de menu @PRINT est utilisée pour imprimer l’écran sur une imprimante, si besoin est. Et @EXIT vous ramène à l’environnement MES pour une nouvelle résolution, si nécessaire. Pour retourner à l’affichage normal de la calculatrice, appuyez sur J. Le tableau suivant de solutions de triangle montre les saisies en caractère gras et les solutions en italiques. Essayez d’utiliser le programme avec ces saisies pour vérifier les solutions. N’oubliez pas d’appuyer sur J @TRISO à chaque solution pour effacer les variables et relancer la résolution MES. Sinon, vous allez faire suivre des informations de solutions précédentes qui risquent de perturber sérieusement les calculs en cours. a
Le mouvement bidimensionnel d’une particule en coordonnées polaires nécessite souvent de déterminer les composantes radiales et traverses de la vélocité et de l’accélération de la particule à partir de r, r’ = dr/dt, r” = d2r/dt2, θ, θ’ = d θ /dt et θ” = d2θ/dt2. Les équations suivantes sont utilisées :
@@ALL@ LL, soit sur J @SOLVE. Essayez un autre exemple en utilisant r = 2.5, vr = rD = -0.5, rDD = 1.5, v = 3.0, a = 25.0. Trouvez θD, θDD, vθ, ar, et aθ. Vous devriez obtenir les résultats suivants :
Des exemples de liste sont donnés ci-dessous : { t 1 }, {"BETA" h2 4}, {1 1.5 2.0}, {a a a a}, { {1 2 3} {3 2 1} {1 2 3}} Dans les exemples montrés ci-dessous, nous nous limiterons aux listes numériques.
Pour créer une liste en mode ALG, commencer par saisir une accolade„ä (associée avec la touche + ), puis taper ou saisir les éléments de la liste en les séparant avec des virgules (‚í). La combinaison de touches suivante vous permettra de saisir la liste {1 2 3 4} et de l’enregistrer dans la variable L1. „ä 1 ‚í 2 ‚í 3 ‚í 4 ™K~l1` L’affichage est alors le suivant :
La composition et la décomposition de listes n’ont de sens qu’en mode RPN. Dans ce mode d’opération, on peut décomposer une liste en utilisant la fonction OBJ. Avec cette fonction, une liste dans la pile RPN est décomposée en ses différents éléments, le niveau 1 de la pile présentant le nombre d’éléments de la liste. Les deux saisies d’écran suivantes montrent la pile avec une petite liste avant et après application de la fonction OBJ:
Pour composer une liste en mode RPN, placez les éléments de la liste dans la pile, saisissez la taille de la liste et appliquez la fonction LIST (la sélectionner dans le catalogue de fonctions, comme suit : ‚N‚é,
Opérations avec des listes de nombres Pour démontrer les opérations avec des listes de nombres, nous allons créer quelques autres listes, outre la liste L1 créée ci-dessus : L2={-3,2,1,5}, L3={6,5,3,1,0,3,-4}, L4={3,-2,1,5,3,2,1}. En mode ALG, l’écran, après la saisie des listes L2, L3, L4, se présente comme suit :
êtres enregistrées. Pour enregistrer les listes dans ce cas, vous devez appuyer trois fois sur K .
La touche de changement de signe (\), lorsqu'elle est appliquée à une liste de nombres, change le signe de tous les éléments de la liste. Par exemple :
Le signe plus (+), lorsqu’il est appliqué à des listes, joue le rôle d’opérateur de concaténation et rassemble les deux listes plutôt que de procéder à l’addition terme par terme. Par exemple :
Les fonctions nombres réels à partir du clavier (ABS, ex, LN, 10x, LOG, SIN, x2, √, COS, TAN, ASIN, ACOS, ATAN, yx) peuvent être appliquées aux listes. En voici quelques exemples :
L’écran montre aussi que la liste de nombres complexes résultant de la manipulation est enregistrée dans la variable L5 :
Trie les éléments dans l’ordre croissant Inverse l’ordre de la liste Opérateur pour l’addition terme à terme de deux listes de même longueur (des exemples du fonctionnement de cet opérateur ont été montrés plus haut)
La fonction SIZE, du sous-menu PRG/LIST/ELEMENTS, peut être utilisée pour obtenir la taille (aussi appelée longueur) d’une liste, c'est-à-dire
Pour extraire des éléments d’une liste, nous utilisons la fonction GET, disponible dans le sous-menu PRG/LIST/ELEMENTS. Les arguments de la
Pour insérer un élément dans une liste, utilisez la fonction PUT (également disponible dans le sous-menu PRG/LST/ELEMENTS). Les arguments de la fonction PUT désignent la liste, l’emplacement de l’élément que vous souhaitez remplacer et la valeur qui sera substituée. Des exemples d’applications des fonctions GET et PUT sont montrés sur l’écran suivant :
ELEMENTS/, peuvent aussi être utilisées pour extraire et placer des éléments dans une liste. Ces deux fonctions, cependant, sont essentiellement utiles pour la programmation. La fonction GETI utilise les mêmes arguments que GET et renvoie la liste, l’emplacement de l’élément plus un et l’élément à l’emplacement désiré. La fonction PUTI utilise les mêmes arguments que GET et renvoie la liste et la taille de la liste.
Pour déterminer l’emplacement d’un élément dans une liste, utilisez la fonction POS ayant la liste et l’élément recherché comme arguments. Par exemple :
MTH/LIST. Les fonctions DOLIST, DOSUBS, NSUB, ENDSUB et STREAM sont conçues comme des fonctions de programmation pour manipuler des listes en mode RPN. La fonction SEQ est utile pour produire une liste de valeurs étant donné une expression particulière et est décrite plus en détails ci-dessous. La fonction SEQ prend comme arguments une expression en termes d’index, de nom de l’index et commence, termine et augmente les valeurs pour cet index, puis donne une liste consistant en l’évaluation de l’expression de toutes les valeurs possibles de cet index. La forme générale de la fonction est SEQ (expression, index, start, end, increment). Dans l’exemple suivant, en mode ALG, nous identifions l’expression = n2, index = n, start = 1, end = 4 et incrément = 1 :
Au Chapitre 3, nous avons introduit l’utilisation de la fonction DEFINE ( „à) pour créer des fonctions de nombres réels avec un ou plusieurs arguments. Une fonction définie avec DEF peut aussi être utilisée avec des arguments liste, sauf que toute fonction avec une addition doit employer l’opérateur ADD à la place du signe (+). Par exemple, si nous définissons la fonction F(X,Y) = (X-5)*(Y-2), présentée ici en mode ALG :
Pour résoudre ce problème, nous pouvons éditer le contenu de la variable @@@G@@@ , que nous pouvons afficher dans la pile en utilisant …@@@G@@@,
{s1, s2, …, sn}. Supposons que l’échantillon étudié soit la liste {1, 5, 3, 1, 2, 1, 3, 4, 2, 1} et que nous l’enregistrions dans une variable appelée S (la saisie d’écran cidessous montre cette action en mode ALG mais la procédure en mode RPN est très similaire. N’oubliez simplement pas qu’en mode RPN vous placez les arguments des fonctions dans la pile avant d’appliquer la fonction) :
échantillon, défini par
Les données groupées sont généralement affichées dans une table présentant la fréquence (w) des données par classes ou emplacements de stockage (=" bin" ) de données. Chaque classe ou bin est représentée par une marque de classe, généralement le milieu de cette classe. Un exemple de données groupées est présenté ci-dessous :
0-2 2-4 Nous enregistrons cette valeur dans la variable appelée XBAR :
D’un point de vue mathématique, un vecteur est un ensemble d’au moins deux éléments présentés en ligne ou en colonne. On les appelle vecteurs lignes et vecteurs colonnes. Des exemples sont donnés ci-dessous :
6 Les vecteurs physiques ont deux ou trois composantes et peuvent être utilisés pour représenter des quantités physiques, telles que position, vitesse, accélération, moment, moment linéaire ou angulaire, vitesse angulaire et accélération etc.… Se référant à un système de coordonnées cartésiennes à des vecteurs bi- ou tridimensionnels. La norme d’un vecteur A est définie comme |A| =
A•B = |A||B|cos(θ), où θ est l’angle entre les deux vecteurs. Le produit croisé donne un vecteur A×B dont la magnitude est |A×B| = |A||B|sin(θ) et dont la direction est donnée par ce que l’on appelle la règle de la main droite (se référer à un manuel de Math, de Physique ou de Mécanique pour voir une illustration graphique de cette opération). En termes de composantes cartésiennes, A•B = AxBx+AyBy+AzBz, et A×B = [AyBz-AzBy,AzBx-AxBz,AxByAyBx]. L’angle entre deux vecteurs peut être trouvé à partir de la définition du produit scalaire comme cos(θ) = A•B/|A||B|= eA•eB. Par conséquent, si deux vecteurs A et B sont perpendiculaires (θ = 900 = π/2rad), A•B = 0.
Dans la calculatrice, les vecteurs sont représentés comme une séquence de nombres entre crochets et généralement saisis comme vecteurs lignes. Les crochets sont générés dans la calculatrice par la combinaison de touches „Ô , associée à la touche *. Les exemples suivants montrent des vecteurs saisis dans la calculatrice : [3.5, 2.2, -1.3, 5.6, 2.3] Un vecteur linéaire général [1.5,-2.2] Un vecteur 2-D [3,-1,2] Un vecteur 3-D ['t','t^2','SIN(t)'] Un vecteur algébrique
Une fois la calculatrice configurée en mode ALG, on saisit un vecteur dans la pile en ouvrant un couple de crochets („Ô) et en entrant les composantes ou éléments du vecteur en les séparant par des virgules (‚í). Les saisies d’écran ci-dessous montrent la saisie d’un vecteur numérique suivie par celle d’un vecteur algébrique. L’illustration de gauche montre le vecteur algébrique avant d’appuyer sur „. L’illustration de droite montre l’écran de la calculatrice après la saisie du vecteur algébrique :
(#). Remarquez que, après avoir appuyé sur la touche ` , dans les deux modes, la calculatrice montre les éléments du vecteur séparés par des espaces.
Les vecteurs peuvent être stockés dans les variables. Les saisies d’écran cidessous montrent les vecteurs u2 = [1, 2], u3 = [-3, 2, -2], v2 = [3,-1], v3 = [1, -5, 2] stockés respectivement dans les variables @@@u2@@, @@@u3@@, @@@v2@@, et @@@v3@@. D’abord en mode ALG :
Les vecteurs peuvent aussi être saisis en utilisant l’Editeur de matrices „²(troisième touche de la quatrième rangée à partir du haut du clavier). Cette commande génère une catégorie de feuilles de calcul correspondant
Vecteurs et matrices Pour voir le fonctionnement de la touche @VEC@, essayez les exercices suivants : (1) Activer l’Editeur de matrices en utilisant („²). Les touches @VEC et @GO→ étant sélectionnées, saisir 3`5`2``. Cela donne [3. 5. 2.] (en mode RPN, vous pouvez utiliser la succession de touches suivante pour produire le même résultat : 3#5#2 ``). (2) Avec la touche @VEC@@ désélectionnée et @GO→ sélectionnée, saisir 3#5#2``. Cela donne [[3. 5. 2.]]. Bien que ces deux résultats ne diffèrent que par le nombre de crochets utilisés, pour la calculatrice ils représentent des objets mathématiques différents. Le premier est un vecteur de trois éléments et le second une matrice avec une ligne et trois colonnes. Il existe des différences dans la façon dont les opérations mathématiques sont effectuées sur un vecteur et sur une matrice. Par conséquent, pour l’instant, conservez la touche menu @VEC sélectionnée lorsque vous utilisez l’Editeur de matrices.
L'onglet @GO↓ , lorsqu’il est sélectionné, choisit automatiquement la cellule suivante à la droite de la cellule en cours d’utilisation quand vous appuyez sur `. Se déplacer vers la droite ou vers le bas dans l’Editeur de matrices Activer l’Editeur de matrices et saisir 3`5`2`` avec l’onglet @GO→ sélectionné (par défaut). Ensuite, saisir la même séquence de nombres avec l’onglet @GO↓ sélectionné pour voir la différence. Dans le premier cas, vous avez saisi un vecteur de trois éléments. Dans le second cas, vous avez saisi une matrice de trois lignes et une colonne. Activer à nouveau l’Editeur de matrices en utilisant „², et appuyez sur L pour tester l’utilisation du second onglet du menu logiciel en bas de l’écran. Les onglets suivants s’afficheront : @+ROW@ @-ROW @+COL@ @-COL@ @→STK@@ @GOTO@ La touche @+ROW@ ajoutera une ligne remplie de zéros à la place de la cellule sélectionnée dans la feuille de calcul. L'onglet @-ROW effacera la ligne contenant la cellule sélectionnée dans la feuille de calcul. L'onglet @+COL@ ajoutera une colonne remplie de zéros à la place de la cellule sélectionnée dans la feuille de calcul. L'onglet @-COL@ effacera la colonne contenant la cellule sélectionnée dans la feuille de calcul. L'onglet @→STK@@ placera le contenu de la cellule sélectionnée dans la pile. L'onglet @GOTO@ , lorsque vous appuyez dessus, demande à l’utilisateur d’indiquer le numéro de la ligne et de la colonne où l’utilisateur souhaite positionner le curseur.
L'onglet @@DEL@ effacera le contenu de la cellule sélectionnée et le remplacera par un zéro. Pour voir comment ces onglets fonctionnent, essayez les exercices suivants: (1) Activer l’Editeur de matrices en utilisant „². Assurez-vous que les onglets @VEC et @GO→ sont sélectionnés. (2) Saisissez les données suivantes : 1`2`3` L @GOTO@ 2@@OK@@ 1 @@OK@@ @@OK@@ (5) Appuyez sur @-COL@. La première colonne disparaît. (6) Appuyez @+COL@. Une ligne de deux zéros apparaît dans la première ligne. (7) Appuyez sur @GOTO@ 3@@OK@@ 3@@OK@@ @@OK@@ pour changer de cellule (3,3). (8) Appuyez sur @→STK@@. Cela placera le contenu de la cellule (3,3) dans la pile, même si vous ne pouvez pas le voir tout de suite. (9) Appuyez sur `. Cela devrait placer un zéro dans la cellule (3,3). Cependant, il semblerait que cette fonction ne marche pas correctement. Résumé de l’utilisation de l’Editeur de matrices pour saisir des vecteurs En résumé, pour saisir un vecteur en utilisant l’Editeur de matrices, activez simplement l’éditeur („²) et placez-y les éléments du vecteur en appuyant sur `, après chacun d’entre eux. Puis appuyez sur ``. Assurez-vous que les onglets @VEC et @GO→@ sont sélectionnés. Exemple: „²³~„xQ2`2`5\`` donne :
(1) Saisissez les n éléments de l’ensemble dans l’ordre dans lequel vous voulez les voir apparaître dans l’ensemble (lu de gauche à droite) dans la pile RPN. (2) Saisissez n comme dernière entrée. (3) Utilisez la fonction ARRY. Les saisies d’écran montrent la pile RPN avant et après application de la fonction ARRY:
Note: La fonction ARRY est aussi disponible dans le menu PRG/TYPE („°)
Pour rappeler le troisième élément de A, par exemple, vous pouvez saisir A(3) dans la calculatrice. En mode ALG, saisir simplement A(3). En mode RPN, saisir ‘A(3)’ `µ. Vous pouvez faire des opérations avec les éléments d’un ensemble en écrivant et évaluant des expressions algébriques telles que :
être écrites. Par exemple, en utilisant l’Editeur d’équation (‚O), nous pouvons écrire la somme d’éléments de A suivante :
Note: Le vecteur A peut aussi être appelé variable indexée parce que le nom A ne représente pas une mais plusieurs valeurs identifiées par un sousindex. Pour remplacer un élément dans un ensemble utilisez la fonction PUT (vous pouvez la trouver dans la catalogue de fonctions ‚N, ou dans le sousmenu PRG/LIST/ELEMENTS – ce dernier a été introduit au Chapitre 8). En mode ALG, vous devez utiliser la fonction PUT avec les arguments suivants : PUT(ensemble, lposition devant être remplacée, nouvelle valeur). Par exemple, pour faire passer le contenu A(3) à 4.5, utilisez :
4.5`³~a„Ü 3`K Pour vérifier que le changement a été effectué, utilisez : ‚@@@@A@@ . Le résultat qui s’affiche maintenant est : [-1 -2 4.5 -4 -5 ]. Note: Cette approche pour changer la valeur d’un ensemble d’éléments n’est pas autorisée en mode ALG. Si vous essayez d’enregistrer 4.5 dans A(3) dans ce mode, vous obtenez le message d’erreur suivant : Invalid Syntax.
Changement de signe Pour changer le signe d’un vecteur, utilisez la touche \, ce qui donne :
L’addition et la soustraction de vecteurs nécessitent que les opérandes des deux vecteurs soient de même longueur :
La multiplication ou la division par un scalaire est une opération très simple :
Les fonctions RECT, CYLIN, et SPHERE sont utilisées pour convertir le système coordonné actuel en système rectangulaire (Cartésien), cylindrique (polaire) ou à coordonnées sphériques. Le système actuel est mis en surbrillance dans la boîte CHOOSE box correspondante (indicateur système 117 non paramétré) ou sélectionné dans la désignation du menu SOFT correspondante (indicateur système 117 paramétré). Dans l’illustration suivante, le système coordonné RECTangulaire est montré comme sélectionné dans ces deux formats :
3-D saisi dans la calculatrice est reproduit comme composantes (x,y,z) de ce
[3,2,-5] et le vecteur s’affiche comme :
~‚6. Par exemple, supposons que nous ayons un vecteur avec r = 5, θ = 25o (DEG doit être sélectionné comme mesure d’angle) et z = 2.3 ; nous pouvons saisir ce vecteur de la façon suivante : „Ô5 ‚í ~‚6 25 ‚í 2.3 Avant d’appuyer sur `, l’écran se présente comme dans l’illustration de gauche. Après avoir appuyé sur `, l’écran se présente comme dans l’illustration de droite (pour cet exemple, le format numérique a été converti en Fix avec trois décimales).
4.532, y = 2.112 et z = 2.300. Supposons que nous saisissions maintenant un vecteur en coordonnées sphériques (à savoir sous la forme (ρ,θ,φ), où ρ est la longueur du vecteur, θ est l’angle que la projection xy du vecteur forme avec le côté positif de l’axe x et φ est l’angle que ρ forme avec la partie positive de l’axe z), avec les valeurs suivantes : ρ = 5, θ = 25o et φ = 45o. Nous utiliserons : „Ô5 ‚í ~‚6 25 í ~‚645
CYLINdrique et observez comment le vecteur affiché à l’écran précédent passe à sa forme de coordonnées cylindriques (polaires). La deuxième composante est affichée précédée du caractère d’angle pour souligner sa nature angulaire.
(3.536,25o,3.536). Maintenant, mettre la mesure d’angle sur Radians. Si nous saisissons maintenant un vecteur d’entiers sous forme cartésienne, même si le système de coordonnées CYLINdrique est actif, le vecteur sera affiché en coordonnées cartésiennes, c'est-à-dire :
F1 = 3i+5j+2k, F2 = -2i+3j-5k et F3 = 2i-3k. Pour déterminer la résultante, à savoir la somme de toutes ces forces, vous pouvez utiliser l’approche suivante en mode ALG :
RPN, utilisez : [3,5,2] ` [-2,3,-5] ` [2,0,3] ` + + 3 - ABS(ANS(3))*ABS((ANS(2)) calcule le produit des magnitudes 4 - ANS(2)/ANS(1) calcule cos(θ) 5 - ACOS(ANS(1)), suivi par,NUM(ANS(1)), calcule θ Les étapes sont illustrées sur les écrans suivants (en mode ALG, bien sûr) : M est telle que |M| = |r||F|sin(θ), où θ est l’angle entre r et F. Nous pouvons trouver cet angle tel que θ = sin-1(|M| /|r||F|) en effectuant les opérations suivantes : 1 - ABS(ANS(1))/(ABS(ANS(2))*ABS(ANS(3)) calcule sin(θ) 2 - ASIN(ANS(1)), suivi par NUM(ANS(1)) calcule θ Les opérations, en mode ALG, sont affichées sur les écrans suivants :
Afin d’illustrer l’utilisation de cette approche, considérons le point P0(2,3,-1) et le vecteur normal N = 4i+6j+2k, nous pouvons saisir le vecteur N et le point P0 comme deux vecteurs, comme cela est montré ci-dessous. Nous saisissons aussi le vecteur [x,y,z] en dernier :
Par exemple, saisir :
La fonction DROP est disponible via „°@)STACK @DROP. Nous introduisons ci-dessous le fonctionnement des fonctions OBJ, LIST, ARRY, et DROP avec quelques exemples.
Cette fonction décompose un objet en ses composantes. Si l’argument est une liste, la fonction OBJ affiche les éléments dans la pile, avec le nombre d’éléments au niveau 1 de la pile, par exemple : {1,2,3} ` „°@)TYPE! @OBJ@ donne : être au niveau de pile 2:, 3:, …, n+1:. Par exemple, pour créer la liste {1, 2, 3}, saisir : 1` 2` 3` 3` „°@)TYPE! !LIST@.
(c’est-à-dire une matrice de n lignes et 1 colonne). Pour construire un vecteur ordinaire, nous saisissons les éléments du vecteur dans la pile et au niveau 1 de la pile, nous saisissons la taille du vecteur sous forme de liste, c'est-à-dire : 1` 2` 3` „ä 3` „°@)TYPE! !ARRY@.
1 - Décomposez le vecteur avec la fonction OBJ
‚å„°@)TYPE! @OBJ@ 1 + !ARRY@
[1,2,3] ` J @@RXC@@ „ Ü „ î, ce qui donne :
Pour illustrer cette transformation, nous allons saisir le vecteur colonne [[1],[2],[3]] en mode RPN. Ensuite, suivez les exercices suivants pour transformer un vecteur ligne en vecteur colonne : 1 - Utilisez la fonction OBJ pour décomposer le vecteur colonne
Après avoir défini la variable @@CXR@@, en mode ALG, vous pouvez l’utiliser pour transformer un vecteur ligne en vecteur colonne. Par conséquent, changez le mode de votre calculatrice à ALG et essayez la procédure suivante : [[1],[2],[3]] ` J @@CXR@@ „Ü „î Ce qui nous donne :
Pour illustrer cette transformation, nous allons saisir la liste {1,2,3} en mode RPN. Ensuite, effectuez l’exercice suivant pour transformer la liste en vecteur : 1 - Utilisez la fonction OBJ pour décomposer le vecteur colonne
Appuyez sur ‚@@LXV@@ pour voir le programme contenu dans la variable LXV : << OBJ 1 LIST ARRY >> Cette variable, @@LXV@@, peut maintenant être utilisée pour transformer directement une liste en vecteur. En mode RPN, entrez la liste et appuyez sur @@LXV@@. Essayez, par exemple, la combinaison : {1,2,3} ` @@LXV@@. Après avoir défini la variable @@LXV@@, nous pouvons maintenant l’utiliser en mode ALG pour transformer une liste en vecteur. Par conséquent, basculez dans le mode de votre calculatrice sur mode ALG et essayez la procédure suivante : {1,2,3} ` J @@LXV@@ „Ü „î, ce qui donne :
Pour transformer un vecteur en liste, la calculatrice dispose de la fonction AXL. Vous pouvez accéder à cette fonction par l’intermédiaire du catalogue de commandes, comme suit : ‚N~~axl~@@OK@@
Une matrice est simplement un ensemble rectangulaire d’objets (par exemple des nombres ou des caractères algébriques) présentant un certain nombre de lignes et de colonnes. Une matrice A comprenant n lignes et m colonnes contiendra par conséquent n×m éléments. Un élément générique de matrice est représenté par la variable indexée aij, laquelle correspond à la ligne i et à la colonne j. Cette notation nous permet de rédiger la matrice A telle que A = [aij]n×m . La matrice complète est présentée ci-dessous :
" Matrix Editor" et (2) en saisissant la matrice directement dans la pile.
Comme nous l’avons vu pour les vecteurs au Chapitre 9, des matrices peuvent être saisies dans la pile en utilisant l’Editeur de matrices : par exemple, pour saisir la matrice :
0 .3 Saisir la matrice directement dans la pile Le même résultat que celui présenté ci-dessus peut être obtenu en saisissant les données suivantes directement dans la pile : „Ô „Ô 2.5\ ‚í 4.2 ‚í 2 ™ ‚í Création de matrices à l’aide des fonctions de la calculatrice Il est possible de créer certaines matrices à l’aide des fonctions de la calculatrice disponibles soit dans le sous-menu MTH/MATRIX/MAKE du menu MTH („´),
Toutefois, les deux menus, MAKE et CREATE, fournissent à l’utilisateur la même série de fonctions. Dans les exemples suivants, nous montrerons comment accéder à ces fonctions via l’utilisation du menu MAKE de la matrice. A la fin de cette section, nous présenterons un tableau indiquant les touches requises pour obtenir les mêmes fonctions avec le menu CREATE lorsque l’indicateur système 117 est paramétré sur les menus SOFT. Si vous avez paramétré cet indicateur système (indicateur 117) sur le menu SOFT, le menu MAKE est disponible via la séquence de touches suivante : „´!)MATRX !)MAKE!
Dans les sections suivantes, nous présenterons des applications des fonctions de la matrice dans les menus MAKE et CREATE.
Utilisons la matrice mémorisée ci-dessus dans la variable A pour démontrer l’utilisation des fonctions GET et PUT. Par exemple, pour extraire l’élément a23 de la matrice A, en mode ALG, on peut procéder comme suit :
„ì³A(2,3) ` K . Pour voir le contenu de la variable A, utilisez @@@A@@@.
GETI. Les écrans RPN correspondants pour ces deux exemples, avant et après application de la fonction GETI, sont illustrés ci-dessous :
1, (c’est-à-dire en passant de {2,2} à {2,3}), tout en présentant la valeur extraite, à savoir A (2,2) = 1.9, au niveau 1 de la pile.
{3 1} à l’aide de PUTI. Toujours en mode RPN, essayez les touches suivantes : ƒ ƒ{3 1} ` 2 ` PUTI. Les saisies d’écran suivantes montrent la pile RPN avant et après avoir utilisé la fonction PUTI:
A(3,1) = 2 et la liste d’index a été augmentée de 1 (par colonne d’abord), passant ainsi de {3,1} à {3,2}. La matrice se trouve au niveau 2 et la liste d’index incrémentée est au niveau 1.
[[1,2],[3,4]] ` SIZE .
Redimensionnement d’une matrice en une autre matrice En mode ALG, on peut maintenant utiliser la matrice créée ci-dessus et la redimensionner en une matrice de 3 lignes et 2 colonnes :
En mode RPN, on suppose que la matrice est dans la pile et on utilise {6}` RDM. Note : la fonction RDM fournit un moyen plus direct et plus efficace pour transformer des listes en séries et inversement que la fonction qui est présentée à la fin du Chapitre 9.
éléments entiers aléatoires étant donné une liste contenant le nombre de lignes et de colonnes (c’est-à-dire les dimensions de la matrice). Par exemple, en mode ALG, deux matrices 2×3 différentes contenant des éléments aléatoires sont produites à l’aide de la même commande, à savoir, RANM({2,3}) :
Naturellement, les résultats que vous obtiendrez sur votre calculatrice seront très certainement différents de ceux qui figurent ci-dessus. Les nombres
Par exemple, en conservant la matrice héritée de l’exemple précédent, entrez la matrice : [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]] . En mode ALG, l’écran cidessous à gauche présente la nouvelle matrice avant que l’on n’appuie sur `. L’écran de droite présente l’application de la fonction RPL pour remplacer la matrice dans ANS(2), la matrice 2×2 dans la matrice 3×3 actuellement située dans ANS(1), en commençant à la position {2,2}:
En mode RPN, la matrice 3×3 se trouvant dans la pile, il suffit d’activer la fonction DIAG pour obtenir le même résultat que ci-dessus.
La fonction DIAG→ prend un vecteur et une liste de dimensions de la matrice {lignes, colonnes} et crée une matrice diagonale en remplaçant la diagonale principale par les éléments appropriés du vecteur. Par exemple, la commande suivante : DIAG([1,-1,2,3],{3,3}) produit une matrice diagonale contenant les 3 premiers éléments de l’argument du vecteur :
Un autre exemple de l’application de la fonction DIAG→ suit, en mode ALG :
Dans ce cas, il faut créer une matrice 3×2 en utilisant en tant qu’éléments de la diagonale principale autant d’éléments que possible du vecteur [1,2,3,4,5]. La diagonale principale, pour une matrice rectangulaire, commence à la position (1,1) et passe à la position (2,2), (3,3), etc. jusqu’à ce que soit le nombre de lignes, soit le nombre de colonnes soit épuisé. Dans ce cas, le nombre de colonnes (2) était épuisé avant le nombre de lignes (3), de sorte que la diagonale principale comprenait uniquement les éléments situés aux positions (1,1) et (2,2). Ainsi, seuls les deux premiers éléments du vecteur étaient requis pour former la diagonale principale.
Dans cette section, nous fournissons deux programmes RPL Utilisateur permettant de construire une matrice à partir d’un certain nombre de listes d’objets. Les listes peuvent représenter des colonnes de la matrice (programme @CRMC) ou des lignes de la matrice (programme @CRMR). Les programmes sont entrés lorsque la calculatrice est en mode RPN et les instructions concernant les touches sont données en considérant que l’indicateur système 117 est paramétré sur les menus SOFT. Cette section a
Le programme @CRMC vous permet d’assembler une matrice p×n (c’est-à-dire p lignes, n colonnes) à partir de n listes de p éléments chacune. Pour entrer cette expression, utilisez la séquence de touches suivante : Séquence de touches : ‚å „°@)STACK! @@DUP@ ‚ é # ~ „n ³~~crmc~K Note : si vous enregistrez ce programme dans votre répertoire HOME, il sera disponible à partir de tout autre sous-répertoire que vous utiliserez. Pour voir le contenu du programme, utilisez : J ‚@CRMC. Le contenu du programme est le suivant : « DUP → n « 1 SWAP FOR j OBJ→ →ARRY IF j n < THEN j 1 + ROLL END NEXT IF n 1 > THEN 1 n 1 - FOR j j 1 + ROLL NEXT END n COL→ » » Pour utiliser ce programme, en mode RPN, entrez les n listes dans l’ordre dans lequel vous souhaitez les voir apparaître en tant que colonnes de la matrice, entrez la valeur de n, puis appuyez sur @CRMC. A titre d'exemple, essayez l’exercice suivant : {1,2,3,4} ` {1,4,9,16} ` {1,8,27,64} ` 3 ` @CRMC Les saisies d’écran montrent la pile RPN avant et après avoir appliqué le programme @CRMC:
CRMC({1,2,3,4}, {1,4,9,16}, {1,8,27,64}, 3)
‚@CRMC ˜‚˜—ššš ƒƒƒ Supprimez COL Tapez ROW, entrez le programme
{1,2,3,4} ` {1,4,9,16} ` {1,8,27,64} ` 3 ` @CRMR Les saisies d’écran montrent la pile RPN avant et après avoir appliqué le programme @CRMR:
La calculatrice fournit un menu contenant des fonctions qui permettent de manipuler les matrices en modifiant leurs colonnes. Ce menu est disponible
L’utilisation de ces fonctions est présentée ci-dessous.
RPN avant et après l’application de la fonction COL.
La fonction COL→ entraîne l’effet inverse de la fonction →COL, c’est-à-dire qu’étant donné n vecteurs de même longueur, et le nombre n, la fonction COL construit une matrice en plaçant les vecteurs d’entrée en tant que colonnes de la matrice résultante. Voici un exemple en mode ALG. La commande utilisée était : COL([1,2,3],[4,5,6],[7,8,9],3)
(voir ci-dessous) est couramment utilisée pour résoudre des systèmes d’équations linéaires avec des matrices. Ces opérations seront présentées plus en détails dans un chapitre ultérieur.
La calculatrice fournit un menu dont les fonctions permettent de manipuler des matrices en agissant sur leurs lignes. Le menu est présenté sous forme de liste ci-dessous MTH/MATRIX/ROW.. („´), avec l’indicateur de système 117 paramétré sur CHOOSE boxes :
L’utilisation de ces fonctions est présentée ci-dessous.
RPN avant et après avoir appliqué la fonction ROW.
étant donnés n vecteurs de même longueur et le nombre n, la fonction ROW crée une matrice en plaçant les vecteurs d’entrée en tant que lignes de la matrice produite. Voici un exemple en mode ALG. La commande utilisée était : ROW([1,2,3],[4,5,6],[7,8,9],3)
ROW place les vecteurs en tant que lignes dans la matrice produite. Les saisies d’écran montrent la pile RPN avant et après avoir appliqué la fonction ROW.
1 et 2 de la pile. Par exemple, la figure suivante présente la pile RPN avant et après l’application de la fonction CSWP à la matrice A pour permuter les lignes 2 et 3 :
Constant (constante) et replace le résultat au même emplacement. L’exemple
L’illustration de gauche rappelle la paramétrage de la matrice, le facteur et le nombre de lignes aux niveaux 3, 2 et 1 de la pile. L’illustration de droite présente la matrice obtenue comme résultat de l’activation de la fonction RCI.
1.5 et on l’ajoute à la colonne 2. L’exemple suivant est effectué en mode ALG :
RCIJ dans les mêmes conditions que dans l’exemple ALG présenté ci-dessus :
Les matrices, comme les autres objets mathématiques, peuvent être additionnées et soustraites. Elles peuvent être multipliées par des scalaires ou entre elles. Une opération importante pour les applications d’algèbre linéaire est l’inversion de matrice. Les détails de ces opérations sont présentés par la suite. Pour illustrer les opérations, nous allons créer plusieurs matrices que nous allons enregistrer dans les variables suivantes. Les noms génériques des matrices seront Aij et Bij, où i représente le nombre de lignes et j le nombre de colonnes des matrices. Les matrices qui seront utilisées sont générées en utilisant la fonction RANM (matrices aléatoires). Si vous essayez de résoudre cet exercice, vous obtiendrez des matrices différentes de celles énumérées ici, à moins que vous ne les enregistriez exactement comme celles présentées ici. Voici les matrices A22, B22, A23, B23, A32, B32, A33 et B33 créées en mode ALG :
C = kA = [cij]m×n = [kaij]m×n. En particulier, la matrice négative est définie par l’opération -A =(-1)A = [-aij] m×n. Certains exemples de multiplication d’une matrice par un scalaire sont montrés ci-dessous.
La multiplication matrice-vecteur est possible si et seulement si le nombre de colonnes de la matrice est égal à la longueur du vecteur. Cette opération suit les règles de la multiplication des matrices telle que présentée dans la section suivante. Suivent quelques exemples de multiplications matrice-vecteur :
Multiplication terme à terme La multiplication terme à terme de deux matrices de la même dimension est possible grâce à la fonction HADAMARD. Le résultat est, bien sûr, une autre matrice de la même dimension. Cette fonction est disponible par l’intermédiaire du catalogue de Fonctions (‚N) ou par l’intermédiaire du sous-menu MATRICES/OPERATIONS („Ø). Les applications de la fonction HADAMARD sont présentées ci-dessous :
Au Chapitre 9, nous avons introduit la matrice identité comme la matrice I = [δij]n×n, où δij est la fonction delta de Kronecker. Les matrices identité peuvent être obtenues en utilisant la fonction IDN décrite au Chapitre 9. La matrice identité a la propriété suivante A⋅I = I⋅A = A. Pour vérifier cette propriété, nous présentons les exemples suivants utilisant les matrices enregistrées précédemment.
L’inverse d’une matrice carrée A est la matrice A-1 telle que A⋅A-1 = A-1⋅A = I, où I est la matrice identique de mêmes dimensions que A. L’inverse d’une matrice est obtenue avec la calculatrice en utilisant la fonction inverse, INV (c’est-à-dire la touche Y ). Des exemples de l’inverse de certaines des matrices enregistrées précédemment sont présentés ci-dessous :
Pour une matrice A = [aij] m×n, la norme Frobenius de la matrice est définie comme
Fonction SNRM La fonction SNRM calcule la norme spectrale d’une matrice, définie comme la valeur singulière la plus grande d’une matrice, connue également comme la norme euclidienne de la matrice. Par exemple,
Afin de comprendre le fonctionnement de la Fonction SNRM, nous devons introduire le concept de décomposition de matrice. Fondamentalement, la décomposition de matrice implique la détermination de deux ou plusieurs matrices qui, multipliées dans un certain ordre (et, éventuellement, en recourant à une matrice inverse ou à une transposition), produisent la matrice originale. La Décomposition de la Valeur Singulière (SVD) est telle qu’une matrice rectangle Am×n s’écrit Am×n = Um×m ⋅Sm×n ⋅V Tn×n,
éléments de la diagonale de S sont appelés les valeurs singulières de A et sont généralement classés de telle sorte que si ≥ si+1, pour i = 1, 2, …, n-1. Les colonnes [uj] de U et [vj] de V sont les vecteurs singuliers correspondants. (Les matrices orthogonales sont telles que U⋅ UT = I. Une matrice diagonale ne contient que des éléments autres que zéro dans sa diagonale principale). Le rang d’une matrice peut être déterminé à partir de sa SVD en comptant le nombre de valeurs non singulières. Des exemples de SVD seront présentés dans une section ultérieure.
La norme ligne d’une matrice est calculée en prenant la somme des valeurs absolues de tous les éléments de chaque ligne puis en sélectionnant le maximum de ces sommes. La norme colonne d’une matrice est calculée en prenant la somme des valeurs absolues de tous les éléments de chaque colonne puis en sélectionnant le maximum de ces sommes.
Fonction COND La fonction COND détermine le nombre condition de la matrice. Exemples :
Le nombre-condition d’une matrice carrée non singulière est défini comme les produits de la norme de la matrice par la norme de son inverse, à savoir :cond(A) = ||A||×||A-1||. Nous allons choisir comme norme de la matrice, ||A||, le maximum de sa norme ligne (RNRM) et norme colonne (CNRM), tandis que la norme de son inverse, ||A-1||, sera sélectionnée comme le minimum de ses norme ligne et norme colonne. Par conséquent, ||A|| = max (RNRM(A), CNRM(A)), et ||A-1|| = min (RNRM(A-1), CNRM(A-1)). Le nombre-condition d’une matrice singulière est l’infini. Le nombre-condition d’une matrice non singulière est la mesure permettant de dire combien la matrice se rapproche d’une matrice singulière. Plus le nombre-condition est
RNRM(A33) = 21. De même, puisque CNRM(INV(A33)) < RNRM(INV(A33)), alors nous prenons ||INV(A33)|| = CNRM(INV(A33)) = 0.261044... Par conséquent, le nombre condition est aussi calculé comme CNRM(A33)*CNRM(INV(A33)) = COND(A33) = 6.7871485… Nous trouvons un rang égal à 2. Ceci parce que la deuxième ligne [2,4,6] est égale à la première ligne [1,2,3] multipliée par 2 et par conséquent la ligne deux est linéairement dépendante de la ligne un et le nombre maximum de lignes linéairement dépendantes est 2. Vous pouvez vérifier que le nombre maximum de colonnes linéairement indépendantes est 3. Le rang étant le nombre maximum de lignes ou colonnes linéairement indépendantes, le rang est donc 2 dans ce cas.
La méthode de calcul d’un déterminant par développement des cofacteurs est très inefficace dans le sens où elle implique un nombre d’opérations qui augmente très vite, parallèlement à l’augmentation de la taille du déterminant. Une méthode plus efficace et référée dans les applications numériques consiste à utiliser un résultat de l’élimination de Gauss. La méthode de l’élimination gaussienne est utilisée pour résoudre des systèmes d’équations linéaires. Les détails de cette méthode sont présentés dans une partie ultérieure de ce chapitre. Lorsqu’on se réfère au déterminant de la matrice A, nous écrivons det(A). Une matrice singulière a un déterminant égal à zéro.
Note: Cette dernière opération est similaire à celle du programme CRMR présentée au Chapitre 10.
L’application de la fonction LCXM dans ce cas nécessite que vous saisissiez : 2`3`‚@@P1@@ LCXM ` Les saisies d’écran montrent la pile RPN avant et après avoir appliqué la fonction LCXM :
Pour résoudre le système linéaire A⋅x = b, saisissez la matrice A, au format [[ a11, a12, … ], … [….]] dans le champ A: Saisissez la matrice b dans le champ B: Quand le champ X: est surligné, appuyez sur [SOLVE]. Si la solution est disponible, le vecteur solution x sera affiché dans le champ X: La solution est également copiée dans le niveau 1 de la pile. Suivent quelques exemples :
Le système d’équations linéaires 2x1 + 3x2 –5x3 = 13, x1 – 3x2 + 8x3 = -13, 2x1 – 2x2 + 4x3 = -6, peut s’écrire sous forme d’une équation matricielle A⋅x = b, si
[13,-13,-6] @@@OK@@@ .
Le système d’équations linéaires 2x1 + 3x2 –5x3 = -10, Pour retourner à l’environnement de la résolution numérique, appuyez sur `. La procédure que nous décrivons ci-dessous peut être utilisée pour copier la matrice A et le vecteur solution X dans la pile. Pour vérifier que la solution est correcte, essayez la procédure suivante : • • Appuyer sur @@@OK@@@ pour retourner à l’environnement de la résolution numérique. Appuyer sur ˜ ˜@CALC@ `, pour copier le vecteur solution X dans la pile. Appuyer sur @@@OK@@@ pour retourner à l’environnement de la résolution numérique. Appuyer sur ` pour retourner à la pile.
Appuyez sur K~a` pour enregistrer la matrice dans la variable A Vérifions maintenant la solution en utilisant @@@A@@@ * @@@X@@@ `, qui donne (appuyez sur ˜ pour voir les éléments du vecteur) : [-9.99999999999 85. ], assez proche du vecteur original b = [-10 85]. Essayez également ceci : @@A@@@ * [15,10/3,10] ` ‚ï`, c'est-à-dire :
Comment la calculatrice est-elle arrivée à la solution x = [15.37… 2.46… 9.62…] présentée plus tôt? En fait, la calculatrice minimise la distance d’un point, qui constituera la solution, à chacun des plans représentés par les équations du système linéaire. La calculatrice utilise une méthode des moindres carrés, c'est-à-dire minimise la somme des carrés de ces distances ou erreurs. Système sur-déterminé Le système d’équations linéaires
Certains algorithmes numériques peuvent être utilisés pour forcer une solution en minimisant la distance du point solution présumé à chacune des lignes du système. Telle est l’approche employée par la résolution numérique de la HP 49 G. Utilisons la résolution numérique pour essayer de trouver une solution à ce système d’équations : ‚Ï ˜˜˜ @@OK@@ . Saisissez la matrice A et le vecteur b comme illustré à l’exemple précédent et appuyez sur @SOLVE quand le champ X: est en surbrillance :
Appuyer sur ` pour retourner à l’environnement de résolution numérique. Pour vérifier que la solution est correcte, essayez la procédure suivante : • • • Appuyer sur @@@OK@@@ pour retourner à l’environnement de résolution numérique. Appuyer sur ˜ ˜@CALC@ `, pour copier le vecteur solution X dans la pile. Appuyer sur @@@OK@@@ pour retourner à l’environnement de résolution numérique. Appuyer sur ` pour retourner à la pile.
Appuyez sur K~x` pour enregistrer le vecteur solution dans la variable X Appuyez sur ƒ ƒ ƒ pour effacer les trois niveaux de la pile
La fonction LSQ renvoie la solution des moindres carrés norme minimum d’un système linéaire Ax = b, d’après les critères suivants : • Si A a un rang inférieur à une colonne entière (système d’équations sur-déterminé), LSQ renvoie la "solution" avec la valeur résiduelle minimum e = A⋅x – b. Il se peut que le système d’équations n’ait pas de solutions et par conséquent que la valeur retournée ne soit pas une vraie solution au système mais juste la solution avec la plus petite valeur résiduelle.
A, dans cet ordre. La fonction LSQ se trouve dans le catalogue de commandes (‚N). Nous allons utiliser ci-dessous la fonction LSQ pour répéter les solutions trouvées précédemment avec la résolution numérique : Système carré Considérons le système 2x1 + 3x2 –5x3 = 13, x1 – 3x2 + 8x3 = -13, 2x1 – 2x2 + 4x3 = -6, avec La solution au système A⋅x = b, où A est une matrice carrée, est x = A-1⋅ b. Ceci résulte de la multiplication de la première équation par A-1, à savoir : A-1⋅A⋅x = A-1⋅b. Par définition, A-1⋅A = I, par conséquent, nous pouvons écrire I⋅x = A-1⋅b. De même, I⋅x = x, par conséquent, nous avons x = A-1⋅ b. Pour l’exemple utilisé précédemment, à savoir : 2x1 + 3x2 –5x3 = 13, x1 – 3x2 + 8x3 = -13, 2x1 – 2x2 + 4x3 = -6, nous pouvons trouver la solution avec la calculatrice comme suit :
Bien que l’opération de division ne soit pas définie dans les matrices, nous pouvons utiliser la touche / de la calculatrice pour “diviser” le vecteur b par la matrice A pour trouver x dans l’équation matricielle A⋅x = b. Il s’agit d’une extension arbitraire de l’opération de division algébrique aux matrices, c’est-à-dire qu’à partir de A⋅x = b, nous osons écrire x = b/A (les mathématiciens feraient la grimace s’ils lisaient cela !) Ceci, bien sûr, est interprété comme (1/A)⋅b = A-1⋅b, ce qui revient au même que d’utiliser l’inverse de A comme dans la section précédente. La procédure dans ce cas de “division“ de b par A est illustrée ci-dessous pour les cas étudiés. 2x1 + 3x2 –5x3 = 13, x1 – 3x2 + 8x3 = -13, 2x1 – 2x2 + 4x3 = -6, La procédure est présentée dans les saisies d’écran suivantes :
Exemples d’élimination gaussienne utilisant des équations Afin d’illustrer la procédure d’élimination gaussienne, nous allons utiliser le système suivant de 3 équations à 3 inconnues : 2X +4Y+6Z = 14, 3X -2Y+ Z = -3, 4×équation 1), pour obtenir
6×équation 2, c’est-à-dire : E2+6×E3), pour obtenir
117 paramétré sur menu SOFT. Utilisez ensuite la combinaison de touches indiquée ci-dessous : Tout d’abord, saisissez la matrice augmentée et faites-en une copie supplémentaire dans la pile (cette étape n’est pas obligatoire, c’est une assurance pour conserver une copie de secours de la matrice augmentée en cas d’erreur, dans la procédure d’élimination en avant que nous sommes sur le point d’entreprendre) : [[2,4,6,14],[3,-2,1,-3],[4,2,-1,-4]] ``
@MATRX! @ROW! pour activer le menu ROW. Ensuite, effectuez les opérations de ligne suivantes sur la matrice augmentée : Multipliez la ligne 1 par ½: 2Y 1 @RCI! Multipliez la ligne 1 par –3 , ajoutez-la à la ligne 2, en la remplaçant : 3\ # 1 #2 @RCIJ! Multipliez la ligne 1 par –4, ajoutez-la à la ligne 3, en la remplaçant : 4\#1#3@RCIJ! Multipliez la ligne 2 par –1/8: 8\Y2 @RCI! Multipliez la ligne 2 par 6, ajoutez-la à la ligne 3, en la remplaçant : 6#2#3 @RCIJ! Si vous deviez effectuer ces opérations à la main, vous écririez les opérations suivantes :
-7Z = -14, qui peut maintenant être résolu, équation par équation, par une substitution en arrière comme dans l’exemple précédent : Elimination de Gauss-Jordan utilisant des matrices L’élimination de Gauss-Jordan consiste en une continuation des opérations de ligne dans la matrice triangulaire supérieure aboutissant à une procédure d’élimination en avant jusqu’à obtenir une matrice identité à la place de la matrice originale A. Par exemple, pour le cas que nous venons de présenter, les opérations de lignes sont les suivantes : Multipliez la ligne 3 par –1/7: 7\Y 3 @RCI! Multipliez la ligne 3 par –1, ajoutez-la à la ligne 2, en la remplaçant : 1\#3#2 @RCIJ! Multipliez la ligne 3 par –3, ajoutez-la à la ligne 1, en la remplaçant : 3\#3#1@RCIJ! Multipliez la ligne 2 par –2, ajoutez-la à la ligne 1, en la remplaçant : 2\#2#1 @RCIJ! Si vous deviez effectuer ces opérations à la main, vous obtiendriez les étapes suivantes : 1 2 3 7 1 2 3 7 1 2 3 7 élément pivot ou simplement pivot. Dans de nombreuses situations, il est possible que l’élément pivot devienne zéro, auquel cas l’on ne peut pas diviser la ligne par son pivot. De même, pour améliorer la solution numérique d’un système d’équations en utilisant l’élimination de Gauss ou de GaussJordan, il est recommandé que le pivot soit l’élément avec la plus grande valeur absolue de la colonne donnée. Dans de tels cas, nous permutons les colonnes avant d’effectuer les opérations de ligne. Cette permutation de lignes est appelée pivot partiel. Pour suivre cette recommandation il est souvent nécessaire de permuter les lignes de la matrice augmentée tout en effectuant l’élimination gaussienne ou de Gauss-Jordan. Tout en effectuant le pivot dans une procédure d’élimination de matrice, vous pouvez davantage améliorer la solution numérique en sélectionnant comme pivot l’élément ayant la plus grande valeur absolue dans la colonne et la ligne concernées. Cette opération peut nécessiter de permuter non seulement des lignes mais aussi des colonnes dans certaines opérations de pivot. Lorsque des permutations de lignes et de colonnes sont autorisées dans le pivot, la procédure est appelée pivot complet. Lorsque l’on échange des lignes ou des colonnes lors d’un pivot partiel ou complet, il est nécessaire de bien suivre les permutations parce que l’ordre des inconnues dans la solution est altéré par ces permutations. Une façon de ne pas se perdre dans les permutations de colonnes lors d’une procédure de pivot partiel ou complet consiste à créer une matrice de permutation P = In×n, au début de la procédure. Toute permutation de ligne ou de colonne exigée dans la matrice augmentée Aaug est aussi consignée respectivement comme
Exemple d’élimination de Gauss-Jordan avec pivot complet Illustrons le pivot complet par un exemple. Résoudre le système d’équations suivant en utilisant le pivot complet et la procédure d’élimination de GaussJordan : X + 2Y + 3Z = 2, 2X + 3Z = -1, Nous sommes maintenant prêts à commencer l’élimination de Gauss-Jordan avec pivot complet. Nous aurons besoin de garder une trace de la matrice de permutation sous la main, donc prenez une feuille et notez la matrice P présentée précédemment.
Dans l’exemple que nous venons de présenter, il s’agit, bien sûr, de la procédure pas à pas, pilotée par l’utilisateur, pour utiliser le pivot complet pour une élimination de Gauss-Jordan visant à résoudre des systèmes d’équations linéaires. Vous pouvez consulter la procédure pas à pas utilisée par la calculatrice pour résoudre un système d’équations, sans l’intervention de l’utilisateur, en paramétrant l’option étape par étape du CAS de la calculatrice, comme suit :
[2,-1,41] ` [[1,2,3],[2,0,3],[8,16,-1]] `/ La calculatrice affiche une matrice augmentée consistant en les coefficients de la matrice A et de la matrice identité I, tout en affichant, en même temps, la prochaine procédure à calculer :
Calcul de la matrice inverse pas à pas Le calcul de la matrice inverse peut être considéré comme le calcul de la solution du système augmenté [A | I ]. Par exemple, pour la matrice A utilisée à l’exemple précédent, nous écririons la matrice augmentée comme
Gauss-Jordan avec pivot complet, mais une façon de calculer la matrice inverse en effectuant une élimination de Gauss-Jordan, sans pivot. Cette procédure pour calculer l’inverse est basée sur la matrice augmentée (Aaug)n×n = [A n×n |In×n]. La calculatrice vous a montré les étapes jusqu’au stade où la moitié de gauche de la matrice augmentée est convertie en matrice diagonale. A partir de là, l’étape finale consiste à diviser chacune des lignes par le pivot de la diagonale principale correspondante. En d’autres termes, la calculatrice a transformé (Aaug)n×n = [A n×n |In×n] en [I |A-1]. Matrices inverses et déterminants Notez que tous les éléments d’une matrice inverse calculés ci-dessus sont divisés par la valeur 56 ou l’un de ses facteurs (28, 7, 8, 4 or 1). Si vous calculez le déterminant de la matrice A, vous obtenez det(A) = 56. Nous pourrions écrire, A-1 = C/det(A), où C est la matrice
8 La façon la plus simple de résoudre des équations linéaires A⋅x = b dans la calculatrice est de saisir b, saisir A puis d’utiliser la fonction division /. Si le système d’équations linéaires est sur-déterminé ou sous-déterminé, une “solution” peut être produite en utilisant la fonction LSQ (Least-SQuares), comme indiqué précédemment. La calculatrice, cependant, offre d’autres possibilités pour résoudre des systèmes linéaires d’équations en utilisant des fonctions contenues dans le menu MATRICES’ LINEAR SYSTEMS.. accessible via „Ø (paramétrer l’indicateur système 117 sur CHOOSE boxes) :
Fonction LINSOLVE La fonction LINSOLVE prend comme argument un ensemble d’équations et un vecteur contenant le nom des inconnues et produit la solution au système linéaire. Les écrans suivants montrent l’entrée de la fonction Aide (voir Chapitre 1) pour la fonction LINSOLVE et les exemples correspondants affichés dans l’entrée. L’écran de droite montre le résultat en utilisant l’éditeur de ligne (appuyez sur ˜ pour l’activer) :
Les fonctions REF, rref, RREF La forme triangulaire supérieure à laquelle la matrice augmentée est réduite pendant la phase d’élimination en avant de la procédure gaussienne s’appelle forme en "échelon". La fonction REF (Reduce to Echelon Form) produit une telle matrice à partir de la matrice augmentée saisie au niveau 1 de la pile. Considérons la matrice augmentée
RREF à la matrice AAUG en mode ALG :
Gauss-Jordan sans pivot. On peut obtenir une matrice augmentée de forme réduite en échelon à une ligne (row-reduced echelon form) en utilisant la fonction rref. Cette fonction produit une liste de pivots et une matrice équivalente sous forme d’échelon réduite à une ligne, de sorte que la matrice de coefficient soit réduite à une matrice diagonale.
Note: Si nous admettons que le vecteur ∆x = x – x (0), représente la correction dans les valeurs de x (0), nous pouvons écrire une nouvelle équation matricielle pour ∆x, à savoir A⋅∆x = e. En résolvant ∆x nous pouvons en fait trouver la solution du système original puisque x = x(0) + ∆x.
Etant donné une matrice carrée A, nous pouvons écrire l’équation à valeur propre A⋅x = λ⋅x, Où les valeurs de λ qui satisfont l’équation sont connues comme les valeurs propres de la matrice A. Pour chaque valeur de λ, nous pouvons trouver, à partir de la même équation, les valeurs de x qui satisfont l’équation à valeur propre. Ces valeurs de x sont appelées vecteurs propres de la matrice A. L’équation à valeur propre peut donc être écrite comme (A – λ⋅I)x = 0. Cette équation aura une solution non triviale seulement si la matrice (A – λ⋅I) est singulière, c’est-à-dire si det(A – λ⋅I) = 0. La dernière équation génère une équation algébrique impliquant un polynôme d’ordre n pour une matrice carrée An×n. L’équation qui en résulte est appelée polynôme caractéristique de la matrice A. La résolution du polynôme caractéristique de la matrice produit les valeurs propres de la matrice.
Certaines de ces fonctions sont situées dans le menu MATRICES/EIGEN, activé par „Ø.
[[1,5,-3],[2,-1,4],[3,5,2]]
[(1.38,2.22), (1.38,-2.22), (-1.76,0)].
Par exemple, en mode ALG mode, les vecteurs propres et les valeurs propres de la matrice qui sont énumérés ci-dessous sont trouvés en appliquant la fonction EGV:
GET(ANS(1),2), ce qui revient à obtenir le deuxième élément dans la liste du résultat précédent. Les valeurs propres sont :
λ1 = 0.29, x1 = [ 1.00,0.79,–0.91]T, λ2 = 3.16, x2 = [1.00,-0.51, 0.65] T, λ3 = 7.54, x1 = [-0.03, 1.00, 0.84] T. Note: Une matrice symétrique produit toutes les valeurs propres réelles et ses vecteurs propres sont mutuellement perpendiculaires. Pour l’exemple juste présenté, vous pouvez vérifier que x1 •x2 = 0, x1 •x3 = 0, et x2 •x3 = 0. Une liste avec les vecteurs propres correspondants à chaque valeur propre de la matrice A (niveau de pile 2)
Par exemple, en mode RPN, essayez : [[4,1,-2] [1,2,-1][-2,-1,0]] MAD Le résultat est : 4: 3: 2: La factorisation de matrices ou décomposition consiste à obtenir des matrices, qui, une fois multipliées, produisent une matrice donnée. Nous présentons la décomposition matricielle à travers l’utilisation des fonctions contenues dans le menu matriciel FACT. Vous pouvez accéder à ce menu par l’intermédiaire de „Ø.
Crout LU de A en utilisant un pivot partiel. Par exemple, en mode RPN : [[-1,2,5][3,1,-2][7,6,5]] LU Donne : 3:[[7 0 0][-1 2.86 0][3 –1.57 –1] 2: [[1 0.86 0.71][0 1 2][0 0 1]] 1: [[0 0 1][1 0 0][0 1 0]] Par exemple, en mode RPN : [[5,4,-1],[2,-3,5],[7,2,8]] SVD 3: [[-0.27 0.81 –0.53][-0.37 –0.59 –0.72][-0.89 3.09E-3 0.46]] 2: [[ -0.68 –0.14 –0.72][ 0.42 0.73 –0.54][-0.60 0.67 0.44]] à la matrice An×n au niveau de pile 2 en utilisant les n variables d’un vecteur placé au niveau de pile 1. La fonction renvoie la forme quadratique au niveau de pile 1 et le vecteur de variables au niveau de pile 1. Par exemple,
[[2,1,-1],[1,4,2],[-1,2,-1]] SYLVESTER donne 2: [ 1/2 2/7 -23/7] 1: [[2 1 –1][0 7/2 5/2][0 0 1]] • La forme quadratique diagonalisée (niveau de pile 2) • La liste des variables (niveau de pile 1) Par exemple, 'X^2+Y^2-Z^2+4*X*Y-16*X*Z' ` ['X','Y','Z'] ` GAUSS donne 4: 3: Aide et les exemples qui y sont liés.
Pour accéder à la liste des formats graphiques disponibles sur la calculatrice, utiliser la séquence de touches „ô(D) Notez que si vous utilisez le mode RPN, vous devez appuyer simultanément sur ces deux touches pour activer n’importe laquelle des fonctions graphiques. Une fois que vous avez activé la fonction 2D/3D, la calculatrice affichera la fenêtre de configuration PLOT SETUP qui contient le champ TYPE tel qu’illustré ci-dessous.
Parametric : Pour tracer des équations de la forme x = x(t), y = y(t) Diff Eq : Pour tracer la solution numérique de l’équation linéaire différentielle Conic : Pour tracer les équations coniques (cercles, ellipses, hyperboles, paraboles) Truth : Pour tracer les inégalités dans un plan Histogram : Pour tracer les histogrammes de fréquence (applications statistiques) Bar : Pour tracer des histogrammes en barre simples Scatter : Pour tracer les diagrammes de dispersion d’ensemble de données discrètes (applications statistiques) Slopefield : Pour tracer les traces des isoclines d’une fonction f(x,y) = 0. Fast3D : Pour tracer les surfaces incurvées dans l’espace Wireframe : Pour tracer des surfaces incurvées dans l’espace montrant des grilles en tracé filaire Ps-Contour : Pour tracer les contours des surfaces Y- Slice : Pour tracer une vue en tranches d’une fonction f(x,y). Gridmap : Pour tracer les parties réelle et imaginaire d’une fonction complexe Pr-Surface : Pour les surfaces paramétriques données par x = x(u,v), y = y(u,v), z = z(u,v).
(appuyez simultanément sur les deux touches en mode RPN). Appuyez sur @ADD pour entrer dans l’Editeur d’équation. On vous demandera de compléter la partie de droite d’une équation Y1(x) = .
‚@@@EQ@@. Le contenu de EQ est simplement le nom de la fonction ‘Y1(X)’. La variable est utilisée par la calculatrice pour enregistrer l’équation, ou les équations, à tracer. Pour afficher le contenu de Y1, appuyez sur ‚@@@Y1@@. Vous obtiendrez la fonction « will get the function » Y1(X) définie comme étant le programme : <<
Utilisez une échelle allant de –4 à 4 pour H-VIEW, puis appuyez sur @AUTO pour générer automatiquement V-VIEW. L’écran PLOT WINDOW se présente comme suit :
Y1 dans la pile : << →X ‘EXP(-X^2/2)/ √(2*π) ‘ >>. Pour éditer cette expression, utilisez : ˜ ‚˜ ššš-0.1 êtes en mode RPN ou „îK @@@Y1@@ en mode ALG. La
Si vous déplacez le curseur vers la partie droite de la courbe, en appuyant sur la touche de direction vers la droite, (™), et en appuyant sur @ROOT, le résultat est maintenant ROOT: 1.6635... La calculatrice a indiqué, avant d’afficher le graphqiue, qu’il avait été trouvé par l’intermédiaire d’une inversion du signe SIGN REVERSAL. Appuyez sur L pour retourner au menu.
@SLOPE pour obtenir la valeur de la pente à ce point. Par exemple, à la racine négative SLOPE: 0.16670…. Appuyez sur L pour retourner au menu. Pour déterminer le point le plus haut de la courbe, placez le curseur près du sommet de la courbe et appuyez sur @EXTR . Le résultat est EXTRM: 0.. Appuyez sur L pour retourner au menu. Les autres touches disponibles dans le premier menu sont @AREA pour calculer la zone sous la courbe et @SHADE pour ombrer une zone sous la courbe. Appuyez sur L pour voir plus d'options. Le second menu inclut une touche appelée @VIEW qui fait clignoter pendant quelques secondes l’équation tracée. Appuyez sur @VIEW. A titre alternatif, vous pouvez appuyer sur la touche @NEXQ (NEXt eQuation) pour voir le nom de la fonction, Y1(x). Appuyez sur L pour retourner au menu. La touche @@F(X)@@ donne la valeur de f(x) correspondant à la position du curseur. Placez le curseur n’importe où sur la courbe et appuyez sur @@F(X)@@. La valeur sera affichée dans le coin inférieur gauche de l’écran. Appuyez sur L pour retourner au menu. Placez le curseur sur n’importe quel point donné de la trajectoire et appuyez sur TANL pour obtenir l’équation de la ligne tangente à la courbe à ce point. L’équation sera affichée dans le coin supérieur gauche de l’écran. Appuyez sur L pour retourner au menu. Si vous appuyez sur @@F ' @@ , la calculatrice tracera la fonction dérivée, f'(x) = df/dx, ainsi que la fonction originale, f(x). Notez que les deux
Appuyez sur ‚@@EQ@@ pour vérifier le contenu de EQ. Vous remarquerez qu’elle contient une liste au lieu d’une seule expression. La liste a pour éléments une expression pour la dérivée de Y1(X) et une pour Y1(X) elle-même. A l’origine, EQ contenait uniquement Y1(x). Après avoir appuyé sur @@F' @@ dans l’environnement @)FCN@ , la calculatrice a automatiquement ajouté la dérivée de Y1(x) à la liste des équations dans EQ.
Si vous voulez enregistrer votre graphe dans une variable, entrez dans l’environnement PICTURE en appuyant sur š. Ensuite, appuyez sur @EDIT LL@PICT. Cela effectue une capture de l’image actuelle dans un objet graphique. Pour retourner à l’affichage normal de la calculatrice, appuyez sur @)PICT @CANCL. Au niveau 1 de la pile, vous verrez un objet graphique décrit comme Graphic 131 × 64. Ceci peut être enregistré dans un nom de variable, appelons-le PIC1.
Effacez l’image actuelle avec @EDIT L@ERASE. Déplacez le curseur dans l’angle supérieur gauche de l’écran en utilisant les touches š et — . Pour afficher l’image actuellement au niveau 1 de la pile, appuyez sur L REPL. Pour retourner à l’affichage normal de la calculatrice, appuyez sur @)PICT @CANCL. Note: Par contrainte de place dans ce document, nous n’inclurons pas davantage de graphiques résultants des instructions du présent chapitre. L’utilisateur est invité à produire ces graphiques lui-même.
Dans cette section nous utilisons certaines des fonctions graphiques de la calculatrice pour montrer le comportement des fonctions natural log, exponentielle, trigonométrique et hyperbolique. Vous ne verrez pas de graphiques dans ce chapitre, car nous souhaitons que vous les visualisiez sur votre calculatrice.
Appuyez, simultanément en mode RPN, sur la touche directionnelle de gauche „ et sur la touche ô (D) pour produire la fenêtre de configuration PLOT SETUP. Le champ nommé Type est surligné. Si l’option Function n’est pas déjà sélectionnée, appuyez sur la touche menu nommée @CHOOS, utilisez les touches directionnelles haut et bas pour sélectionner Function et appuyez sur @@@OK@@@ pour terminer la sélection. Vérifiez que le champ nommé Indep: contient la variable ‘X’. Si tel n’est pas le cas, appuyez deux fois sur la touche
Ensuite, nous allons redimensionner la fenêtre du graphique. En mode RPN, appuyez simultanément sur la touche directionnelle de gauche „ et sur la touche ñ (A) pour produire la fenêtre PLOT-FUNCTION. Si une équation est surlignée dans cette fenêtre, appuyez sur @@DEL@@ autant de fois que nécessaire pour effacer complètement le contenu de la fenêtre. Lorsque la fenêtre PLOT-FUNCTION est vide, vous obtenez le message d’invite suivant: No Equ., Press ADD. Appuyez sur la touche de menu @@ADD@!. Ceci enclenchera l'Editeur d'équation EQN avec l'expression Y1(X)= . Tapez LN(X). Appuyez sur ` pour retourner à la fenêtre PLOT-FUNCTION. Appuyez sur L@@@OK@@@ pour retourner à l’affichage normal de la calculatrice. L’étape suivante consiste à appuyer (simultanément en mode RPN) sur la touche directionnelle de gauche „ et sur la touche ò(B) pour produire la fenêtre PLOT WINDOW-FUNCTION. Selon toute vraisemblance, l’affichage montrera les intervalles de la vue horizontale (H-View) et verticale (V-View) tels que : H-View: -6.5
échelle s’affiche dans la PLOT WINDOW-FUNCTION. A ce stade, vous êtes prêt à produire le graphe de ln(X). Appuyez sur @ERASE @DRAW pour tracer la fonction logarithme naturel. Pour ajouter des étiquettes au graphique, appuyez sur @EDIT L@MENU. Appuyez sur @MENU pour enlever les étiquettes et obtenir une vue complète du
Appuyez sur L@)PICT pour restaurer le premier menu des graphiques. Pour déterminer les coordonnées des points de la courbe, appuyez sur @TRACE (le curseur se déplace en haut de la courbe à un point situé envion à la moitié de l’intervalle de l’échelle horizontale). Ensuite, appuyez sur (X,Y) pour voir les coordonnées de l’emplacement actuel du vecteur. Ces coordonnées se trouveront en bas de l’écran. Utiliser ensuite les touches directionnelles droite et gauche pour vous déplacer sur la courbe. Au fur et à mesure que vous déplacez le curseur le long de la courbe, les coordonnées de la courbe sont affichées en bas de l’écran. Vérifiez que quand Y:1.00E0, X:2.72E0. Il s’agit du point (e,1), puisque ln(e) = 1. Appuyez sur L pour retourner au menu des graphiques. Ensuite, nous allons trouver le point d’intersection de la courbe avec l’axe des abscisses en appuyant @)FCN @ROOT. La calculatrice retourne la valeur Root: 1, confirmant que ln(1) = 0. Appuyez sur LL@)PICT @CANCL pour retourner à l’environnement PLOT WINDOW – FUNCTION. Appuyez sur ` pour retourner en mode d’affichage normal. Vous remarquerez que la racine trouvée dans l’environnement graphique a été copiée dans la pile de la calculatrice. Note: Quand vous appuyez sur J, votre liste de variables affiche de nouvelles variables appelées @@@X@@ et @@Y1@@. Pour afficher le contenu de cette dernière variable, appuyez sur ‚@@Y1@@. Vous obtenez le programme << → X ‘LN(X)’ >> , que vous reconnaitrez comme étant le programme qui sert à définir la fonction ‘Y1(X) = LN(X)’ en utilisant „à. C'est en fait ce qui se passe si vous appliquez @@ADD@! à une fonction dans la fenêtre PLOT – FUNCTION (la fenêtre qui s’affiche quand on appuie sur ñ, simultanément en mode RPN), c’est-à-dire que la fonction est définie et ajoutée à votre liste de variables. Pour afficher le contenu de cette variable, appuyez sur ‚@@@X@@@. Une valeur de 10.275 est placée dans la pile. Cette valeur est déterminée par notre sélection pour l’affichage de l’échelle horizontale. Nous avons sélectionné un intervalle compris entre -1 et 10 pour X. Pour produire le graphe, la
Pour l’intervalle horizontal, ( –1,10), l’incrément utilisé semble être 0.275. Quand la valeur de X devient supérieure à la valeur maximale de l’intervalle (dans ce cas, quand X = 10.275), le tracé du graphe s’arrête. La dernière valeur du graphe étudié est conservée dans la variable X. Effacez X et Y1 avant de continuer.
Tout d’abord, chargez la fonction exp(X), en appuyant, simultanément en mode RPN, sur la touche majuscule de gauche „ et sur la touche ñ (V) pour accéder à la fenêtre PLOT-FUNCTION. Appuyez sur @@DEL@@ pour retirer la fonction LN(X), si vous n’avez pas effacé Y1 comme suggéré dans la note précédente. Appuyez sur @@ADD@! et saisissez „¸~x` pour entrer EXP(X) et retourner à la fenêtre PLOT-FUNCTION. Appuyez sur L@@@OK@@@ pour retourner à l’affichage normal de la calculatrice. Ensuite, appuyez, simultanément en mode RPN, sur la touche majuscule de gauche „ et sur la touche ò ( B) pour accéder à la fenêtre PLOTFUNCTION. Changez les valeurs de la vue H-View pour lire : H-View: -8 2 en utilisant 8\@@@OK@@ @2@@@OK@@@. Ensuite, appuyez sur @AUTO. Une fois que l’intervalle vertical a été calculé, appuyez sur @ERASE @DRAW pour tracer la fonction exponentielle. Pour ajouter des étiquettes au graphe, appuyez sur @EDIT L@)LABEL. Appuyez sur @MENU pour retirer les étiquettes Menu et obtenir une vue complète du graphe. Appuyez sur L L @)PICT! @CANCL pour retourner à PLOT WINDOW – FUNCTION. Appuyez sur ` pour retourner en mode d’affichage normal.
PPAR signifie Plot PARameters, et son contenu comprend deux paires ordonnées de nombres réels (-8.,-1.10797263281) et (2.,7.38905609893), Ces paires représentent les coordonnées respectives du coin inférieur gauche et du coin supérieur droit du tracé. Ensuite, PPAR affiche le nom de la variable indépendante, X, suivi par un nombre qui spécifie l’incrément de la variable indépendante dans le tracé du graphe. La valeur affichée ici est la valeur par défaut, zero (0.), qui spécifie des incréments de X correspondant à 1 pixel dans l’affichage des graphiques. L’élément suivant de PPAR est une liste contenant d’une part les coordonnées du point d’intersection des axes du tracé, (à savoir : 0.,0.), suivie par une liste qui spécifie l’annotation tick mark sur les axes respectifs des abscisses et des ordonnées {# 10d # 10d}. Ensuite, PPAR liste le type de tracé qui sera généré, (à savoir : FUNCTION) et, finalement, l’étiquette de l’axe des ordonnées (à savoir : Y). La variable PPAR, si elle n’existe pas, est générée à chaque fois que vous créez un tracé. Le contenu de la fonction change en fonction du type de tracé et des options que vous sélectionnez dans la fenêtre PLOT (la fenêtre générée en appuyant simultanément sur les touches „ et ò(B).
Supposons que y = f(x). Si nous pouvons trouver une fonction y = g(x), telle que g(f(x)) = x, alors nous pouvons dire que g(x) est la fonction inverse de f(x). Généralement, la notation g(x) = f -1(x) est utilisée pour dénoter une fonction
Quand une fonction f(x) et son inverse f -1(x) sont tracées simultanément dans le même système d’axes, leurs graphes sont des reflets l’un de l’autre sur la ligne y = x. Vérifions ce fait avec la calculatrice pour les fonctions LN(X) et EXP(X) en appliquant la procédure suivante : Appuyez, simultanément en mode RPN, sur „ñ. La fonctions Y1(X) = EXP(X) devrait être disponible dans la fenêtre PLOT - FUNCTION depuis l’exercice précédent. Appuyez sur @@ADD@! et saisissez la fonction Y2(X) = LN(X). De même, chargez la fonction Y3(X) = X. Appuyez sur L@@@OK@@@ pour retourner à l’affichage normal de la calculatrice. Appuyez, simultanément en mode RPN, sur „ò, et changez la vue horizontale pour lire : H-View: -8 8 Appuyez sur @AUTO pour générer l’intervalle vertical. Appuyez sur @ERASE @DRAW pour produire le graphe de y = ln(x), y = exp(x), et y =x, simultanément en mode RPN. Vous remarquerez que seul le graphe de y = exp(x) est clairement visible. Une erreur s’est produite avec la sélection @AUTO de l’intervalle vertical. Ce qui se passe, c’est que quand vous appuyez sur @AUTO dans l’écran PLOT FUNCTION – WINDOW, la calcularice produit l’intervalle vertical correspondant à la première fonction dans la liste des fonctions à tracer. Laquelle, dans ce cas, se trouve être Y1(X) = EXP(X). A nous de saisir par nous-même l’intervalle vertical afin d’afficher les deux autres fonctions dans le même graphique.
PLOT - FUNCTION. Appuyez sur ` pour retourner en mode d’affichage normal.
Dans cette section, nous présentons des informations concernant les écrans PLOT SETUP, PLOT-FUNCTION, et PLOT WINDOW, accessibles par l’intermédiaire de la touche majuscule de gauche combinée aux touches menu A à D. Basée sur les exemples graphiques présentés ci-dessus, la procédure à suivre pour produire un tracé FUNCTION (c’est-à-dire un tracé avec une ou plusieurs fonctions Y = F(X)), est la suivante : Appuyez sur les deux touches „ô, - simultanément en mode RPN - pour accéder à la fenêtre de configuration PLOT SETUP. Si nécessaire, changez TYPE à FUNCTION, et saisisssez le nom de la variable indépendante. Paramétrages : • Une coche sur _Simult signifie que si vous avez deux ou plus de deux graphes dans le même graphe, ils seront tracés simultanément lors de la production du graphe. • Une coche sur _Connect signifie que la courbe sera une courbe continue plutôt qu’un ensemble de points individuels. • Une coche sur _Pixels signifie que les marques indiquées par H-Tick et V-Tick seront séparées par autant de pixels. • La valeur par défaut pour les deux est de 10 par H-Tick et V-Tick . Options des touches menu :
Note: les touches menu @EDIT et @CHOOS ne sont pas disponibles simultanément. L’une ou l’autre sera sélectionnée suivant le champ de saisie surligné.
Utilisez @DRAW pour produire le graphe en fonction du contenu actuel de PPAR pour les équations affichées dans la fenêtre PLOT-FUNCTION. Appuyez sur L pour accéder au deuxième ensemble de touches menu de cet écran. Utilisez @RESET pour réinitialiser tout champ sélectionné à sa valeur par défaut. Utilisez @CANCL pour annuler tout changement dans la fenêtre de configuration PLOT SETUP et retourner à l’affichage normal de la calculatrice. Appuyez sur @@@OK@@@ pour enregistrer les changements des options de la fenêtrede configuration PLOT SETUP et retourner à l’affichage normal de la calculatrice.
Options des touches menu : • Utilisez @EDIT pour éditer l’équation surlignée.
• Utilisez @CHOOS pour ajouter une équation qui est déjà définie dans votre Menu variables, mais pas affichée dans la fenêtre PLOT – FUNCTION. • Utilisez @ERASE pour effacer tout graphe actuellement dans la fenêtre d’affichage des graphes. • Utilisez @DRAW pour produire le graphe en fonction du contenu actuel de PPAR pour les équations affichées dans la fenêtre PLOT-FUNCTION. • Appuyez sur L pour accéder à la seconde liste du menu. • Utilisez @MOVE° et @MOVE³ pour déplacer l’équation sélectionnée d’un emplacement respectif vers le haut ou vers le bas. • Utilisez @CLEAR si vous voulez effacer toutes les équations actuellement actives dans la fenêtre PLOT – FUNCTION. La calculatrice vérifie si vous souhaitez vraiment effacer toutes les fonctions avant de les effacer. Sélectionnez YES et appuyez sur @@@OK@@@ pour continuer d’effacer toutes les fonctions. Sélectionnez NO et appuyez sur @@@OK@@@ pour désactiver l’option CLEAR. • Appuyez sur @@@OK@@@ pour retourner à l’affichage normal de la calculatrice. Appuyez sur les deux touches - „ ò, simultanémenten mode RPN - pour accéder à la PLOT WINDOW. Paramétrages : • Saisissez les limites inférieures et supérieures pour la vue horizontale (HView) et la vue verticale (V-View) des intervalles de la fenêtre de tracé. Ou • saisissez les limites inférieures et supérieures pour la vue horizontale (HView) et appuyez sur @AUTO, tandis que le curseur est dans l’un des champs V-View pour générer automatiquement l’intervalle de la vue verticale (V-View). Ou • saisissez les limites inférieures et supérieures pour la vue verticale (V-View) et appuyez sur @AUTO, tandis que le curseur est dans l’un des champs H-
Indep Low, (Indep) High, et (Indep) Step, la calculatrice utilisera les valeurs minimales et maximales déterminées par H-View. Une coche sur _Pixels signifie que les valeurs des incréments (Step:) de la variable indépendante sont données en pixels plutôt qu’en coordonnées du tracé.
• Utilisez @EDIT pour éditer n’importe quelle entrée de la fenêtre. • Utilisez @AUTO comme expliqué dans Paramétrages (cf. ci-dessus). • Utilisez @ERASE pour effacer tout graphe actuellement dans la fenêtre d’affichage des graphes. • Utilisez @DRAW pour produire le graphe en fonction du contenu actuel de PPAR pour les équations affichées dans la fenêtre PLOT-FUNCTION. • Appuyez sur L pour accéder à la seconde liste du menu. • Utilisez @RESET pour réinitialiser le champ sélectionné (à savoir celui dans lequel le curseur est positionné) à sa valeur d’origine. • Utilisez @CALC pour accéder à la pile de la calculatrice pour effectuer des calculs qui pourront être nécessaires pour obtenir une valeur pour l’une des options de cette fenêtre. Lorsque vous pouvez accéder à la pile de la calculatrice, vous disposez aussi des options des touches Menu @CANCL et @@@OK@@@ . • Utilisez @CANCL si vous voulez annuler le calcul en cours et retourner à l’écran PLOT WINDOW. Ou, • Utilisez @@@OK@@@ pour accepter les résultats et retourner à l’écran PLOT WINDOW. • Utilisez @TYPES pour obtenir des informations sur le type d’objets qui peuvent être utilisés dans le champ option sélectionné. • Utilisez @CANCL pour annuler tout changement à l’écran PLOT WINDOW et retourner à l’affichage normal de la calculatrice.
Les procédures utilisées précédemment pour tracer LN(X) et EXP(X), séparément ou simultanément, peuvent être utilisées pour tracer n’importe quelle fonction de forme y = f(x). Nous laissons le soin au lecteur de produire les tracés des fonctions trigonométriques et hyperboliques et leurs inverses, à titre d’exercice. Le tableau ci-dessous suggère les valeurs à utiliser pour les intervalles horizontaux et verticaux dans chacun des cas. Vous pouvez inclure la fonction Y=X lorsque vous tracez simultanément une fonction et son inverse, pour vérifier leur ‘reflet’ sur la ligne Y = X.
SIN(X) (appuyer simultanément sur les deux touches en mode RPN), l’utilisateur obtient une table de valeurs des fonctions. Par exemple, nous allons créer une table pour la fonction Y(X) = X/(X+10), sur l’échelle -5 < X < 5 en suivant les instructions ci-dessous : •
Pour accepter les changements effectués sur l’écran PLOT SETUP, appuyez sur L @@@OK@@@. Vous retournez à l’affichage normal de la calculatrice. L’étape suivante consiste à accéder à l’écran de paramétrage de la table en utilisant la combinaison de touches „õ (c’est-à-dire la touche menu E) – appuyez simultanément sur les deux touches en mode RPN). Un écran s’affiche sur lequel vous pouvez sélectionner la valeur de début (Start) et (Step). Saisissez alors les données suivantes: 5\ @@@OK@@@ 0. 5 @@@OK@@@ 0.5 @@@OK@@@ (c’est-à-dire : facteur de zoom = 0.5). Appuyez sur la touche menu @@CHK jusqu’à ce qu’une coche apparaisse
Certaines des options disponibles quand la table est affichée sont @ZOOM, @@BIG@ et @DEFN : • • La touche @ZOOM, si vous appuyez dessus, fait s’afficher un menu avec les options : In, Out, Decimal, Integer et Trig. Effectuez les exercices suivants : •
0.5. Simplement, la calculatrice multiplie l’incrément original, 0.5, par le facteur de zoom, 0.5, pour produire un nouvel incrément de
Pour restaurer l’incrément précédent, appuyez sur @ZOOM —@@@OK@@@ pour sélectionner l’option Un-zoom. L’incrément de x est augmenté à 0.25. Pour restaurer l’incrément d’origine de 0.5, vous pouvez choisir unzoom une fois de plus ou utiliser l’option zoom out en appuyant sur @ZOUT @@@OK@@@. L’option Decimal de @ZOOM produit des incréments de x de 0.10. L’option Integer de @ZOOM produit des incréments de x de 1. L’option Trig in produit des incréments liés aux fractions de π . Elle peut par conséquent être utile pour produire des tables de fonctions trigonométriques. Pour retourner à l’affichage normal de la calculatrice, appuyez sur `.
Premièrement, vous désireriez peut-être effacer les variables des exemples précédents (par exemple : X, EQ, Y1, PPAR) en utilisant la fonction PURGE (I @PURGE). En faisant cela, tous les paramètres des graphiques seront effacés. Appuyez sur J pour vérifier que les variables ont bien été effacées. Nous allons essayer de dessiner la fonction f(θ) = 2(1-sin(θ)), comme suit : • Premièrement, vérifiez que votre calculatrice est en mode radians. • Appuyez sur les deux touches „ô, - simultanément en mode RPN - pour accéder à la fenêtre de configuration PLOT SETUP. • Changez TYPE sur Polar, en appuyant sur @CHOOS ˜ @@@OK@@@. • Appuyez sur ˜ et saisissez : ³2* „ Ü1-S~‚t @@@OK@@@. •
³~‚t @@@OK@@@ pour changer la variable indépendante sur θ.
• Changez l’intervalle H-VIEW : de –8 à 8, en utilisant 8\@@@OK@@@8@@@OK@@@ et l’intervalle V-VIEW de : -6 à 2 en utilisant 6\@@@OK@@@2@@@OK@@@. Note: H-VIEW et V-VIEW ne déterminent que les intervalles de la fenêtre d’affichage et leurs échelles ne sont pas liées à l’échelle des valeurs de la variable indépendante dans ce cas. Changez la valeur de Indep Low à 0 et la valeur supérieure (High value) sur 6.28 (≈ 2π), en utilisant : 0@@@OK@@@ 6.28@@@OK@@@. Appuyez sur @ERASE @DRAW pour tracer la fonction en coordonnées polaires. Le résultat est une courbe en forme de cœur. Cette courbe est appelée cardiode (de cardios, le cœur, en grec).
L@)PICT pour restaurer le premier menu des graphiques. Appuyez sur @TRACE @x,y@ pour tracer la courbe. Les données affichées en bas de l’écran indiquent l’angle θ et le rayon r, bien que ce dernier soit désigné par Y (nom par défaut de la variable dépendante). Appuyez sur L@CANCL pour retourner à l’environnement PLOT WINDOW. Appuyez sur L@@@OK@@@ pour retourner à l’affichage normal de la calculatrice.
équations à tracer en utilisant la fenêtre PLOT, c’est-à-dire en appuyant, simultanément en mode RPN, sur „ñ. Par exemple, quand vous
Appuyez sur @ERASE @DRAW pour voir les deux équations tracées sur le même graphique. Le résultat en est deux cardioïdes qui se croisent. Appuyez sur @CANCL $ pour retourner en mode d’affichage normal.
La formule la plus générale d’une courbe conique sur le plan x-y est : Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F = 0. Nous reconnaissons aussi comme équations coniques celles qui sont données dans leur forme canonique pour les figures suivantes : • • • Par exemple, un cercle est le résultat de l’intersection d’un cône avec un plan perpendiculaire à l’axe principal du cône. La calculatrice a la possibilité de tracer une ou plusieurs courbes coniques en sélectionnant Conic comme TYPE de fonction dans l’environnement PLOT.
{ ‘(X-1)^2+(Y-2)^2=3’ , ‘X^2/4+Y^2/3=1’ } dans la variable EQ. Nous reconnaissons ces équations comme celles d’un cercle centré en (1,2) avec un rayon √3 et d’une ellipse centrée en (0,0) avec des longueurs de demi-axes a = 2 et b = √3. •
‘X’ et la variable dépendante (Depnd) sur ‘Y’. Appuyez sur L@@@OK@@@ pour retourner à l’affichage normal de la calculatrice. Entrez dans l’environnement PLOT WINDOW en appuyant sur „ò, appuyer simultanément sur les deux touches en mode RPN. Changez l’intervalle de H-VIEW de -3 à 3, en utilisant 3\ @@@OK@@@3@@@OK@@@. Changez aussi l’intervalle de V-VIEW de -1.5 à 2, en utilisant 1.5\@@@OK@@@ 2@@@OK@@@. Changez les champs Indep Low: et High: sur Default en utilisant L @RESET alors que ces deux champs sont surlignés. Sélectionnez l’option Reset value après avoir appuyé sur @RESET. Appuyez sur @@@OK@@@ pour terminer la réinitialisation des valeurs. Appuyez sur L pour retourner en mode d’affichage normal. Tracé du graphe : @ERASE @DRAW.
(0,0), s’étendra de -2 à 2 en abscisse et de -√3 à √3 en ordonnée. Notez que pour le cercle et l’ellipse, la région correspondant aux extrêmes droits et gauches des courbes n’est pas tracée. C’est ce qui intervient avec tous les cercles et ellipses tracés en utilisant Conic comme TYPE. • • • • Appuyez sur les deux touches „ô, - simultanément en mode RPN pour accéder à la fenêtre de configuration PLOT SETUP. • Changez le TYPE sur Parametric, en appuyant sur @CHOOS ˜˜@@@OK@@@. • Appuyez sur ˜ et saisir ‘X(t) + i*Y(t)’ @@@OK@@@ pour définir le tracé paramétrique de cette variable complexe (les parties réelles et imaginaires de cette variable complexe correspondent aux coordonnées en abscisse et en ordonnée de la courbe.) • Le curseur est maintenant dans le champ Indep. Appuyez sur ³~„t @@@OK@@@ pour changer la variable indépendante sur t. • Appuyez sur L@@@OK@@@ pour retourner à l’affichage normal de la calculatrice. • Appuyez sur les deux touches „ò, - simultanément en mode RPN pour accéder à la fenêtre PLOT (dans ce cas, elle sera appelée fenêtre PLOT –PARAMETRIC). Plutôt que de commencer par modifier les vues horizontales et verticales, comme nous l’avons fait pour les autres types
θ0, V0, Y0, X0. Les variables t, EQ et PPAR sont générées par la calculatrice pour enregistrer les valeurs actuelles du paramètre t de l‘équation à tracer, de EQ (qui contient ‘X(t) + I∗Y(t)’) et les paramètres du tracé. Les autres variables contiennent les valeurs de constantes utilisées dans les définitions de X(t) et Y(t). Vous pouvez enregistrer différentes valeurs dans les variables et produire de nouveaux tracés paramétriques des équations de projectiles utilisées dans cet exemple. Si vous voulez effacer l’image actuelle avant de produire un nouveau tracé, vous devez accéder, au choix, aux écrans PLOT, PLOT WINDOW ou PLOT SETUP, en appuyant sur „ñ , „ò, or „ô (vous devez appuyer simultanément sur les deux touches en mode RPN). Puis appuyez sur @ERASE @DRAW. Appuyez sur @CANCL pour retourner à l’environnement PLOT, PLOT WINDOW ou PLOT SETUP. Appuyez sur $, ou L@@@OK@@@, pour retourner à l’affichage normal de la calculatrice.
Dans un exemple précédent, nous avons généré une table de valeurs (X,Y) pour une expression de forme Y=f(X), représentant un graphe de type Function. Dans cette section, nous présentons la procédure pour générer une table correspondant à un tracé paramétrique. Dans ce but, nous allons profiter des équations paramétriques définies dans l’exemple précédent. •
Générez la table en appuyant (simultanément en mode RPN) sur „ö. La table en résultant a trois colonnes représentant le
Cette procédure pour créer une table correspondant au type de tracé actuel peut être appliquée à d’autres types de tracés.
Le tracé d’une équation différentielle simple peut être obtenu en sélectionnant Diff Eq dans le champ TYPE de l’environnement PLOT SETUP comme suit ; supposons que nous voulions tracer x(t) à partir de l’équation différentielle dx/dt = exp(-t2), avec les conditions initiales : x = 0 à t = 0. La calculatrice permet le tracé de la solution d’équations différentielles de forme Y'(T) = F(T,Y). Dans le cas qui nous intéresse, nous prenons F(T,Y)f(t,x) = exp(-t2). Yx et Tt, par conséquent, F(T,Y)f(t,x) = exp(-t2). Avant de tracer la solution x(t), pour t = 0 à 5, effacez les variables EQ et PPAR. • • Le curseur est maintenant dans le champ H-Var. Il devrait indiquer HVar:0 ainsi que V-Var:1. Il s’agit du code employé par la calculatrice pour identifier les variables à tracer. H-Var:0 signifie que la variable
Appuyez sur L@@@OK@@@ pour retourner à l’affichage normal de la calculatrice. Appuyez sur les deux touches „ò, - simultanément en mode RPN pour accéder à la fenêtre PLOT (dans ce cas, elle sera appelé fenêtre de configuration PLOT WINDOW– DIFF EQ). Changez les paramètres H-VIEW et V-VIEW pour lire : H-VIEW: -1 5, V-VIEW: -1 1.5
Appuyez sur @ERASE @DRAW pour tracer la solution de l’équation différentielle. Appuyez sur @EDIT L @LABEL @MENU pour voir le tracé et les étiquettes d’identification.
1@@@OK@@@ @ERASE @DRAW. Le tracé mettra plus de temps à s’effectuer mais la forme sera nettement plus homogène qu’auparavant. Appuyez sur @EDIT L @LABEL @MENU, pour voir les étiquettes des axes et l’incrément. Notez que les étiquettes pour les axes sont montrées comme 0 (horizontal) et 1 (vertical). Il s’agit des définitions pour les axes telles que données à l’écran de configuration PLOT WINDOW (voir précédemment ), à savoir : H-VAR (t): 0, et V-VAR(x): 1.
PICT. Appuyez sur (X,Y) pour déterminer les coordonnées de n’importe quel point du graphe. Utilisez ™et š pour déplacer le curseur dans la surface de tracé. Vous verrez les coordonnées du curseur comme (X,Y) en bas de l’écran. La calculatrice utilise respectivement X et Y comme noms par défaut pour les axes horizontaux et verticaux. Appuyez sur L@)CANCL pour retourner à l’environnement PLOT WINDOW. Appuyez sur $ pour retourner en mode d’affichage normal.
• Appuyez sur ˜ et saisissez {‘(X^2/36+Y^2/9 < 1)','(X^2/16+Y^2/9 > 1)’} @@@OK@@@ pour définir les conditions du tracé. • Le curseur est maintenant dans le champ Indep. Laissez-le sur ‘X’ s’il est déjà paramétré sur cette variable ou changez-le en ‘X’ si nécessaire. • Appuyez sur L@@@OK@@@ pour retourner à l’affichage normal de la calculatrice. • Appuyez sur les deux touches „ò, - simultanément en mode RPN pour accéder à la fenêtre de configuration PLOT (dans ce cas, elle sera appelée PLOT WINDOW – TRUTH ). Gardons les valeurs par défaut pour l’intervalle de la fenêtre : H-View: -6.5 6.5, V-View: -3.1 3.2 (pour les réinitialiser, utilisez L @RESET (sélectionnez Reset all) @@OK@@ L). Note: si les intervalles de la fenêtre ne sont pas paramétrés sur les valeurs par défaut, la façon la plus rapide de les réinitialiser est d’utiliser L@RESET@ (sélectionnez Reset all) @@@OK@@@ L. •
• Appuyez sur L@)CANCL pour retourner à l’environnement PLOT WINDOW. Puis appuyez sur $, ou L@@@OK@@@, pour retourner à l’affichage normal de la calculatrice. Vous pouvez avoir plus d’une condition tracée simultanément si vous multipliez les conditions. Par exemple, pour tracer le graphique des points pour lesquels X2/36 + Y2/9 < 1, et X2/16 + Y2/9 > 1, procédez comme suit : • • • Appuyez sur @ERASE @DRAW pourtracer le graphique Truth. Là encore, vous devez être patient pendant que la calculatrice produit le graphe. Si vous voulez interrompre le tracé, appuyez une fois sur $. Puis appuyez sur @CANCEL .
Les histogrammes, les histogrammes à barres et les diagrammes de dispersion sont utilisés pour tracer des données discrètes enregistrées dans la variable réservée ΣDAT. Cette variable est utilisée non seulement pour ces types de tracé mais aussi pour toutes sortes d’applications statistiques, comme nous le montrerons au Chapitre18. A vrai dire, l’utilisation du tracé en histogramme est reporté jusqu’à ce chapitre, car le tracé d’un histogramme nécessite de procéder à un regroupement des données et à une analyse de fréquence avant le tracé actuel. Dans cette section, nous allons vous montrer comment charger des données dans la variable ΣDAT et comment tracer des histogrammes à barres et des diagrammes de dispersion.
Pour enregistrer vos données dans ΣDAT, utilisez la fonction STOΣ (disponible par la fonction de catalogue, ‚N). Appuyez sur VAR pour retourner au menu des variables. Une touche de menu appelée ΣDAT devrait s’afficher dans la pile. L’illustration ci-dessous montre l'enregistrement de cette matrice en mode ALG :
• • ΣDAT à tracer. La valeur par défault est 1. Gardez-la pour tracer colonne 1 dans ΣDAT. Appuyez sur L@@@OK@@@ pour retourner à l’affichage normal de la calculatrice. Appuyez sur les deux touches „ò, - simultanément en mode RPN pour accéder à la PLOT WINDOW. Changez V-View pour afficher : V-View: 0 5. Appuyez sur @ERASE @DRAW pour dessiner l’histogramme à barres.
Puis appuyez sur $, ou L@@@OK@@@, pour retourner à l’affichage normal de la calculatrice.
Imaginez que vous vouliez tracer les données de la colonne 2 de la matrice ΣDAT: • •
Nous allons utiliser la même matrice ΣDAT pour produire des diagrammes de dispersion. En premier lieu, nous allons tracer les valeurs de y vs. x, puis celles de y vs. z, comme suit : • • • 2@@@OK@@@ pour choisir colonne 1 comme X et colonne 2 comme Y dans le diagramme de dispersion Y-et-X. Appuyez sur L@@@OK@@@ pour retourner à l’affichage normal de la calculatrice. Appuyez sur les deux touches „ò, - simultanément en mode RPN pour accéder à l'environnement PLOT WINDOW. Changez l'échelle de la fenêtre pour lire : H-View: 0 6 V-View: 0 6. Appuyez sur @ERASE @DRAW pour dessiner l’histogramme à barres. Appuyez sur @EDIT L @LABEL @MENU pour voir le tracé sans le menu et avec les étiquettes d’identification (le curseur, par contre, sera au centre du tracé) :
• • Appuyez sur L@@@OK@@@ pour retourner à l’affichage normal de la calculatrice. Appuyez sur les deux touches „ò, - simultanément en mode RPN pour accéder à la PLOT WINDOW. Changez l'échelle de la fenêtre pour lire : H-View: 0 7, V-View: 0 7. Appuyez sur @ERASE @DRAWpour dessiner l’histogramme à barres. Appuyez sur @EDIT L @LABEL @MENU pour voir le tracé sans le menu et avec les étiquettes d’identification.
Appuyez sur @CANCL pour retourner à l’environnement PLOT WINDOW. Puis appuyez sur $ ou L@@@OK@@@, pour retourner à l’affichage normal de la calculatrice.
Appuyez sur L@@@OK@@@ pour retourner à l’affichage normal de la calculatrice. Appuyez sur les deux touches „ ò - simultanément en mode RPN pour accéder à la fenêtre PLOT WINDOW. Changez l'échelle de la fenêtre pour lire : X-Left:-5, X-Right:5, Y-Near:-5, Y-Far: 5
Appuyez sur @ERASE @DRAW pour dessiner les isoclines du graphique. Appuyez sur @EDIT L @LABEL @MENU pour voir le tracé sans le menu et avec les étiquettes d’identification.
Appuyez sur @CANCL pour retourner à l’environnement PLOT WINDOW. Puis appuyez sur $ ou L@@@OK@@@, pour retourner à l’affichage normal de la calculatrice.
• Appuyez sur les deux touches „ô, - simultanément en mode RPN pour accéder à la fenêtre de configuration PLOT SETUP.
Appuyez sur L@@@OK@@@ pour retourner à l’affichage normal de la calculatrice. Appuyez sur les deux touches „ò, - simultanément en mode RPN pour accéder à la PLOT WINDOW. Conservez une échelle de graphique identique pour pouvoir lire : X-Left:-1, X-Right:1, Y-Near:-1, Y-Far: 1, Z-Low: -1, Z-High: 1, Step Indep: 10, Depnd: 8
Step. Appuyez sur $, ou L@@@OK@@@, pour retourner à l’affichage normal de la calculatrice.
• • Une fois fait, appuyez sur @EXIT. Appuyez sur @CANCL pour retourner à PLOT WINDOW. Appuyez sur $, ou L@@@OK@@@, pour retourner à l'affichage normal de calculatrice.
Les graphiques filaires sont des graphiques des surfaces en 3-D de par z = f(x,y). Contrairement aux graphiques rapides 3D, les graphiques filaires sont des graphes statiques. L'utilisateur peut choisir la vue du graphique, c'est-àdire les coordonnées utilisées pour afficher la surface du graphe. Par exemple, pour dessiner un graphique filaire pour la surface z = x + 2y –3, utilisez ces instructions : • Appuyez sur les deux touches „ò, - simultanément en mode RPN pour accéder à la fenêtre PLOT. Conservez une échelle de graphique identique pour pouvoir lire : X-Left:-1, X-Right:1, Y-Near:-1, Y-Far: 1, Z-Low: -1, Z-High: 1, XE:0,YE:-3, ZE:0, Step Indep: 10 Depnd: 8
Plus ce nombre est grand, plus le tracé du graphe sera long, même si les graphiques sont générés à une vitesse relativement élevée. Pour l’instant, nous conserverons des valeurs par défaut de 10 et 8 pour les paramètres Step. • •
Modifiez les coordinées pour pouvoir y lire : XE:0 YE:-3 ZE:3 Appuyez sur @ERASE @DRAW pour voir le tracé de la surface. Appuyez sur @EDIT L @LABEL @MENU pour voir le tracé avec les étiquettes d’identification et l'échelle.
Nous pouvons changer à nouveau la direction de regard, pour voir une autre version de ce graphe. • • • Appuyez sur @ERASE @DRAW pour voir le tracé de la surface. Cette fois, l'ensemble des graphes se trouve à la droite de l'écran.
Appuyez sur $, ou L@@@OK@@@, pour retourner à l’affichage normal de la calculatrice.
= x2+y2 • Appuyez sur @ERASE @DRAW pour dessiner les isoclines du graphique. Appuyez sur @EDIT L@)MENU @LABEL pour voir le tracé sans le menu et avec les étiquettes d’identification.
• Appuyez sur les deux touches „ô, - simultanément en mode RPN pour accéder à la fenêtre de configuration PLOT SETUP. • Modifiez TYPE pour Ps-Contour. • Appuyez sur ˜ et saisissez ‘X^2+Y^2’ @@@OK@@@. • Assurez-vous que ‘X’ est sélectionné dans les variables Indep: et ‘Y’ dans les variables Depnd. • Appuyez sur L@@@OK@@@ pour retourner à l’affichage normal de la calculatrice. • Appuyez sur les deux touches „ò, - simultanément en mode RPN pour accéder à la PLOT WINDOW. • Conservez une échelle de graphique identique pour pouvoir lire : X-Left:-2, X-Right:2, Y-Near:-1 Y-Far: 1, Step Indep: 10, Depnd: 8
Appuyez sur @ERASE @DRAW pour dessiner les isoclines du graphique. Appuyez sur @EDIT L @LABEL @)MENU pour voir le tracé sans le menu et avec les étiquettes d’identification.
Appuyez sur @CANCL pour retourner à l’environnement PLOT WINDOW. Puis appuyez sur $ ou L@@@OK@@@, pour retourner à l’affichage normal de la calculatrice.
Les graphiques Y-Slice sont des graphiques animés de z-vs.-y pour des valeurs différentes de x avec la fonction z = f(x,y). Par exemple, pour dessiner un graphique Y-Slice pour la surface de z = x3-xy3, utilisez la méthode cidessous :
Appuyez sur L@@@OK@@@ pour retourner à l’affichage normal de la calculatrice. Appuyez sur les deux touches „ò, - simultanément en mode RPN pour accéder à la fenêtre PLOT. Conservez une échelle de graphique identique pour pouvoir lire : X-Left:-1, X-Right:1, Y-Near:-1, Y-Far: 1, Z-Low: -1, Z-High: 1, Step Indep: 10, Depnd: 8
• Appuyez sur „ô, - simultanément en mode RPN - pour accéder à la fenêtre de configuration PLOT SETUP. • Appuyez sur ˜et saisissez ‘(X+Y)*SIN(Y)’ @@@OK@@@. • Appuyez sur @ERASE @DRAW pour voir le tracé de la surface. • Appuyez sur $ pour arrêter l'animation.
• Assurez-vous que ‘X’ est sélectionné dans les variables Indep: et ‘Y’ dans les variables Depnd:. • Appuyez sur L@@@OK@@@ pour retourner à l’affichage normal de la calculatrice. • Appuyez sur les deux touches „ò, - simultanément en mode RPN pour accéder à la fenêtre PLOT. • Conservez une échelle de graphique identique pour pouvoir lire : X-Left:-1, X-Right:1, Y-Near:-1, Y-Far: 1, XXLeft:-1, XXRight:1, YYNear:-1, yyFar: 1, Step Indep: 10, Depnd: 8
= X sin Y, y = y(X,Y) = x cos Y, z=z(X,Y)=X, utilisez : • • Assurez-vous que ‘X’ est sélectionné dans les variables Indep: et ‘Y’ dans les variables Depnd.
X-Right:1, Y-Near:-1, Y-Far: 1, Z-Low: -1, Z-High:1, XE: 0, YE:-3, zE:0, Step Indep: 10, Depnd: 8
@)EDIT, on obtient un menu qui comprend les options suivantes (appuyez sur L pour voir les fonctions additionnelles) :
LABEL, MENU, PICT, et REPL. De nombreuses fonctions restantes, telles que DOT+, DOT-, LINE, BOX, CIRCL, MARK, DEL etc., peuvent être utilisées pour tracer des points, des lignes, des cercles etc, sur l’écran des graphiques, comme cela a été décrit précédemment. Pour voir comment utiliser ces fonctions, nous allons essayer l’exercice suivant : Commençons par mettre l’écran graphique en conformité avec les instructions suivantes : • • • Modifiez EQ pour ‘X’ Vérifiez que Indep: est aussi sur ‘X’ Appuyez sur L@@@OK@@@ pour retourner à l’affichage normal de la calculatrice. Appuyez sur les deux touches „ò, - simultanément en mode RPN - pour accéder à la fenêtre PLOT –POLAR). Changez l’échelle H-VIEW de –10 à 10, en utilisant 10\ @@@OK@@@ 10@@@OK@@@ et l’échelle V-VIEW de -5 à 5 en utilisant 5\ @@@OK@@@ 5@@@OK@@@. Appuyez sur @ERASE @DRAW pour dessiner la fonction.
DOT+ et DOTQuand DOT+ est sélectionnée, les pixels seront activés chaque fois que le curseur se déplace en laissant derrière lui une trace de sa position. Quand DOT- est sélectionné, c’est l’effet inverse qui se manifeste, c’est-à-dire qu’à chaque mouvement du curseur, vous détruisez des pixels. Par exemple, utilisez les touches ™— pour déplacer le curseur quelque part au milieu du premier quart du plan x-y, puis appuyez sur @DOT+@@. L’étiquette sera sélectionnée (DOT+@). Appuyez et maintenez la touche ™ pour voir se tracer une ligne horizontale. Appuyez maintenant sur @DOT-@, pour sélectionner cette option ( @DOT-@ ). Appuyez et maintenez la touche š pour voir s’effacer la ligne que vous venez de tracer. Appuyez sur @DOT-, quand vous avez fini pour désélectionner cette option.
être utilisé à plusieurs fins, telles que : • • • Appuyez sur ˜ pour déplacer le curseur vers le bas, disons d’environ un centimètre de plus, et appuyez une fois encore sur @LINE . Vous devriez avoir maintenant un angle droit tracé par un segment horizontal et un segment vertical. Le curseur est toujours actif. Pour le désactiver, sans du tout le déplacer , appuyez sur @LINE. Le curseur reprend sa forme normale (une croix) et la fonction LINE n’est plus active.
(Toggle LINE) Déplacez le curseur dans le deuxième quart de l’écran pour voir le fonctionnement de cette option. Appuyez sur @TLINE. Une marque est placée au début de la ligne toggle. Grâce aux touches directionnelles, éloignez le curseur de ce point et appuyez sur @TLINE. Une ligne est tracée de l’emplacement actuel du curseur au point de référence sélectionné précédemment. Les pixels activés sur le tracé de la ligne seront désactivés et vice versa. Pour effacer la dernière ligne tracée, appuyez encore une fois sur @TLINE. Pour désactiver TLINE, déplacez le curseur jusqu’au point d’origine où la commande TLINE a été activée et appuyez sur @LINE @LINE.
éloigné et en diagonale par rapport à l’emplacement actuel du curseur. Appuyez à nouveau sur @BOX@ . Un rectangle est dessiné dont la diagonale joint les emplacements initiaux et finaux du curseur. La position initiale de la
Essayez cette commande en déplaçant le curseur dans une partie libre du graphe, appuyez sur @MARK. Déplacez le curseur vers un autre point, puis appuyez sur @CIRCL. Un cercle centré autour de la marque et passant par le dernier point est tracé.
L’objet extrait est automatiquement placé dans la pile. Sélectionnez le sousensemble que vous voulez extraire en plaçant une marque sur un point du cercle, en déplaçant le curseur jusqu’au coin diagonal du rectangle comprenant le sous-ensemble du graphique et appuyez sur @@SUB@. Cette fonction peut être utilisée pour déplacer des parties d’un objet graphique à l’intérieur du graphe.
Cette commande place une copie du graphe actuellement dans la fenêtre graphique dans la pile sous forme d’objet graphique. L’objet graphique placé dans la pile peut être enregistré dans un nom de variable pour sa sauvegarde ou pour d’autres types de manipulations.
De retour à l’affichage graphique, appuyez sur @@ZIN@ . Le graphique est à nouveau tracé avec le nouveau facteur d’échelle verticale et horizontale, centré sur l’emplacement où le curseur était situé, tout en maintenant la taille PICT originale (soit le nombre original de pixels dans les deux directions). En utilisant les touches directionnelles, faites défiler horizontalement et verticalement, autant que possible, le graphe sur lequel le zoom avant a été effectué. Pour faire un zoom arrière, sujet au paramétrage des facteurs H et V par ZFACT, appuyez sur @)ZOOM @ZOUT. Le graphe résultant fournit plus de détails que le graphe avec zoom avant.
(la « boîte ») dans laquelle vous voulez effectuer le zoom avant. Déplacez le curseur sur l’un des coins de la boîte (en utilisant les touches directionnelles) et appuyez sur @)ZOOM @BOXZ. En utilisant une fois de plus les touches directionnelles, déplacez le curseur jusqu’au coin opposé de la boîte de zoom désirée. Le curseur trace la boîte de zoom à l’écran. Lorsque la boîte de zoom désirée a été sélectionnée, appuyez sur @ZOOM. La calculatrice effectuera un zoom avant sur le contenu de la boîte de zoom que vous avez sélectionnée de telle sorte qu’il remplisse la totalité de l’écran. Si vous appuyez maintenant sur @ZOUT, la calculatrice fait un zoom arrière hors de la boîte actuelle en utilisant les facteurs H et V, ; ceci risque d’empêcher la restauration de la vue du graphe dont vous êtes parti quand vous avez commencé l’opération avec la boîte de zoom.
échelles par défaut des abscisses et des ordonnées (à savoir : -6.5 à 6.5 en x et –3.1 à 3.1 en y). La commande @ZAUTO, d’un autre côté, crée une fenêtre de zoom en utilisant l’échelle de la variable indépendante actuelle (x), mais en ajustant l’échelle de la variable dépendante, (y) pour s’adapter à la courbe (comme quand on utilise la fonction @AUTO dans le formulaire de saisie PLOT WINDOW (appuyer sur „ò, simultanément en mode RPN).
Quand vous utilisez ZINTG, avec le curseur au centre de l’écran, la fenêtre est soumise à un zoom de telle sorte que l’axe des abscisses s’étende de –64.5 à 65.5.
échelle allant d’environ –3π à +3π, l’échelle préférée pour les fonctions trigonométriques. Note: Aucune de ces fonctions n’est programmable. Elles ne sont utiles que de manière interactive. Ne confondez pas la commande @ZFACT dans le menu ZOOM avec la fonction ZFACTOR, qui est utilisée pour la dynamique des gaz et les applications de chimie (voir Chapitre 3).
Le menu SYMBOLIC est activé en appuyant sur la touche P (la quatrième touche, en partant de gauche, de la quatrième ligne depuis le haut du clavier).
PLOTADD(function): ajoute cette fonction à la liste de fonctions à tracer, similaire à „ô Plot setup..: identique à „ô
PLOT (X^2-1) est similaire à „ô avec EQ: X^2 -1. L’utilisation de @ERASE @DRAW produit le tracé:
EQ: X^2 -1. L’utilisation de @ERASE @DRAW produit le tracé suivant :
F = 1/e. F croît avant d’atteindre cette valeur, comme indiqué par la flèche vers le haut, et décroît au-delà de cette valeur (X=e), devenant légèrement supérieure à zéro (+:0) quand X tend vers l’infini. Un tracé du graphe est présenté ci-dessous pour illustrer ces observations :
„Ö (associée à la touche 4) ; le menu CALC contient les fonctions suivantes :
équations différentielles, qui font l’objet de l’élément (3), sont présentées au Chapitre 16. Les fonctions graphiques, qui font l’objet de l’élément (4), ont été présentées à la fin du Chapitre 12 : enfin, les entrées 5. DERVX et 6.INTVX permettent d’obtenir une dérivée et une intégrale indéfinie pour une fonction de la variable CAS par défaut (généralement, ‘X’). Les Fonctions DERVX et INTVX seront discutées en détail ultérieurement.
Les calculs différentiels traitent des dérivées, ou taux de variation, des fonctions et de leurs applications en analyse mathématique. La dérivée d’une fonction est définie comme la limite de la différence d’une fonction lorsque
La fonction lim est disponible par le biais du catalogue de commande (‚N~„l) ou grâce à l’option 2. LIMITS & SERIES… du menu CALC (voir plus haut). Note: les fonctions disponibles dans le menu LIMITS & SERIES sont présentées ci-dessous:
La fonction lim est saisie en mode ALG comme lim(f(x),x=a) pour calculer la limite : lim f ( x) . En mode RPN, saisir d’abord la fonction puis x→ a
(en mode algébrique, l’indicateur système 117 étant paramétré sur CHOOSE boxes) : „Ö2 @@OK@@ 2 @@OK@@ x+1‚í x‚Å 1` (FOURIER) et à l’analyse des vecteurs (CURL, DIV, HESS, LAPL). Nous évoquerons ici les fonctions DERIV et DERVX, les autres étant présentées soit plus bas dans ce chapitre, soit dans les chapitres suivants.
Le curseur d’insertion () se trouve à droite du dénominateur, afin de permettre à l’utilisateur d’entrer une variable indépendante, par exemple, s: ~„s. Appuyez ensuite sur la flèche droite (™) afin de passer au champ entre parenthèses :
La règle de la chaîne La règle de la chaîne pour les dérivées s’applique aux dérivées de fonctions composites. Une expression générale de la règle de la chaîne est : d{f[g(x)]}/dx = (df/dg)⋅ (dg/dx). Sur la calculatrice, cette formule apparaît ainsi :
Vous pouvez utiliser la calculatrice pour calculer des dérivées d’équations, c’est-à-dire des expressions dans lesquelles des dérivées existeront de part et d’autre du signe égal. Des exemples sont affichés ci-dessous :
On peut utiliser les dérivées pour analyser les graphiques des fonctions et pour optimiser les fonctions d’une variable (c’est-à-dire pour trouver les valeurs minimale et maximale). Quelques exemples de dérivées partielles de premier ordre sont montrés ci-dessous.
Dans le Chapitre 11, nous avons présenté certaines fonctions disponibles dans l’écran des graphiques pour l’analyse des graphiques de fonctions de type y = f(x). Ces fonctions comprennent (X,Y) et TRACE pour déterminer des points du graphique, ainsi que les fonctions des menus ZOOM et FCN. Les fonctions du menu ZOOM permettent à l’utilisateur d’agrandir un graphique pour l’analyser plus en détail. Ces fonctions sont décrites au Chapitre 12. Parmi les fonctions du menu FCN, on peut utiliser SLOPE, EXTR, F’ et TANL pour déterminer la pente d’une tangente dans le graphique, les extrêmes (minimale et maximale) de la fonction, pour tracer la dérivée et pour trouver l’équation de la tangente. Essayez l’exemple suivant pour la fonction y = tan(x). • Appuyez sur les deux touches „ô, - simultanémenten mode RPN - pour accéder à la fenêtre PLOT SETUP. • Le cas échéant, remplacez TYPE par FUNCTION, à l’aide de [@CHOOS]. • Appuyez sur ˜ et tapez l’équation ‘TAN(X)’. • Par défaut, cette variable est paramétrée comme ‘X’. • Appuyez sur L@@@OK@@@ pour retourner à l’affichage normal de la calculatrice.
5. • Appuyez sur @ERASE @DRAW pour tracer la fonction en coordonnées polaires. Ainsi se présente le tracé obtenu :
à +∞, elle est définie (+). D’autre part,
SIGNTAB indique que TAN(X) est négatif de –π/2 à 0, et positif de 0 à π /2. Dans ce cas, SIGNTAB ne fournit aucune information (?) pour les intervalles entre –∞ et -π /2, ni entre +π /2 et ∞. Ainsi, SIGNTAB, dans ce cas précis, donne uniquement des informations concernant le domaine principal de TAN(X), à savoir : -π /2 < X < +π /2. Un deuxième exemple de la fonction SIGNTAB est présenté ci-dessous :
ƒ pour supprimer ce dernier résultat de la pile. Deux listes, correspondant aux lignes supérieure et inférieure de la matrice de graphique présentée précédemment, occupent désormais le niveau 1. Ces
L’interprétation du tableau de variations présenté ci-dessus est la suivante : la fonction F(X) augmente pour X dans l’intervalle (-∞, -1), atteignant un maximum égal à 36 à X = -1. Puis, F(X) diminue jusqu’à X = 11/3, atteignant un minimum de -400/27. Après cela, F(X) augmente jusqu’à +∞. De même, à X = ±∞, F(X) = ±∞.
Les « points extrêmes » désignent les valeurs minimale et maximale d’une fonction dans un intervalle donné. Dans la mesure où la dérivée d’une fonction à un point donné représente la pente d’une tangente à la courbe en ce point, les valeurs de x pour lesquelles f’(x) =0 représentent les points où le graphique de la fonction atteint un maximum ou un minimum. De plus, la valeur de la dérivée seconde de la fonction, f”(x), en ces points détermine si le point est un maximum relatif [f”(x)<0] ou un minimum relatif ou local [f”(x)>0]. Ces idées sont illustrées dans la figure ci-dessous.
On trouve deux points critiques, l’un à x = 11/3 et l’autre à x = -1. Pour évaluer la dérivée seconde à chaque point, utilisez :
F(x) = x3 + C, où C est une constante. On, peut représenter une anti-dérivée sous forme d’intégrale indéfinie, c’est-à-dire, seulement si, f(x) = dF/dx, et C = constante.
SIGMAVX pour calculer des primitives de fonctions. Les fonctions INT, RISCH et SIGMA peuvent s’appliquer à des fonctions de n’importe quelle variable, alors que les fonctions INTVX et SIGMAVX utilisent des fonctions de la variable du CAS VX (généralement ‘x’). Les fonctions INT et RISCH nécessitent, par conséquent, non seulement l’expression pour la fonction à intégrer mais aussi le nom de la variable indépendante. La fonction INT, nécessite aussi une valeur de x pour laquelle l’anti-dérivée sera évaluée. Les fonctions INTVX et SIGMAVX ne nécessitent que l’expression de la fonction à intégrer en terme de VX. Quelques exemples sont illustrés ci-dessous en mode ALG :
Au sein de l’Editeur d’équations, le symbole ‚Á produit le signe de
(a,b), pour la fonction f(x) et pour la variable de l’intégration (x). Les captures d’écran suivantes présentent la construction d’une intégrale particulière. Le curseur d’insertion est d’abord situé à la borne inférieure de l’intégration : entrez une valeur et appuyez sur la flèche droite (™) pour passer à la borne supérieure de l’intégration. Entrez une valeur à cet endroit et appuyez de nouveau sur ™ pour passer à l’emplacement de l’intégrande. Tapez l’expression de l’intégrande et appuyez une nouvelle fois pour passer au champs du différentiel ; tapez la variable de l’intégration à cet endroit ; vous êtes prêt à calculer l’intégrale.
Si vous appuyez sur ` à ce stade, vous évaluerez l’intégrale dans la pile :
Si l’option pas à pas de la fenêtre CAS MODES est sélectionnée (voir Chapitre 1), l’évaluation des dérivées et des intégrales sera présentée pas à pas. Par exemple, voici l’évaluation d’une dérivée dans l’Editeur d’équations :
élimination de la racine carrée du dénominateur) et simplifiée. La version finale apparaît à la troisième étape. Chaque étape est affichée par une pression sur la touche de menu @EVAL , jusqu’à ce qu’une application supplémentaire de la fonction EVAL n’apporte plus de modification à l’expression. L’exemple suivant présente l’évaluation d’une intégrale définie dans l’Editeur d’équations, pas à pas :
utilisons le calcul pas à pas dans l’Editeur d’équations, voici la séquence des substitutions de variables :
Ce résultat peut être simplifié ainsi, via la fonction @SIMP, pour lire :
La différentielle d’une fonction y = f(x), est défini comme y = f’(x) dx, où f’(x) est la dérivée de f(x). On utilise les différentielles pour représenter les petits incréments des variables. La différentielle du produit de deux fonctions, y = u(x)v(x), est donné par dy = u(x)dv(x) +du(x)v(x), ou, plus simplement, d(uv) = udv - vdu. Ainsi, l’intégrale de udv = d(uv) - vdu,
Une intégrale peut être utilisée avec des unités incorporées dans les bornes de l’intégration, comme indiqué dans l’exemple ci-dessous du mode ALG, le système CAS étant paramétré sur mode Approx. La figure du côté gauche indique l’intégrale affichée dans la pile avant le appui sur `. La figure du côté droit indique le résultat après appui sur `.
Exact, il vous sera proposé de changer en mode Approx, par contre les
0_mm, comme précédemment. Faites attention avec les différents types de format. Quelques remarques sur l’utilisation des unités dans les bornes des intégrations : 1 – Les unités de la borne inférieure d’intégration seront celles qui seront utilisées pour afficher le résultat final, comme indiqué dans les deux exemples ci-dessous :
Une fonction f(x) peut être développée en des séries infinies autour d’un x=x0 en utilisant les séries de Taylor, à savoir, ∞
La fonction TAYLR produit un développement en séries de Taylor d’une fonction de n’importe quelle variable x de point x = a pour l’ordre k spécifié par l’utilisateur. Par conséquent, la fonction a le format TAYLR(f(x-a),x,k). Par exemple ,
Maclaurin) ou une expression de forme ‘variable = valeur’ indiquant le point de développement d’une série de Taylor et l’ordre des séries à produire. La fonction SERIES produit deux résultats par liste de quatre données et une expression pour h = x – a si le deuxième argument de la fonction est ‘x=a’ soit une expression de l’incrément de h. La liste produite comme premier objet calculé comprend les données suivantes : 1 – la limite bidirectionnelle de la fonction au point de développement, c’està-dire : lim f ( x) x→a
3 – L’expression pour le polynôme de Taylor 4 – L’ordre du résidu ou du reste
Dans l’illustration de droite ci-dessus, nous utilisons l’éditeur de lignes pour voir le développement des séries en détail.
Dans ce chapitre, nous discuterons des concepts de base des calculs différentiels à plusieurs variables, y compris les dérivées partielles et les intégrales multiples.
Une fonction à deux variables ou plus peut être définie dans la calculatrice en utilisant la fonction DEFINE („à). Pour illustrer le concept de dérivée partielle, nous allons définir deux fonctions à plusieurs variables, f(x,y) = x cos(y), et g(x,y,z) = (x2+y2)1/2sin(z), en procédant comme suit :
Considérons la fonction à deux variables z = f(x,y). La dérivée partielle de la fonction par rapport à x est définie par la limite,
(x cos( y ) ) = cos( y ), ∂ (x cos( y ) ) = − x sin( y ) , Considérons la fonction z = f(x,y), telle que x = x(t) et y = y(t). La fonction z représente en fait une fonction composite de t si nous l’écrivons comme z = f[x(t),y(t)]. La formule de dérivation pour la dérivée dz/dt dans ce cas s’écrit :
= Les formules suivantes représentent des formules de dérivation dans cette situation :
= (∂2f/∂y2)-[∂2f/∂x∂y]2 > 0. Le point (xo,yo) est un maximum relatif si ∂2f/∂x2 < 0, ou un minimum relatif si ∂2f/∂x2> 0. La valeur ∆ est appelée discriminant. Si ∆ = (∂2f/∂x2)⋅ (∂2f/∂y2)-[∂2f/∂x∂y]2 < 0, nous avons une condition connue comme point selle, où la fonction atteindrait un maximum de x si nous maintenions y constant, tout en atteignant en même temps un minimum si nous maintenions x constant ou vice-versa.
= (1,0), ∆ <0 (point selle) et pour (X,Y) = (-1,0), ∆>0 et ∂2f/∂X2<0 relatif). L’illustration ci-dessous, produite par la calculatrice et ordinateur, montre l’existence de ces deux points :
La fonction HESS peut être utilisée pour analyser les extrêmes d’une fonction à deux variables, comme cela est démontré ci-dessous. La fonction HESS, en général, prend comme donnée de départ une fonction de n variables indépendantes φ(x1, x2, …,xn) et un vecteur des fonctions [‘x1’ ‘x2’…’xn’]. La fonction HESS inverse la matrice Hessienne de la fonction φ, définie comme la matrice H = [hij] = [∂2φ/∂xi∂xj], le gradient de la fonction par rapport aux n variables grad f = [ ∂φ/∂x1, ∂φ/∂x2 , … ∂φ/∂xn] et la liste des variables [‘x1’ ‘x2’…’xn’]. Les applications de la fonction HESS sont plus faciles à visualiser en mode RPN. Considérons à titre d’exemple la fonction φ(X,Y,Z) = X2 + XY + XZ. Nous allons appliquer la fonction HESS à la fonction φ dans l’exemple suivant. Les saisies d’écran montrent la pile RPN avant et après avoir appliqué la fonction HESS.
2 , s’il est égal à zéro, représente les équations des points critiques, c’est-àdire : ∂φ/∂xi = 0, tandis que la matrice au niveau 3 représente les dérivées secondes . Par conséquent, les résultats de la fonction HESS peuvent être utilisés pour analyser les extrêmes des fonctions à deux variables. Par exemple, pour la fonction f(X,Y) = X3-3X-Y2+5, procéder comme suit en mode RPN : ‘X^3-3*X-Y^2+5’ ` [‘X’,’Y’] ` HESS SOLVE Enregistrer les points critiques
[‘X=-1’,’Y=0] et [‘X=1’,’Y=0]. La matrice Hessienne est au niveau 1 à ce stade. ‘H’ K J @@@H@@@ @@s1@@ SUBST ‚ï
DERIV&INTEG, nous avons identifié un certain nombre de fonctions qui ont des applications en analyse vectorielle, à savoir CURL, DIV, HESS, LAPL. Pour les exercices de ce chapitre, paramétrez votre mesure d’angle en radians.
Une fonction définie dans une région de l’espace telle que φ(x,y,z) est appelée champ scalaire. Des exemples de ces champs sont fournis par les températures, les densités et le potentiel de tension près d’une charge. Si la fonction est définie par un vecteur, à savoir F(x,y,z) = f(x,y,z)i+g(x,y,z)j+h(x,y,z)k, elle est appelée champ de vecteurs. L’opérateur suivant, appelé opérateur ‘del’ ou ‘nabla’, est un opérateur basé sur vecteurs qui peut être appliqué à un scalaire ou à une fonction vectorielle
La valeur de cette dérivée directionnelle est égale à la magnitude du gradient à n’importe quel point Dmaxφ(x,y,z) = ∇φ •∇φ/|∇φ| = |∇φ| L’équation φ(x,y,z) = 0 représente une surface dans l’espace. Il s’avère que le gradient de la fonction à n’importe quel point de cette surface est normal à cette surface. Par conséquent, l’équation d’un plan tangent à la courbe à ce point peut être trouvée en utilisant la technique présentée au Chapitre 9. La façon la plus simple d’obtenir le gradient est d’utiliser la fonction DERIV, disponible dans le menu CALC, c'est-à-dire ,
Le programme suivant, que vous pouvez enregistrer dans la variable GRADIENT utilise la fonction DERIV pour calculer le gradient d’une fonction scalaire de X,Y,Z. Les calculs pour d’autres variables de base ne marcheront pas. Si vous travaillez souvent en système (X,Y,Z), cependant, ce programme facilitera vos calculs : << X Y Z 3 ARRY DERIV >> Saisissez ce programme en mode RPN. Après avoir basculé en mode ALG, vous pouvez activer la fonction GRADIENT comme dans l’exemple suivant :
[∂φ/∂xi∂xj], le gradient de la fonction par rapport aux n variables grad f = [ ∂φ/∂x1, ∂φ/∂x2 , … ∂φ/∂xn] et la liste de variables [‘x1’ ‘x2’…’xn’]. Considérons à titre d’exemple la fonction φ(X,Y,Z) = X2 + XY + XZ. Nous allons appliquer la fonction HESS à ce champ scalaire dans l’exemple suivant en mode RPN :
Dans une section précédente du présent chapitre, nous avons introduit la fonction POTENTIAL pour calculer la fonction potentielle φ(x,y,z) pour un champ de vecteurs, F(x,y,z) = f(x,y,z)i+ g(x,y,z)j+ h(x,y,z)k, tel que F = grad φ = ∇φ. Nous avons aussi indiqué que les conditions d’existence de φ, étaient : ∂f/∂y = ∂g/∂x, ∂f/∂z = ∂h/∂x et ∂g/∂z = ∂h/∂y. Ces conditions sont équivalentes à l’expression vectorielle curl F = ∇×F = 0. Un champ de vecteurs F(x,y,z), dont le rotationnel est nul, est connu comme un champ non rotationnel. Par conséquent, nous concluons qu’une fonction potentielle φ(x,y,z) existe toujours pour un champ non rotationnel F(x,y,z). A titre d’exemple, nous avons essayé précédemment de trouver une fonction potentielle pour le champ de vecteurs F(x,y,z) = (x+y)i + (x-y+z)j + xzk et avons obtenu le message d’erreur de la fonction POTENTIAL. Pour vérifier qu’il s’agit d’un champ rotationnel (tel que ∇×F ≠ 0), nous utilisons la fonction CURL sur ce champ :
F(x,y,z)=f(x,y,z)i+g(x,y,z)j+h(x,y,z)k. Par exemple, étant donné le champ de vecteurs F(x,y,z) = -(yi+zj+xk), la fonction VPOTENTIAL donne
Il faut indiquer qu’il existe plus d’une fonction de vecteur potentiel Φ pour un champ de vecteurs donné F. Par exemple, les captures d’écran suivantes montrent que le rotationnel de la fonction vectorielle Φ1 = [X2+Y2+Z2,XYZ,X+Y+Z] est le vecteur F = ∇× Φ2 = [1-XY,2Z-1,ZY-2Y]. L’application de la fonction VPOTENTIAL produit la fonction de vecteur potentiel Φ2 = [0, ZYX-2YX, Y-(2ZX-X)], qui est différente de Φ1. La dernière commande dans la capture d’écran montre qu’en effet F = ∇× Φ2. Par conséquent, la fonction de vecteur potentiel n’est pas déterminée de manière unique.
Dans cette section, nous vous présentons certaines utilisations de la calculatrice pour saisir, vérifier et visualiser la solution d’ODE.
La clé de l’utilisation des équations différentielles dans la calculatrice est de saisir les dérivées dans l’équation. Le moyen le plus simple de saisir une équation différentielle est de la saisir dans l’Editeur d’équations. Par exemple, pour saisir l’ODE suivante : (x-1)⋅(dy(x)/dx)2 + 2⋅x⋅y(x) = ex sin x, utilisez : ‚O „ Ü~ „x -1 ™™™*‚¿ ~„x ™~„y„Ü~„x™™ Q2 ™™+2* La notation utilisant ‘d’ et l’ordre de la variable indépendante est la notation préférée par la calculatrice lorsque des dérivées sont impliquées dans le calcul. Par exemple, l’utilisation de la fonction DERIV, en mode ALG, comme dans DERIV(‘x*f(x,t)+g(t,y) = h(x,y,t)’,t), produit l’expression suivante : ‘x*d2f(x,t)+d1g(t,y)=d3h(x,y,t)’. Traduite sur papier, cette expression représente l’équation différentielle partielle x⋅(∂f/∂t) + ∂g/∂t = ∂h/∂t. Parce que l’ordre de la variable t est différent dans f(x,t), g(t,y) et h(x,y,t), les dérivées par rapport à t ont des indices différents, à savoir d2f(x,t), d1g(t,y), et d3h(x,y,t). Toutes, cependant, représentent des dérivées par rapport à la même variable. Les expressions pour les dérivées utilisant comme notation l’index de notation ordre de variable ne sont pas traduites en notation de dérivées dans l’Editeur d’équations, comme vous pouvez le vérifier en appuyant sur ˜ alors que le dernier résultat est au niveau 1 de la pile. Cependant, la calculatrice comprend les deux notations et fonctionne en accord avec la notation utilisée.
Pour vérifier si une fonction satisfait une équation donnée en utilisant la calculatrice, utilisez la fonction SUBST (voir Chapitre 5) pour remplacer la solution sous forme ‘y = f(x)’ ou ‘y = f(x,t)’ etc. dans l’équation différentielle. Il se peut que vous ayez besoin de simplifier le résultat en utilisant la fonction EVAL pour vérifier la solution. Par exemple, pour vérifier que u = A sin ωot est la solution de l’équation d2u/dt2 + ωo2⋅u = 0, utilisez la procédure suivante : En mode ALG : SUBST(‘∂t(∂t(u(t)))+ ω0^2*u(t) = 0’,‘u(t)=A*SIN (ω0*t)’ ` EVAL(ANS(1)) ` En mode RPN : ‘∂t(∂t(u(t)))+ ω0^2*u(t) = 0’ ` ‘u(t)=A*SIN (ω0*t)’ ` SUBST EVAL Le résultat est
Exemple 1 -- Localiser la solution de l’équation différentielle y’ = f(x,y) = sin x cos y en utilisant un tracé d'isoclines. Pour résoudre ce problème, suivre les instructions du Chapitre 12 pour les tracés slopefield. Si vous avez pu reproduire le tracé des isoclines sur papier, vous pouvez tracer à la main les lignes tangentes aux segments de ligne montrés sur le
En résumé les tracés isoclines sont des aides graphiques pour ébaucher le tracé des courbes y = g(x) qui correspondent aux solutions de l’équation différentielle dy/dx = f(x,y).
DESOLVE : Differential Equation SOLVEr ou calculateur d’équation différentielle, donne la solution si elle éxiste ILAP : Inverse LAPlace transform ou transformation inverse de Laplace, L-1[F(s)] = f(t) Une équation dont la partie de droite (n’impliquant pas la fonction ou ses dérivées) est égale à zéro est appelée équation homogène. Sinon, elle est appelée équation non homogène. La solution à une équation homogène est connue sous le nom de solution générale. Une solution particulière est celle qui résout une équation non homogène.
Command) [Commande d’équation linéaire différentielle] qui permet de trouver la solution générale à une ODE linéaire de n’importe quel ordre à coefficients constants, qu’elle soit homogène ou non. Cette fonction nécessite deux données de base : • ` LDEC. En voici la solution :
Sur la calculatrice, utiliser : 'd1y(x)+x^2*y(x)=5' ` 'y(x)' ` DESOLVE La solution est {‘y = (INT(5*EXP(xt^3/3),xt,x)+cC0)*1/EXP(x^3/3))’ }, c'est-àdire :
Sur la calculatrice, utiliser : [‘d1d1y(t)+5*y(t) = 2*COS(t/2)’ ‘y(0) = 6/5’ ‘d1y(0) = -1/2’] ` ‘y(t)’ ` DESOLVE Remarquez que les conditions initiales ont été ramenées à leurs formes exactes : ‘y(0) = 6/5’, plutôt que ‘y(0)=1.2’, et ‘d1y(0) = -1/2’, plutôt que ‘d1y(0) = -0.5’. Opter pour les formes exactes facilite la résolution. Note: Pour obtenir les expressions fractionnaires de valeurs décimales, utiliser la fonction Q (voir Chapitre 5). La solution
La transformation de Laplace d’une fonction f(t) produit une fonction F(s) dans le domaine image qui peut être utilisée pour résoudre, grâce à des méthodes algébriques, une équation différentielle linéaire impliquant f(t) . Les étapes à suivre dans cette application sont au nombre de trois : 1. 2. 3. Une transformation de Laplace inversée est utilisée pour convertir la fonction image trouvée à la deuxième étape en solution de l’équation différentielle f(t).
La Transformation de Laplace de la fonction f(t) est la définition F(s) définie comme
Exemple 1 – Pour obtenir la définition de la transformation de Laplace, utilisez les touches suivantes : ‘f(X)’ ` LA P en mode RPN ou LAP(f(X))en mode ALG. La calculatrice renvoie le résultat suivant : (à gauche en RPN et à droite en ALG) :
F(s) = L{f(t)} et que a >0, alors a L{ f (t + a )} = e as ⋅ F ( s ) − ∫ f (t ) ⋅ e − st ⋅ dt .
La définition formelle de la fonction delta de Dirac, δ(x), est δ(x) = 0, pour x ≠0, et
La fonction d’étape de Heaviside, H(x), est définie par
H ( x) = L{Uo⋅H(t)} = Uo/s, où Uo est une constante. De même, L -1{1/s}=H(t), et L -1{ Uo /s}= Uo⋅H(t).
Dans la calculatrice, la fonction d’étape de Heaviside H(t) est simplement nommée ‘1’. Pour vérifier la transformée avec la calculatrice, utilisez : 1 ` LAP. Le résultat est ‘1/X’, à savoir L{1} = 1/s. De façon similaire, ‘U0’ ` LAP, produit le résultat ‘U0/X’, à savoir L{U0} = U0/s. Vous pouvez obtenir la fonction delta de Dirac sur la calculatrice en utilisant : 1` ILAP. Le résultat est ‘Delta(X)’. Ce résultat est simplement symbolique, cela signifie que vous ne pouvez pas trouver de valeur numérique, pour, par ex., ‘Delta(5)’. Ce résultat peut être défini comme la transformée de Laplace de la fonction delta de Dirac parce que de L -1{1.0}= δ(t), il s'ensuit que L{δ(t)} = 1.0 De même, en utilisant le théorème du retard pour un déplacement vers la droite, L{f(t-a)}=e–as⋅L{f(t)} = e–as⋅F(s), nous pouvons écrire que L{δ(t-k)}=e–ks⋅L{δ(t)} = e–ks⋅1.0 = e–ks.
Au début de cette section sur les transformations de Laplace, nous avons indiqué que vous pouviez utiliser ces transformations pour convertir une ODE linéaire dans le domaine temporel en équation algébrique dans le domaine image. L’équation résultante est ensuite résolue pour une fonction F(s) par des méthodes algébriques et la solution à l’ODE est trouvée en utilisant la transformée de Laplace inverse de F(s). Les théorèmes sur les dérivées d’une fonction, à savoir :
‘a*EXP(-X)’ ` ‘X+k’ ` LDEC µ
Note: Quand on utilise la fonction LDEC pour résoudre une ODE linéaire d’ordre n en f(X), le résultat est donné en termes de n constantes cC0, cC1, cC2, …, cC(n-1) représentant les conditions initiales f(0), f’(0), f”(0), …, f(n-1) (0).
En utilisant la transformation de Laplace, nous pouvons écrire : L{d2y/dt2+2y} = L{sin 3t}, L{d2y/dt2} + 2⋅L{y(t)} = L{sin 3t}.
OBJ ƒ ƒ ILAP µ Le résultat est
Vérifiez quelle serait la solution à l’ODE si vous utilisiez la fonction LDEC : ‘SIN(3*X)’ ` ‘X^2+2’ ` LDEC µ Le résultat est:
En utilisant la transformation de Laplace, nous pouvons écrire : L{d2y/dt2+y} = L{δ(t-3)}, L{d2y/dt2} + L{y(t)} = L{δ(t-3)}. Avec ‘Delta(X-3)’ ` LAP , la calculatrice indique EXP(-3*X), c’est-à-dire : L{δ(t-3)} = e–3s. Avec Y(s) = L{y(t)} et L{d2y/dt2} = s2⋅Y(s) - s⋅yo – y1, où yo = h(0) et y1 = h’(0), l’équation transformée est s2⋅Y(s) – s⋅yo – y1 + Y(s) = e–3s. Utilisez la calculatrice pour résoudre Y(s), en écrivant: ‘X^2*Y-X*y0-y1+Y=EXP(-3*X)’ ` ‘Y’ ISOL Le résultat est ‘Y=(X*y0+(y1+EXP(-(3*X))))/(X^2+1)’. Pour trouver la solution de l’ODE, y(t), nous devons utiliser la transformation de Laplace inverse, comme suit : OBJ ƒ ƒ ILAP µ ‘(X*y0+(y1+EXP(-(3*X))))/(X^2+1)’. Voyons si nous pouvons l’aider en séparant l’expression en fractions partielles, comme suit : ‘y0*X/(X^2+1) + y1/(X^2+1) + EXP(-3*X)/(X^2+1)’, et utilisant le théorème de la transformation de Laplace inverse L -1{a⋅F(s)+b⋅G(s)} = a⋅L -1{F(s)} + b⋅L -1{G(s)}, Pour écrire : L -1{yo⋅s/(s2+1)+y1/(s2+1)} + e–3s/(s2+1))} = yo⋅L -1{s/(s2+1)}+ y1⋅L -1{1/(s2+1)}+ L -1{e–3s/(s2+1))}, Ensuite, nous utilisons la calculatrice pour obtenir le résultat suivant: ‘X/(X^2+1)’ ` ILAP
‘SIN(X-3)*Heaviside(X-3) + cC1*SIN(X) + cC0*COS(X)+’. Remarquez que la variable X dans cette expression représente en fait la variable t de l’ODE initiale. Par conséquent, la traduction sur papier de la solution peut s’écrire :
Si nous comparons ce résultat avec le résultat précédent pour y(t), nous pouvons conclure que : cCo = yo, cC1 = y1.
L’exemple précédent a fourni quelques expériences pratiques de l’utilisation de la fonction delta de Dirac comme donnée d’entrée dans le système (à savoir dans la partie droite de l’ODE décrivant le système). Dans cet exemple, nous voulons maintenant utiliser la fonction d’étape de Heaviside, H(t). Dans la calculatrice, nous pouvons définir cette fonction comme suit : ‘H(X) = IFTE(X>0, 1, 0)’ `„à Cette définition va créer la variable @@@H@@@ dans la touche menu de la calculatrice.
Modifiez EQ pour ‘H(X-2)’. Vérifiez que Indep est aussi sur ‘X’. Appuyez sur L @@@OK@@@ pour revenir à l’affichage normal de la calculatrice. Appuyez sur les deux touches „ò, - simultanément en mode RPN pour accéder à la fenêtre PLOT. Changez l’échelle de H-VIEW de 0 sur 20 et l’échelle de V-VIEW de -2 sur 2. Appuyez sur @ERASE @DRAW pour tracer la fonction.
à savoir : L{H(t)} = 1/s, L -1{1/s}=H(t), L{H(t-k)}=e–ks⋅L{H(t)} = e–ks⋅(1/s) = ⋅(1/s)⋅e–ks et L -1{e–as ⋅F(s)}=f(t-a)⋅H(t-a). Exemple 2 – La fonction H(t-to), lorsqu’elle est multipliée par une fonction f(t), à savoir H(t-to)f(t), enclenche la fonction f(t) à t = to. Par exemple, la solution obtenue à l’exemple 3 ci-dessus était y(t) = yo cos t + y1 sin t + sin(t-3)⋅H(t-3). Supposons que nous utilisions les conditions initiales yo = 0.5 et y1 = -0.25. Procédons au tracé de la fonction pour voir à quoi elle ressemble : • Changez EQ en ‘0.5*COS(X)-0.25*SIN(X)+SIN(X-3)*H(X-3)’. Assurez-vous que Indep est paramétré pour ‘X’. Appuyez sur @ERASE @DRAW pour tracer la fonction.
« l’enclenchement » de la solution particulière yp(t) = sin(t-3)⋅H(t-3). Le comportement du signal avant t = 3 représente la contribution de la solution homogène à savoir : yh(t) = yo cos t + y1 sin t. La solution d’une équation avec un signal directeur donnée par une fonction d’étape de Heaviside est présentée ci-dessous. Exemple 3 – Déterminer la solution de l’équation, d2y/dt2+y = H(t-3), où H(t) est la fonction d’étape de Heaviside. En utilisant les transformations de Laplace, nous pouvons écrire : L{d2y/dt2+y} = L{H(t-3)}, L{d2y/dt2} + L{y(t)} = L{H(t-3)}. Le dernier terme de cette expression est : L{Η(t-3)} = (1/s)⋅e–3s. Avec Y(s) = L{y(t)} et L{d2y/dt2} = s2⋅Y(s) - s⋅yo – y1, où yo = h(0) et y1 = h’(0), l'équation transformée est s2⋅Y(s) – s⋅yo – y1 + Y(s) = (1/s)⋅e–3s. Paramétrez le mode CAS sur Exact, si besoin est. Utilisez la calculatrice pour résoudre Y(s), en écrivant : ‘X^2*Y-X*y0-y1+Y=(1/X)*EXP(-3*X)’ ` ‘Y’ ISOL Le résultat est ‘Y=(X^2*y0+X*y1+EXP(-3*X))/(X^3+X)’. Pour trouver la solution de l’ODE y(t), nous devons utiliser la transformation de Laplace inverse, comme suit : OBJ ƒ ƒ
Veuillez remarquer que la variable X dans cette expression représente, en fait, la variable t de l’ODE initiale et que la variable ttt dans cette même expression est une variable aléatoire. Par conséquent, pour écrire ce résultat sur papier, vous devriez écrire : ∞
∞ 2nπ 2nπ Une comparaison graphique de la fonction initiale avec le développement de Fourier utilisant ces trois termes montre que l’adéquation est acceptable pour t < 1 ou alentour. Mais, là encore, nous avons stipulé que T/2 = 1. Par conséquent, l’adéquation n’est valable que pour –1 < t < 1.
Séries de Fourier pour une équation fonction
était calculée dans l’intervalle[-T/2,T/2], nous devons déplacer la fonction sur l’axe t, en soustrayant T/2 de t, c’est-à-dire que nous allons utiliser g(t) = f(t-1) = (t-1)2+(t-1).) En utilisant la calculatrice en mode ALG, commencez par définir les f(t) et g(t):
En utilisant la calculatrice, vous pouvez simplifier l’expression dans l’Editeur d’équations (‚O) en remplaçant e2inπ = 1. L’illustration présente l’expression après simplification :
F(t,2,1/3) pour obtenir :
La fonction F ainsi définie convient pour obtenir les valeurs des séries de Fourier finies. Par exemple, une valeur unique des séries, à savoir F(0.5,2,1/3), peut être obtenue en utilisant (les modes CAS paramétrés sur Exact, Pas à pas, et Complex):
-0.25. Les calculs suivants montrent combien les séries de Fourier parviennent à donner une bonne approximation de cette valeur quand le nombre des composantes des séries, donné par k, augmente : F F F F F F
Changez les limites de la fenêtre de tracé („ò) comme suit :
Séries de Fourier pour une onde triangulaire Considérons la fonction
2 − x, if 1 < x < 2 que nous supposons être périodique avec une période T = 2. Cette fonction peut être définie sur la calculatrice, en mode ALG, par l’expression DEFINE(‘g(X) = IFTE(X<1,X,2-X)’) Si vous attaquez cet exemple après avoir terminé l’exemple 1, vous avez déjà une valeur de 2 enregistrée dans la variable du CAS PERIOD. Si vous n’en êtes pas sûr, vérifiez la valeur de cette variable et enregistrez la valeur 2 si nécessaire. Le coefficient c0 pour les séries de Fourier est calculé comme suit :
être calculé en saisissant sa définition dans la calculatrice, comme suit :
i ⋅ 2 ⋅ n ⋅π ⋅ X Ce résultat est utilisé pour définir la fonction c(n) comme suit : DEFINE(‘c(n) = - (((-1)^n-1)/(n^2*π^2*(-1)^n)’) à savoir :
Fourier (si vous avez effectué l’exemple 1, cette fonction est déjà enregistrée) :
Une onde carrée peut être générée en utilisant la fonction
g ( x) = 1, if 1 < x < 3 Nous pouvons simplifier cette expression en utilisant einπ/2 = in et e3inπ/2 = (-i)n afin d’obtenir :
(autrement dit manuellement). Ensuite, retapez l’expression de c(n) comme indiqué sur l’illustration de gauche ci-dessus, afin de définir la fonction c(n). Les séries de Fourier sont calculées avec F(X,k,c0), comme dans les exemples 1 et 2 ci-dessus, avec c0 = 0.5. Par exemple, pour k = 5, c’est-à-dire avec 11 composantes, l’approximation est telle que présentée ci-dessous :
Nous pouvons générer une force d’excitation en obtenant une approximation avec k =10 à partir des séries de Fourier en utilisant SW(X) = F(X,10,0.5) :
0.25y = SW(X), où SW(X) représente la fonction d’onde carrée de X. Le deuxième élément desdonnées d’entrée sera la caractéristique de l’équation correspondant à l’ODE homogène présentée ci-dessus, à savoir : ‘X^2+0.25’. Avec ces deux séries de données d’entrée, la fonction LDEC produit le résultat suivant (format décimal changé sur Fix à 3 décimales) :
SUBST(ANS(1),cC0=0.5) `, suivi de SUBST(ANS(1),cC1=-0.5) `. De retour à l’affichage normal de la calculatrice, nous pouvons utiliser :
(en appliquant un copier/coller du dernier résultat dans la commande) :
Avant de présenter le concept de transformations de Fourier, nous allons discuter de la définition générale d’une transformation intégrale. En général, une transformation intégrale est une transformation qui lie une fonction f(t) à une nouvelle fonction F(s) par une intégration de forme b
L’utilisation d’une transformation intégrale nous permet de résoudre une fonction en un spectre de composantes donné. Pour comprendre le concept de spectre, considérons les séries de Fourier ∞
an pour n =1,2, … En utilisant la notation de fréquence angulaire, le développement des séries de Fourier s’écrit : ∞
ω0 = 2π/T, devient une très petite quantité, disons ∆ω. De même, les fréquences angulaires correspondantes ωn = n⋅ω0 = n⋅∆ω, (n = 1, 2, …, ∞), prennent maintenant des valeurs de plus en plus proches les unes des autres, suggérant la nécessité d’un spectre continu de valeurs. Par conséquent, la fonction non périodique peut s’écrire ∞
Exemple 1 – Déterminer les coefficients C(ω), S(ω) et le spectre continu A(ω) pour la fonction f(x) = exp(-x), pour x > 0 et f(x) = 0, x < 0. Dans la calculatrice, paramétrez et évaluez les intégrales suivantes pour calculer C(ω) et S(ω), respectivement. Les modes CAS sont réglés sur Exact et Real.
Différents types de transformations de Fourier peuvent être définis. Suivent les définitions des transformations sinus, cosinus, transformation de Fourier complète et leurs inverses :
La valeur absolue de la transformation de Fourier, |F(ω)|, est le spectre de fréquence de la fonction initiale f(t). Pour l’exemple ci-dessus, |F(ω)| = 1/[2π(1+ω2)]1/2. Le tracé de |F(ω)| vs. ω a été présenté précédemment. Certaines fonctions, comme les valeurs constantes, sin x, exp(x), x2, etc., n’acceptent pas de transformation de Fourier. Les fonctions qui atteignent zéro suffisamment vite lorsque x tend vers l’infini n’acceptent pas de transformation de Fourier.
Linéarité: si a et b sont des constantes et f et g des fonctions, alors F{a⋅f + b⋅g} = a F{f }+ b F{g}. Transformation de dérivées partielles. Supposons que u = u(x,t). Si la transformation de Fourier transforme la variable x, alors F{∂u/∂x} = iω F{u}, F{∂2u/∂x2} = -ω2 F{u}, F{∂u/∂t} = ∂F{u}/∂t, F{∂2u/∂t2} = ∂2F{u}/∂t2 La transformation de Fourier discrète transforme une séquence de valeurs de données {xj}, j = 0, 1, 2, … , n-1, en une nouvelle séquence {Xk}, définie comme
Tout d’abord, nous définissons la fonction f(x) comme un programme RPN << x ‘2*SIN(3*x) + 5*COS(5*x)’ EVAL RAND 5 * + NUM >> et nous enregistrons ce programme dans la variable @@@@f@@@. Ensuite, nous saisissons le programme suivant pour générer les valeurs de données 2m entre a et b. Le programme prendra les valeurs de m, a et b : << m a b << ‘2^m’ EVAL n << ‘(b-a)/(n+1)’ EVAL Dx << 1 n FOR j ‘a+(j-1)*Dx’ EVAL f NEXT n ARRY >> >> >> >> Enregistrons ce programme sous le nom GDATA (Generate DATA). Ensuite, lançons ce programme pour les valeurs m = 5, a = 0, b = 100. En mode RPN, nous devons utiliser : (aussi disponible dans ‚N). Choisissez Bar dans le menu TYPE des graphiques, changez la vue de la fenêtre sur H-VIEW: 0 32, V-VIEW: -10 10 et paramétrez la taille des barres sur 1. Appuyez sur @CANCL $ pour revenir à l’affichage normal de la calculatrice.
OBJ µ ƒ LIST „Ê Finalement, vous pouvez ré-obtenir la matrice en convertissant à nouveau la liste, pour l’enregistrer dans ΣDAT, comme suit : OBJ 1 ` 2 LIST ARRY STOΣ Pour tracer le graphique, suivre les instructions précédentes de l'histogramme. L’échelle verticale doit être modifiée de –1 à 80. Son spectre des fréquences est le suivant :
Exemple 2 – Afin de produire le signal donné par le spectre, nous modifions le programme GDATA pour inclure une valeur absolue, de telle sorte que le programme s’écrive comme suit : << m a b << ‘2^m’ EVAL n << ‘(b-a)/(n+1)’ EVAL Dx << 1 n FOR j ‘a+(j-1)*Dx’ EVAL f ABS NEXT n ARRY >> >> >> >> Enregistrez cette version du programme sous GSPEC (Generate SPECtrum). Lancez le programme avec m = 6, a = 0, b = 100. En mode RPN, utilisez : Dans le cas présent, l’échelle horizontale est de 0 à 64, alors que l’échelle verticale est de –1 à 10 :
Sauf pour une crête élevée à t = 0, la source du signal est surtout consituée d’interférences. Une échelle plus petite (-0.5 à 0.5) indique le signal comme suit :
Dans cette section, nous présentons et résolvons des équations différentielles ordinaires de types spécifiques dont les solutions sont définies sous la forme de quelques fonctions classiques, à savoir les fonctions de Bessel, les polynômes Hermite etc. Quelques exemples sont fournis pour le mode RPN.
Toute solution à cette équation est connue sous le nom de fonction de Legendre. Quand n est un entier non négatif, les solutions sont appelées polynômes de Legendre. Un polynôme de Legendre d’ordre n est donné par
Si vous voulez obtenir une expression pour J0(x) avec, disons, 5 termes de la série, utilisez J(x,0,5). Le résultat est ‘1-0.25*x^3+0.015625*x^4-4.3403777E-4*x^6+6.782168E-6*x^86.78168*x^10’. Pour les valeurs non entières ν, la solution de l’équation de Bessel est donnée par y(x) = K1⋅Jν(x)+K2⋅J-ν(x). Pour les valeurs entières, les fonctions Jn(x) et J-n(x) sont linéairement dépendantes, puisque Jn(x) = (-1)n⋅J-n(x),
Hn(1)(x) = Jν(x)+i⋅Yν(x), et Hn(2)(x) = Jν(x)−i⋅Yν(x), Ces fonctions sont aussi connues comme les première et seconde fonctions Hankel d’ordre ν. Dans certaines applications, il se peut que vous ayez à utiliser les fonctions modifiées de Bessel dites du premier type d’ordre ν définies par Iν(x)= i-ν⋅Jν(i⋅x), où i est l’unité d’un nombre imaginaire. Ces fonctions sont les solutions à l’équation différentielle x2⋅(d2y/dx2) + x⋅ (dy/dx)- (x2+ν2) ⋅y = 0. Les fonctions de Bessel modifiées de second type Kν(x) = (π/2)⋅[I-ν (x)−Iν (x)]/sin νπ, sont également des solutions de cette ODE. Vous pouvez mettre en œuvre des fonctions représentant des fonctions de Bessel dans la calculatrice d’une manière similaire à celle utilisée pour définir les fonctions de Bessel de premier type, mais en n’oubliant pas que la série infinie dans la calculatrice doit être traduite en série finie.
Les fonctions Tn(x) = cos(n⋅cos-1 x), et Un(x) = sin[(n+1) cos-1 x]/(1-x2)1/2, n = 0, 1, … sont respectivement appelées Polynômes de Tchebychev ou Tchebycheff de premier et deuxième ordre. Les polynômesTn(x) sont des solutions de l’équation différentielle (1-x2)⋅(d2y/dx2) − x⋅ (dy/dx) + n2⋅y = 0. Dans la calculatrice, la fonction TCHEBYCHEFF génère le polynôme Tchebychevou Tchebycheff de premier type d’ordre n, étant donné une valeur
-0 TCHEBYCHEFF, résultat : 1, à savoir 1 TCHEBYCHEFF, résultat : ‘X’, à savoir -1 TCHEBYCHEFF, résultat : 1, à savoir 2 TCHEBYCHEFF, résultat : ‘2*X^2-1, à savoir -2 TCHEBYCHEFF, résultat : ‘2*X’, à savoir 3 TCHEBYCHEFF, résultat : ‘4*X^3-3*X’, à savoir -3 TCHEBYCHEFF, résultat : ‘4*X^2-1’, à savoir
U0(x) = 1.0. T1(x) = x. Pour générer les quatre premiers polynômes de Laguerre, utilisez L(x,0), L(x,1), L(x,2), L(x,3). Les résultats sont : : L0(x) = . L 1(x) = 1-x. Les équations différentielles qui ne peuvent pas être résolues de manière analytique peuvent l’être de manière numérique ou graphique, comme illustré ci-dessous.
En utilisant la résolution numérique (‚Ï), vous pouvez accéder à un formulaire de saisie qui vous permettra de résoudre des équations différentielles linéaires de premier ordre. L’utilisation de cette fonction est présentée dans l’exemple suivant. La méthode utilisée dans la solution est un algorithme Runge-Kutta d’ordre 4. Exemple 1 -- Supposons que nous voulions résoudre l’équation différentielle : dv/dt = -1.5 v1/2 avec v = 4 at t = 0. On nous demande de trouver v pour t = 2. Tout d’abord, créez l’expression définissant la dérivée et enregistrez-la dans la variable EQ. L’illustration de gauche montre la commande en mode ALG, tandis que l’illustration de droite montre la pile RPN avant d’appuyer sur K.
Supposons que nous voulions produire une table de valeurs de v pour t = 0.00, 0.25, …, 2.00. Nous allons procéder comme suit : Tout d’abord, préparez une table pour noter les résultats. Notez les résultats pas à pas dans votre table : t 0.00 0.25 … (Remplacez la valeur initiale de t par 0.5 et la valeur finale de t par 0.75. Résolvez à nouveau pour v(0.75) = 2.066...) @@OK@@ @INIT+—1 @@OK@@ ™ ™ @SOLVE (attendre) @EDIT (Remplacez la valeur initiale de t par 0.75 et la valeur finale de t par 1. Résolvez à nouveau pour v(1) = 1.562...)
Le résultat final se présente comme suit (arrondir la troisième décimale) : t 0.00 0.25 0.50 Saisissez dans le champ F la fonction ‘EXP(- t^2)’ Assurez-vous que les paramètres suivants sont définis pour : H-VAR: 0, V-VAR: 1 Changez la variable indépendante à t . Acceptez les changements sur PLOT SETUP : L @@OK@@ „ò (simultanément si vous êtes en mode RPN). Pour entrer dans l’environnement PLOT WINDOW Remplacez dans les fenêtres d’affichage horizontale et verticale les paramètres suivants : H-VIEW: -1 5; V-VIEW: -1 1.5 De plus, utilisez les valeurs suivantes pour ces paramètres : Init : 0, Final : 5, Step : Default, Tol : 0.0001, Init-Soln : 0
@EDIT L @LABEL @MENU pour voir les étiquettes et échelles des axes.
Utilisez les touches š™pour déplacer le curseur dans la zone graphique. En bas de l'écran, vous verrez les coordonnées du curseur indiquées par (X,Y), cela signifie que la calculatrice utilise X et Y respectivement comme nom par défaut pour les axes horizontal et vertical. Appuyez sur L@CANCL pour restaurer le menu et revenir à l’environnement PLOT WINDOW. Enfin, appuyez sur $ pour revenir à la pile.
L’intégration d’ODE de deuxième ordre peut être effectuée en définissant la solution comme un vecteur. A titre d’exemple, supposons qu’un système de «masse-ressort» est sujet à une force d’amorti proportionnelle à sa vitesse. L’équation différentielle résultante est :
= −18.75 ⋅ x − 1.962 ⋅ Ensuite, activez la résolution d’équation différentielle numérique en utilisant : ‚ Ï ˜ @@@OK@@@ . Pour résoudre l’équation différentielle avec un temps de départ t = 0 et un temps de fin t = 2, le formulaire de saisie de la résolution d’équation différentielle doit se présenter comme suit (notez que la valeur Init: value pour Soln: est un vecteur [0, 6]) :
Le résultat final est comme suit: t 0.00 0.25 0.50 Notez que l’option V-Var: est paramétrée sur 1, indiquant que le premier élément dans la solution du vecteur, à savoir x’, devra être tracé par rapport à la variable indépendante t. Acceptez les changements dans la configuration PLOT SETUP en appuyant sur L @@OK@@. Appuyez sur „ò (simultanément si vous êtes en mode RPN) pour entrer dans l’environnement PLOT WINDOW. Modifiez le formulaire de saisie afin qu’il se présente comme suit :
PLOT SETUP une fois de plus. Pour accéder à ce formulaire à partir du graphe ci-dessus, utilisez : @CANCL L @@OK@@ „ô (simultanément si vous êtes en mode RPN). Remplacez la valeur du champ V-Var : par 2 et appuyez sur @DRAW (n’appuyez pas sur @ERASE sous peine de perdre le graphique produit cidessus). Utilisez : @EDIT L @LABEL @MENU pour voir les intitulés et échelles des axes. Notez que l’intitulé des abscisses est le nombre 0 (indiquant la variable indépendante) tandis que l’intitulé des ordonnées est le nombre 2 (indiquant la seconde variable, à savoir la dernière variable tracée). Le graphe combiné se présente comme suit :
‘(100*t+101)*EXP(100*t)’ ` ‘t’ ` RISCH Le résultat est
Si nous essayons de trouver une solution numérique directe à l’équation initiale dy/dt = -100y+100t+101 en utilisant la résolution numérique d’équation de la calculatrice, nous constatons que cette résolution semble mettre un temps inhabituellement long à résoudre l’équation. Pour vérifier ce qui se passe, paramétrez votre résolution numérique d’équation (‚ Ϙ @@@OK@@@) sur les valeurs suivantes :
La résolution numérique d’ODE de la calculatrice permet de résoudre des ODE raides en sélectionnant l’option _Stiff sur l’écran SOLVE Y’(T) = F(T,Y). Cette option étant sélectionnée, vous devez fournir les valeurs de ∂f/∂y et ∂f/∂t. Pour le cas qui nous intéresse, ∂f/∂y =-100 et ∂f/∂t = 100. Saisissez ces valeurs dans les champs correspondants de l’écran SOLVE Y’(T) = F(T,Y) :
à savoir 3.0. Note: L’option Stiff est aussi disponible pour les solutions graphiques des équations différentielles.
3: {‘x’, ‘y’, ‘f(x,y)’} 2: La valeur enregistrée dans la variable y est 3.00000000004.
∆x, et renvoie la même liste de données d’entrée, suivie par la tolérance, et une estimation de la cadence suivante de la variable indépendante. La fonction renvoie la liste des données d’entrée, la tolérance, et l'incrément suivant de la variable qui satisfait cette tolérance. Par conséquent, la pile des données d’entrée se présente comme suit : 3: {‘x’, ‘y’, ‘f(x,y)’} 2: ε Fonction RRKSTEP Cette fonction utilise une liste de saisie similaire à celle de la fonction RRK, de plus qu’une tolérance de la solution, une étape optionnelle ∆x, et un nombre (LAST) qui indique la dernière méthode utilisée (1, si RKF a été utilisé, ou 2, si RRK a été utilisé). La fonction RRKSTEP indique la même liste de saisie, suivie de la tolérance, d’une approximation de l’étape suivante de la variable indépendante et de la méthode présente (CURRENT) utilisée pour arriver à l’étape suivante. Par conséquent, la pile de saisie est comme suit : 4: {‘x’, ‘y’, ‘f(x,y)’} 3: ε Ces résultats indiquent que ∆y = 0.827… et que l’erreur = -1.89…×10-6.
Note: lorsque vous exécutez les commandes dans le menu DIFF, les valeurs de x et y sont produites et stockées dans votre calculatrice en tant que variables. Les résultats fournis par les fonctions dans ce chapitre dépendent des valeurs courantes de x et y. Ainsi, certains des résultats illustrés ci-dessous peuvent être différents de que vous obtenez sur votre calculatrice.
(Option 7), pour afficher les fonctions suivantes (voir l’illustration de droite cidessous) :
Chapitre 3). Le symbole factorielle (!) peut aussi être saisi avec la combinaison de touches ~‚2.
La calculatrice propose un générateur de nombres aléatoires qui renvoie un nombre réel aléatoire uniformément distribué compris entre 0 et 1. Le générateur est capable de produire des séquences de nombres aléatoires. Cependant, après un certain nombre de fois (à vrai dire un très grand nombre de fois) la séquence tend à se répéter. Pour cette raison, le générateur de nombres aléatoires est appelé de façon plus appropriée générateur de nombres pseudo-aléatoires. Pour générer un nombre aléatoire avec votre calculatrice, utilisez la fonction RAND du sous-menu MTH/PROBABILITY. L’écran suivant montre plusieurs nombres aléatoires produits en utilisant la fonction RAND. Les nombres de l’illustration de gauche sont produits en actionnant la fonction RAND sans argument. Si vous placez une liste
Distributions de probabilités continues La distribution de probabilités pour une variable aléatoire continue, X, est caractérisée par la fonction f(x) connue comme la fonction de densité de probabilité (pdf). La fonction pdf a les propriétés suivantes : f(x) > 0, pour tout x, et
La fonction de distribution de probabilité de la distribution gamma (pdf) est donnée par
La distribution exponentielle est une distribution gamma avec a = 1. Sa pdf est donnée par
La pdf de la distribution de Weitbull est donnée par
Contrairement aux fonctions discrètes définies précédemment, les fonctions continues définies dans cette section ne comprennent pas leurs paramètres (α et/ou β) dans leurs définitions. Par conséquent, vous n’avez pas besoin de les saisir à l’écran pour calculer ces fonctions. Cependant, ces paramètres doivent être définis au préalable en enregistrant les valeurs correspondantes dans les variables α et β. Une fois que toutes les fonctions et les valeurs de α et β ont été enregistrées, vous pouvez ranger les étiquettes de menu en utilisant la fonction ORDER. L’intitulé correspondant aux fonctions sera le suivant : ORDER({‘α’,’β’,’gpdf’,’gcdf’,’βpdf’,’βcdf’,’epdf’,’ecdf’,’Wpdf’,’Wcdf’}) Suite à cette commande, les étiquettes de menu s’afficheront comme suit (appuyez sur L pour vous déplacer à la seconde liste. Appuyez sur L une fois de plus pour aller à la première liste) :
La calculatrice a une fonction UTPN qui calcule la distribution normale de partie supérieure, à savoir UTPN(x) = P(X>x) = 1 - P(X<x). Pour obtenir la valeur de la partie supérieure d’une distribution normale UTPN nous devons saisir les valeurs suivantes : la moyenne, µ; la variance, σ2; et la valeur x, par exemple, UTPN((µ,σ2,x) Par exemple, vérifier que pour une distribution normale, avec µ = 1.0, σ2 = 0.5, UTPN(0.75) = 0.638163. Utilisez UTPN(1.0,0.5,0.75) = 0.638163. Des calculs de probabilités différents pour les distributions normales [X est N(µ,σ2)] peuvent être définis en utilisant la fonction UTPN comme suit : • •
Cette valeur est relativement facile à trouver dans le cas des distributions
Autrement, vous pouvez utiliser la fonction @TRACE @(X,Y)@ pour estimer les racines en traçant la courbe proche de son intersection avec l’axe des x. Deux valeurs estimées sont illustrées ci-dessous :
Ainsi, à ce stade, vous aurez quatre équations disponibles à résoudre. Vous n’avez besoin que de charger une équation dans le champ EQ du calculateur numérique et de continuer par la résolution d’une des variables. Des exemples des UTPT, UTPC et UPTF sont présentés ci-dessous :
Avec ces quatre équations, à chaque fois que vous lancerez le calculateur numérique, vous aurez les choix suivants :
Saisie de données Pour l’analyse d’un seul ensemble de données (un échantillon) nous pouvons utiliser les applications numéro 1, 2 et 4 de la liste ci-dessus. Toutes ces applications nécessitent que les données soient disponibles sous forme de colonnes de la matrice ΣDAT. Ceci peut être réalisé en saisissant les données en colonnes avec l’Editeur de matrice, „². Cette opération peut devenir fastidieuse pour de grands nombres de points de données. A la place, il se peut que vous préfériez saisir les données sous forme de liste (voir Chapitre 8) et convertir la liste en un vecteur de colonne en utilisant le programme GRMC (voir Chapitre 10). Autrement, vous pouvez saisir le programme suivant pour convertir une liste en vecteur de colonne. Saisissez le programme en mode RPN :
1.5 1.6 2.2 1.2 2.5. En mode RPG, saisissez les données dans une liste : {2.1 1.2 3.1 4.5 2.3 1.1 2.3 1.5 1.6 2.2 1.2 2.5 } `@LXC Utilisez la fonction STOΣ pour enregistrer les données dans ΣDAT.
On suppose que l’ensemble unique de données a été enregistré sous forme de vecteur de colonne dans la variable ΣDAT. Pour accéder aux différents programmes STAT, appuyez sur ‚Ù. Appuyez sur @@@OK@@ pour sélectionner 1. Single-var.. Un formulaire de saisie s’affiche, intitulé SINGLEVARIABLE STATISTICS, avec vos données présentes en ce moment dans la variable ΣDAT, répertoriées sous forme de vecteur. Puisque vous n’avez qu’une colonne, le champ Col: doit avoir la valeur 1 en face de lui. Le champ Type détermine si vous travaillez avec un échantillon ou une population, le paramètre par défaut étant Sample (« échantillon »). Déplacez le curseur sur la ligne horizontale précédant les champs Mean, Std Dev, Variance, Total, Maximum, Minimum et appuyez sur la touche menu @CHK@ pour sélectionner les mesures que vous voulez comme résultat de ce programme. Quand vous avez terminé, appuyez sur @@@OK@@. Les valeurs sélectionnées seront répertoriées et étiquetées de façon appropriée sur l’écran de votre calculatrice.
Si la quantité x représente la mesure d’une quantité continue et, puisque, en théorie, une telle quantité peut prendre un nombre infini de valeurs, la population de x dans ce cas est infinie. Si vous sélectionnez un sous-ensemble d’une population, représenté par les valeurs de données {x1, x2, …, xn}, on dit que vous avez sélectionné un échantillon de valeurs de x. Les échantillons sont caractérisés par un nombre de mesures ou statistiques. Il existe des mesures de tendance centrale, telle que la moyenne, la médiane et le mode, et des mesures de répartitions, telles que l’intervalle, la variance et la déviation standard. Mesures de tendance centrale La moyenne (ou moyenne arithmétique) de l’échantillon, x, est définie comme la valeur moyenne d’un échantillon d’éléments
Bien que les fonctions statistiques préprogrammées de la calculatrice n’incluent pas le calcul de la médiane, il est très facile d’écrire un programme pour calculer une telle quantité en travaillant avec des listes. Par exemple, si vous voulez utiliser les données de ΣDAT pour trouver la médiane, saisissez le programme suivant en mode RPN (se référer au Chapitre 21 pour plus d’informations sur la programmation en langage d’utilisateur RPL) : « nC «RCLΣ DUP SIZE 2 GET IF 1 > THEN nC COL− SWAP DROP OBJ 1 + ARRY END OBJ OBJ DROP DROP DUP n « LIST SORT IF ‘n mod 2 == 0’ THEN DUP ‘n/2’ EVAL GET SWAP ‘(n+1)/2’ EVAL GET + 2 / ELSE ‘(n+1)/2’ EVAL GET END “Median” TAG » » » Enregistrez ce programme sous le nom MED. Un exemple d’application de ce programme est affiché ci-dessous. Exemple 2 – Pour lancer le programme, vous avez premièrement besoin de préparer la matrice ΣDAT. Ensuite, saisissez le nombre de colonnes dans ΣDAT dont vous voulez trouver la médiane, puis appuyez sur @@MED@@. Pour les données déjà dans ΣDAT (saisies dans un exemple précédent), utilisez le programme MED pour montrer que Median: 2.15. Le mode d’un échantillon est mieux défini à partir d’histogrammes, aussi nous remettons sa définition à une section ultérieure.
Echantillon contre population Les fonctions préprogrammées pour les statistiques à une variable utilisées cidessus peuvent être appliquées à une population finie en sélectionnant le Type: Population dans l’écran SINGLE-VARIABLE STATISTICS. La différence principale consiste en ceci que les valeurs de variance et de déviation standard sont calculées en utilisant n dans le dénominateur de la variance, plutôt que (n-1). Example 3 -- Si vous répétiez l’exercice de l’Exemple 1 de cette section en utilisant Population à la place de Sample comme Type, vous obtiendriez les mêmes valeurs pour la moyenne, le total, le maximum et le minimum. La variance et la déviation standard, en revanche, seraient données par: Variance: 0.852, Std Dev: 0.923.
L’application 2. Fréquences.. du menu STAT peut être utilisée pour obtenir des distributions de fréquence pour un ensemble de données. Les données doivent
ΣDAT. Pour commencer, appuyer sur ‚Ù˜ @@@OK@@@. Le formulaire de saisie qui s’affiche contient les champs suivants : ΣDAT Col X-Min Bin Count Afin de comprendre la signification de ces paramètres, nous présentons les définitions suivantes : étant donné un ensemble de n valeurs de données : {x1, x2, …, xn} répertoriées sans aucun ordre particulier, on demande souvent de grouper ces données en séries de classes en comptant la fréquence ou le nombre de valeurs correspondant à chaque classe (Note: la calculatrice nomme ces classes, classes bins.). Supposons que les classes, ou bins, sont sélectionnées en divisant l’intervalle (xbot, xtop) en k classes = Bin Count en sélectionnant un nombre de limites de classe, c’est-à-dire {xB1, xB2, … , xBk+1}, de telle sorte que la classe numéro 1 soit limitée par xB1-xB2, la classe numéro 2 par xB2- xB3, et ainsi de suite. La dernière classe, la classe numéro k, est limitée par xBk - xB k +1. La valeur de x correspondant au milieu de chaque classe est connue comme la marque de classe et est définie comme xMi = (xBi + xB i+1)/2, pour i = 1, 2, …, k. Si les classes sont choisies de telle sorte que la taille des classes soit la même, alors nous pouvons définir la taille de classe comme la valeur Bin Width = ∆x = (xmax - xmin) / k, et les limites de classe peuvent être calculées avec xBi = xbot + (i - 1) * ∆x. N’importe quel point des données, xj, j = 1, 2, …, n, appartient à la i-th classe si xBi ≤ xj < xB i+1
Enregistrez le vecteur de colonne dans ΣDAT, en utilisant la fonction STOΣ. Vous pouvez obtenir les informations relatives à la variable unique en utilisant : ‚Ù @@@OK@@@. Utilisez Sample (échantillon) comme Type de l’ensemble de données et sélectionnez toutes les options comme résultats. Les résultats sont les suivants : Mean: 51.0406, Std Dev: 29.5893…, Variance: 875.529… Total: 10208.12, Maximum: 99.35, Minimum: 0.13
En utilisant le mode RPN, les résultats sont indiqués dans la pile sous forme de vecteur de colonne du niveau de pile 2 et d’un vecteur de ligne de deux composantes au niveau de pile 1. Le vecteur au niveau de pile 1 est le nombre de valeurs éloignées en dehors de l’intervalle pour lequel le calcul de fréquence a été effectué. Dans ce cas, nous obtenons les valeurs [25. 22.] qui indiquent qu’il existe, dans notre vecteur ΣDAT, 25 valeurs inférieures à 10 et 22 supérieures à 90. •
être traduit sous forme de table, comme nous le présentons ci-dessous.
(à savoir les données originales avant que le décompte de fréquence soit effectué) dans la variable ΣDAT, vous pouvez sélectionner Histogram comme type de graphe et fournir les informations concernant la valeur initiale de x, le
Alternativement, vous pouvez générer le vecteur de colonne contenant le décompte de fréquence, comme effectué dans l’exemple ci-dessus, enregistrer ce vecteur dans ΣDAT et sélectionner Barplot comme type de graphe. Dans notre exemple suivant, nous vous montrons comment utiliser la première méthode pour générer un histogramme. Exemple 1 – En utilisant les 200 points de données générés pour l’exemple précédent (enregistré comme un vecteur de colonne dans ΣDAT), générez un tracé en histogramme des données en utilisant X-Min = 10, Bin Count = 16, et Bin Width = 5. •
Ensuite, appuyez sur L@@@OK@@@. Ensuite, appuyez sur „ò (simultanément, si vous êtes en mode RPN) pour entrer dans la fenêtre PLOT WINDOW – HISTOGRAM. Dans cette fenêtre, modifiez les informations pour H-View: 10 90, V-View : 0 15, Bar Width: 5. Appuyez sur @ERASE @DRAW@ pour générer l’histogramme suivant :
Adapter les données à une fonction y = f(x) Le programme 3. Fit data.., disponible en tant qu’option numéro 3 du menu STAT, peut être utilisé pour adapter des fonctions linéaires, logarithmiques, exponentielles et des fonctions de puissance à des ensembles de données (x,y), stockés en colonnes de la matrice ΣDAT. Pour cette application, vous aurez besoin de deux colonnes au moins dans votre variable ΣDAT. Exemple 1 – Adapter une relation linéaire aux données présentées dans le tableau ci-dessous : x y • •
Finalement, lancez l’application d’adaptation de données en utilisant : ‚Ù˜˜@@@OK@@@. La matrice actuelle ΣDAT s’affiche, déjà chargée. Modifiez vos paramètres d’affichage dans la configuration suivante :
1: '3.99504833324*EXP(-.579206831203*X)' 2: Corrélation: -0.996624999526 ‚Ù une fois de plus, avant de vous porter à la quatrième option en
Plusieurs de ces statistiques de résumé sont utilisées pour calculer des statistiques à deux variables (x,y) qui peuvent se rapporter à la fonction y = f(x). Par conséquent, ce programme peut être envisagé comme un programme compagnon du programme 3. Fit data.. Exemple 1 – pour les données x-y actuellement dans ΣDAT, tentons d’obtenir toutes les statistiques de résumé. • • • Appuyez sur @@@OK@@@ pour obtenir les résultats suivants : ΣX: 24.2, ΣY: 11.72, ΣX2: 148.54, ΣY2: 26.6246, ΣXY: 12.602, NΣ:8
Hypth. tests.. et 6. Conf. Interval.. Ces deux applications seront discutées plus tard dans ce chapitre.
Les percentiles sont des mesures qui divisent les données en ensembles de 100 parties. La procédure de base pour calculer le 100⋅p-ème percentile (0 < p < 1) dans un échantillon de taille n, est la suivante :
2. Déterminez le produit n⋅p A. Si n⋅p n’est pas un entier, l’arrondir à l’entier le plus proche et trouver la valeur ordonnée correspondante. B. Si n⋅p est un entier, disons k, calculez la moyenne des kème et (k-1) ème observations ordonnées. Note: La règle d’arrondi aux entiers, pour un non entier x.yz…, est la suivante : si y ≥ 5, arrondir à x+1; si y < 5, arrondir à x. Cet algorithme peut être mis en œuvre dans le programme suivant saisi en mode RPN (se référer au Chapitre 21 pour des informations sur la programmation) : « SORT DUP SIZE p X n « n p * k « IF k CEIL k FLOOR - NOT THEN X k GET X k 1 + GET + 2 / ELSE k 0 RND X SWAP GET END » » » que nous allons enregistrer dans la variable % TILE (percent-tile). Ce programme nécessite comme donnée d‘entrée une valeur p comprise entre 0 et 1, représentant le 100p percentile, et une liste de valeurs. Le programme renvoie le 100p percentile de la liste. Exemple 1 – Déterminez le 37% percentile de la liste { 2 1 0 1 3 5 1 2 3 6 7 9}. En mode RPN, saisissez 0.27 ` { 2 1 0 1 3 5 1 2 3 6 7 9} ` @%TILE. En mode ALG, saisissez %TILE(0.27,{2,1,0,1,3,5,1,2,3,6,7,9}. Le résultat est 1.
Le fonctionnement de ces fonctions est le suivant : Σ+ Σ-
: supprime la dernière ligne de la matrice ΣDATA et la place au niveau 1 de la pile. La nouvelle matrice ΣDATA reste en mémoire. CLΣ : efface la matrice courante ΣDATA. ΣDAT : place le contenu de la matrice ΣDATA courante au niveau 1 de la pile. „ΣDAT : enregistre la matrice au niveau 1 de la pile dans la matrice ΣDATA.
LINFIT) Les fonctions correspondant aux touches de menu fonctionnent comme suit : XCOL : saisi comme n @XCOL, change Xcol pour n. YCOL : saisi comme n @YCOL, change Ycol pour n. Le sous-menu MODL dans ΣPAR Ce sous-menu contient des fonctions qui vous permettent de changer le modèle d’adaptation de données à LINFIT, LOGFIT, EXPFIT, PWRFIT ou BESTFIT en appuyant sue le bouton approprié.
SDEV : montre la déviation standard de chaque colonne de la matrice ΣDATA. MAXΣ : montre la valeur maximum de chaque colonne de la matrice ΣDATA. MINΣ : montre le moyenne de chaque colonne de la matrice ΣDATA. BINS : utilisé comme xs, ∆x, n [BINS], fournit la fréquence de distribution pour la donnée dans la colonne Xcol de la matrice ΣDATA, avec les classes de fréquence définies comme [xs,xs+∆x], [xs,xs+2∆x],…, [xs,xs+n∆x]. VAR : montre la variance de chaque colonne dans la matrice ΣDATA. PSDEV : montre la déviation standard de la population (basée sur n plutôt que sur (n-1)) de chaque colonne de la matrice ΣDATA. PVAR : montre la variance de la population de chaque colonne de la matrice ΣDATA. MINΣ : montre la moyenne de chaque colonne de la matrice ΣDATA.
BARPL : produit un graphique en barres avec les données de la colonne Xcol de la matrice ΣDATA. HISTP : produit un graphique en barres avec les données de la colonne Xcol de la matrice ΣDATA, en utilisant la largeur par défaut de 13 classes sauf si la taille de la classe a été modifiée en utilisant la fonction BINS du sous-menu 1VAR (voir ci-dessus). SCATR : produit un graphique en barres avec les données de la colonne Ycol de la matrice ΣDATA par rapport aux données de la colonne Xcol de la matrice ΣDATA. L’équation adaptée sera enregistrée dans la variable EQ.
équations aux données des colonnes Xcol et Ycol de la matrice ΣDATA.
ΣLINE : fournit l’équation correspondant à l’adaptation la plus récente. LR : fournit le segment et la pente de l’adaptation la plus récente. PREDX : utilisée comme y @PREDX, à partir de y, trouve x pour l’adaptation y = f(x). PREDY : utilisée comme x @PREDY, à partir de x, trouve y pour l’adaptation y = f(x). CORR : fournit le coefficient de corrélation pour l’adaptation la plus récente. COV : fournit la co-variance de l’échantillon pour l’adaptation la plus récente. PCOV : montre la co-variance de la population pour l’adaptation la plus récente.
Intervalle de confiance : intervalle numérique qui contient le paramètre θ à un niveau donné de probabilité. Estimateur: règle ou méthode d’estimation du paramètre θ. Estimation : valeur que l’estimateur atteint dans une application particulière.
x = 2.36, constitue une estimation de point du paramètre de population µ.
Le niveau suivant d’inférence d’une estimation de point est l’estimation d’intervalle, c’est-à-dire qu’au lieu d’obtenir une valeur unique d’un estimateur, nous fournissons deux statistiques, a et bn qui définissent un intervalle contenant le paramètre θ avec un certain niveau de probabilité. Les points extrêmes de l’intervalle sont connus sous le nom de limites de confiance et l’intervalle (a,b) est connu comme l’intervalle de confiance.
Supposons queX est la moyenne d’un échantillon aléatoire de taille n, prélevé sur une population infinie à déviation standard connue σ. L’intervalle de confiance bilatéral, 100(1-α) % [soit 99%, 95%, 90%, etc.], pour la moyenne de la population µ est (X−zα/2⋅σ/√n ,X +zα/2⋅σ/√n ), où zα/2 est une variation normale standard dépassée avec une probabilité de α /2. L’erreur standard de la moyenne de l’échantillon, X, est ⋅σ/√n. Les limites de confiance unilatérale inférieure et supérieure 100(1-α) % pour la moyenne de la population µ sont, respectivement, X+zα⋅σ/√n , et X−zα⋅σ/√n . Par conséquent, un intervalle de confiance inférieur unilatéral est défini comme (-∞ , X+zα⋅σ/√n), et un intervalle de confiance supérieur unilatéral est défini comme (X−zα⋅σ/√n,+∞). Notez que dans ces deux intervalles, nous utilisons la valeur zα, plutôt que zα/2. En général, la valeur zk dans la distribution normale standard est définie comme la valeur de z dont la probabilité de dépassement est k, à savoir Pr[Z>zk] = k, ou Pr[Z<zk] = 1 – k. La distribution normale a été décrite au Chapitre 17.
Les limites de confiance unilatéral supérieure et inférieure 100⋅ (1-α) % pour la moyenne de population µ sont, respectivement : X + tn-1, α/2 ⋅S/√n etX − tn-1, α/2 ⋅S /√n. Petits échantillons et grands échantillons Le comportement de la distribution t de Student est tel que pour n>30, la distribution ne peut pas se distinguer par rapport à la distribution normale standard. Par conséquent, pour les échantillons de plus de 30 éléments, quand la variance de la population est connue, vous pouvez utiliser le même intervalle de confiance que quand la variance de la population est connue, mais en remplaçant σ par S. Les échantillons pour lesquels n>30 sont généralement appelés grands échantillons, sinon on parle de petits échantillons.
Une variable aléatoire discrète X suit une distribution de Bernoulli si X ne peut prendre que deux valeurs, X = 0 (échec) ou X = 1 (succès). Supposons que X ~ Bernoulli (p), où p est la probabilité de succès, alors la valeur moyenne ou attente de X est E[X] = p et sa variance est Var[X] = p(1-p). Si une expérience impliquant X est répétée n fois et que k résultats positifs (succès) sont enregistrés, alors l’estimation de p est donnée par p’= k/n, tandis que l’erreur standard de p’ est σp’ = √(p⋅(1-p)/n). En pratique, l’estimation de l’échantillon pour p, soit p’, remplace p dans la formule d’erreur standard.
Supposons que S1 et S2 sont des statistiques indépendantes de deux populations basées respectivement sur des échantillons de tailles n1 et n2. De même, supposons que les moyennes et erreurs standard respectives des distributions d’échantillon de ces statistiques soient respectivement µS1 et µS2, et σS1 et σS2. Les différences entre les statistiques des deux populations, S1-S2, ont une distribution d’échantillonavec une moyenne µ S1−S2 = µS1 - µS2 et une erreur standard σ S1−S2 = (σS12 + σS22)1/2. De même, la somme des statistiques T1+T2 a une moyenne µ S1+S2 = µS1 +µS2 et une erreur standard σS1+S2 = (σS12 + σS22)1/2. Les estimateurs pour la moyenne et la déviation standard de la différence et de la somme des statistiques S1 et S2 sont donnés par :
Ces options doivent être interprétées comme suit : 1. Z-INT: 1 µ. 4. Z-INT: p1− p2. : Intervalle de confiance pour la différence de deux proportions, p1-p2, pour de grands échantillons à variance de population inconnue. 5. T-INT: 1 µ. : Intervalle de confiance de l’échantillon simple pour la moyenne de la population, µ, pour de petits échantillons à variance de population inconnue. 6. T-INT: µ1−µ2. : Intervalle de confiance pour la différence des moyennes de population, µ1- µ2, pour les petits échantillons à variance de population inconnue. Intervalle de confiance pour la différence des moyennes de population. Exemple 1 – Déterminer l’intervalle de confiance pour la moyenne d’une population si un échantillon de 60 éléments indique que la valeur de la moyenne de l’échantillon est x = 23.2 et sa déviation standard est s = 5.2. Utiliser α = 0.05. Le niveau de confiance est C = 1-α = 0.95. Sélectionner le cas 1 dans le menu présenté ci-dessus en appuyant sur @@@OK@@@. Saisir les valeurs requises dans le formulaire de saisie comme suit :
Le résultat indique qu’un intervalle de confiance de 95% a été calculé. La valeur Critique z affichée à l’écran ci-dessus correspond aux valeurs ±zα/2 dans la formule d’intervalle de confiance (X−zα/2⋅σ/√n , X+zα/2⋅σ/√n ). Les valeurs µ Min et µ Max sont les limites inférieure et supérieure de cet intervalle, soit µ Min = X−zα/2⋅σ/√n et µ Max = X+zα/2⋅σ/√n. Appuyez sur @GRAPH pour voir une représentation graphique des informations relatives à l’intervalle de confiance :
Appuyez sur @TEXT pour revenir à l’écran de résultats précédent et/ou appuyer sur @@@OK@@@ pour quitter l’environnement d’intervalle de confiance. Les résultats s’afficheront sous forme de liste à l’écran de la calculatrice. Exemple 2 -- Les données des deux échantillons (échantillons 1 et 2) indiquent que x1 = 57.8 etx 2 = 60.0. Les tailles des échantillons sont n1 = 45 et n2 = 75. S’il est connu que les déviations standard des populations sont σ1 = 3.2,
Appuyez sur ‚Ù—@@@OK@@@pour accéder à la fonction intervalle de confiance de la calculatrice. Appuyez sur ˜@@@OK@@@ pour sélectionner l’option 2. Z-INT: µ 1 – µ2. Saisissez les valeurs suivantes :
Exemple 3 – Une enquête d’opinion publique indique que sur un échantillon de 150 personnes 60 sont en faveur d’une augmentation des impôts sur la propriété pour financer certains projets publics. Déterminez un intervalle de confiance de 99% pour la proportion de la population qui est en faveur d’une augmentation des taxes. Appuyez sur ‚Ù—@@@OK@@@ pour accéder à la fonction intervalle de confiance de la calculatrice. Appuyez sur ˜˜ @@@OK@@@ pour sélectionner l’option 3. Z-INT: µ 1 – µ2. Saisissez les valeurs suivantes :
Appuyez sur ‚Ù—@@@OK@@@ pour accéder à la fonction intervalle de confiance de la calculatrice. Appuyez sur ˜˜˜@@@OK@@@ pour sélectionner 4. Z-INT: p1 – p2. Saisissez les valeurs suivantes :
Exemple 6 -- Déterminez l’intervalle de confiance de 99% de confiance pour la différence de moyennes de deux populations compte tenu des données de l’échantillon : x1 = 157.8 ,x2 = 160.0, n1 = 50, n2 = 55. Les déviation standard des populations sont s1 = 13.2, s 2 = 24.5. Appuyez sur ‚Ù—@@@OK@@@ pour accéder à la fonction intervalle de confiance de la calculatrice. Appuyez sur —@@@OK@@@ pour sélectionner l’option 6. T-INT: µ1−µ2. Saisissez les valeurs suivantes :
Pour développer une formule pour l’intervalle de confiance pour la variance, nous devons d’abord introduire la variance de la distribution de l’échantillon : considérons un échantillon aléatoire X1, X2 ..., Xn de variables indépendantes normalement distribuées avec une moyenne µ, une variance σ2 et une moyenne d’échantillonX. La statistique n 1 Sˆ 2 = ⋅ ∑ (X i − X )2 , n − 1 i =1 [(n-1)⋅S2/ χ2n-1,α/2 ; (n-1)⋅S2/ χ2n-1,1-α/2]. où χ2n-1,α/2 , et χ2n-1,1-α/2 sont les valeurs qu’une variable χ2 avec ν = n-1 degrés de liberté, excède avec des probabilités respectives de α/2 et 1- α /2. La limite de confiance unilatérale supérieure pour σ2 est définie comme (n1)⋅S2/ χ2n-1,1-α. Exemple 1 – Déterminez l’intervalle de confiance de 95% pour la variance de population σ2 basé sur les résultats à partir d’un échantillon de taille n = 25 qui indique que la variance de l’échantillon est s2 = 12.5. Au Chapitre 17 nous utilisons la résolution numérique pour résoudre l’équation α = UTPC(γ,x). Dans ce programme, γ représente les degrés de liberté (n-1) et α représente la probabilité d’excéder une certaine valeur de x (χ2), soit Pr[χ2 > χα2] = α. Pour l’exemple présent, α = 0.05, γ = 24 et α = 0.025. La résolution de l’équation a présenté les exemples ci-dessus dans χ2n-1,α/2 = χ224,0.025 = 39.3640770266. D’un autre côté, la valeur χ2n-1,α/2 = χ224,0.975 est calculée en utilisant les valeurs γ = 24 et α = 0.975. Le résultat est χ2n-1,1-α/2 = χ224,0.975 = 12.4011502175. Les limites inférieures et supérieures de l’intervalle seront (Utilisez le mode ALG) : (n-1)⋅S2/ χ2n-1,α/2 = (25-1)⋅12.5/39.3640770266 = 7.62116179676
La procédure pour tester des hypothèses comprend les six étapes suivantes: 1. Déclarez une hypothèse nulle, H0. Il s’agit de l’hypothèse à tester. Par exemple, H0: µ1-µ2 = 0, à savoir nous émettons l’hypothèse que la valeur moyenne de la population 1 et la valeur moyenne de la population 2 sont les mêmes. Si H0 est vraie, toute différence observée dans les moyennes est attribuée à des erreurs dans l’échantillonnage aléatoire. 2. Déclarez une hypothèse alternative, H1. Pour l’exemple étudié, cela pourrait être H1: µ1-µ2 ≠ 0 [Note: il s’agit de ce que nous voulons vraiment tester.] 3. Déterminez ou spécifiez une statistique de test, T. Dans l’exemple étudié, T sera basée sur la différence des moyennes observées, X1-X2. 4. Utilisez la distribution connue (ou supposée) de la statistique de test, T. 5. Définissez une zone de rejet (la région critique, R) pour la statistique de test basée sur le niveau de signification α.
2. La probabilité de rejet de l’hypothèse nulle est égale au niveau de signification, soit Pr[T∈R|H0]=α. La notation Pr[A|B] représente la probabilité conditionnelle de l’évènement A étant donné que l’évènement B se produit.
En test d’hypothèse, on utilise respectivement les termes erreur de type 1 et erreur de type 2 pour définir les cas dans lesquels une hyspothèse vraie est rejetée ou une hypothèse fausse est acceptée (non rejetée). Supposons que T = est la valeur de la statistique de test, R = la zone de rejet et A = la zone d’acceptation, ainsi, R∩A = ∅, et R∪A = Ω, où Ω = le paramètre d’espace pour T, et ∅ = l’ensemble vide. Les probabilités de faire une erreur de type 1 ou de type 2 sont les suivantes : Rejet d’une hypothèse vraie, Pr[Type I error] = Pr[T∈R|H0] = α Non rejet d’une hypothèse fausse, Pr[Type II error] = Pr[T∈A|H1] = β Considérons maintenant les cas dans lesquels nous avons pris la bonne décision : Une valeur typique du niveau de signification (ou probabilité de type I) est α = 0.05, (signifiant un rejet incorrest sur 20 en moyenne). Si les conséquences d’une erreur de type I sont plus garves, choisissez des valeurs plus petites de α, disons 0.01 ou 0.001. La valeur de β, soit la probabilité de faire une erreur de type II, dépend de α, de la taille de l’échantillon n et de la vraie valeur du paramètre testé. Par conséquent, la valeur de β est déterminée après avoir effectué le test d’hypothèse. Il est courant de tracer des graphes montrant β, ou le pouvoir du test (1- β), sous forme de fonction de la vraie valeur du paramètre testé. Ces graphes sont appelés respectivement courbes caractéristiques d’opération ou courbes de fonction de puissance.
Hypothèse bilatérale Le problème consiste à tester l’hypothèse nulle Ho: µ = µo, par rapport à l’hypothèse alternative, H1: µ≠ µο à un niveau de confiance (1-α)100%, ou niveau de signification α, en utilisant un échantillon de taille n avec une moyennex et une déviation standard s. Il s’agit ici du test bilatéral ou test à deux parties. La procédure du test est présentée ci-dessous : Tout d’abord, calculez la statistique appropriée pour le test (to ou zo) comme suit : •
• • Ensuite, nous utilisons la valeur P associée soit à zο ou tο et la comparons à α pour décider si nous rejetons ou non l’hypothèse nulle. La valeur P d’un test bilatéral se définit comme Valeur P = P(z > |zo|) ou Valeur P = P(t > |to|). Les critères à utiliser pour le test d’hypothèse sont : • • Notez que les critères sont exactement les mêmes que pour le test bilatéral. La différence principale est la façon dont la valeur P est calculée. La valeur P pour un test unilatéral peut être calculée en utilisant les fonctions de probabilité de la calculatrice comme suit : • • Quand nous traitons de deux échantillons de taille n avec des points de données appariés, plutôt que de tester l’hypothèse nulle, Ho: µ1-µ2 = δ, en utilisant les valeurs moyennes et les déviations standard des deux échantillons, nous devons traiter le problème comme un échantillon unique des différences des valeurs appariées. En d’autres termes, générez une nouvelle variable aléatoire X = X1-X2, et testez Ho: µ = δ, où µ représente la moyenne de la population pour X. Par conséquent, vous aurez besoin d’obtenir x et s pour l’échantillon de valeurs de x. Le test doit se dérouler ensuite en utilisant les méthodes décrites précédemment.
Supposons que nous voulions tester une hypothèse nulle, H0: p = p0, où p représente la probabilité d’obtenir un succès à n’importe quelle répétition de
Plutôt que d’utiliser la valeur P comme critère pour accepter ou ne pas accepter l’hypothèse, nous allons utiliser la comparaison entre la valeur critique de z0 et la valeur de z correspondant à α ou α/2. Test bilatéral Si nous utilisons un test à deux parties, nous trouvons la valeur de z partir de Pr [Z> zα/2] = 1-Φ(zα/2) = α/2 ou Φ(z
En utilisant un test unilatéral nous trouvons la valeur de S , à partir de Pr[Z> zα] = 1-Φ(zα) = α, ou Φ(z α) = 1- α, Rejeter l’hypothèse nulle, H0, si z0 >zα, et H1: p>p0 ou si z0 < - zα, et H1: p<p0.
Et la variance de la différence de proportions est estimée à partir de : sp2 = s12 + s22 . Supposons que le résultat Z, Z = (p1-p2-p0)/sp, suive la distribution normale standard, soit Z ~ N(0,1). La valeur particulière de la statistique à tester est z0 = (p1’-p2’-p0)/sp. Test bilatéral Si nous utilisons un test bilatéral, nous trouvons la valeur de z α/2, à partir de Pr[Z> zα/2] = 1-Φ(zα/2) = α/2 ou Φ(z
Hypoth. tests. à laquelle on peut accéder en utilisant ‚Ù—— @@@OK@@@. Comme pour le calcul des intervalles de confiance, vu précédemment, ce programme offre 6 options :
1. Z-Test: 1 µ.: Intervalle de confiance de l’échantillon simple pour la moyenne de la population, µ, avec variance de population connue, ou pour de grands échantillons à variance de population inconnue. 2. Z-Test: µ1−µ2.: Intervalle de confiance pour la différence des moyennes de population, µ1- µ2, avec soit variances de population connues, soit variances de populations inconnues pour les grands échantillons.] 3. Z-Test: 1 p.: Intervalle de confiance simple pour la proportion p pour de grands échantillons à variance de population inconnue. 4. Z-Test: p1− p2.: Intervalle de confiance pour la différence de deux proportions, p1-p2, pour de grands échantillons à variance de population inconnue. 5. T-Test: 1 µ.: Intervalle de confiance de l’échantillon simple pour la moyenne de la population, µ, pour de petits échantillons à variance de population inconnue.
Essayez les exercices suivants : Exemple 1 – Pour µ0 = 150, σ = 10, x = 158, n = 50, pour α = 0.05, tester l’hypothèse H0: µ = µ0, par rapport à l’hypothèse alternative, H1: µ ≠ µ0. Appuyez sur ‚Ù—— @@@OK@@@ pour accéder à la fonction intervalle de confiance de la calculatrice. Appuyez sur @@@OK@@@ pour sélectionner l’option 1. Z-Test: 1 µ. Saisissez les données suivantes et appuyez sur @@@OK@@@:
µ ≠150, puis appuyez sur @@OK@@. Le résultat est :
= ±1.959964, correspondant à l’échelle critique x de {147.2 152.8}. Ces informations peuvent être consultées graphiquement en appuyant sur la touche menu @GRAPH:
Appuyez sur @GRAPH pour afficher les résultats suivants :
H1: µ1−µ2 < 0, ou H1: µ1=µ2. La valeur t est t0 = -1.341776, avec une valeur P = 0.09130961, et le t critique est –tα = -1.659782. Le résultat graphique est :
%, ou niveau de signification α, utilisant un échantillon de taille et une variance s2. La statistique de test à utiliser est une statistique de test chi-carré définie comme
• Rejeter Ho si la valeur < α • Ne pas rejeter Ho si la valeur > α. Notez que la procédure ne vaut que si la population sur laquelle l’échantillon a été prélevé est une population normale.
Les critères de test sont : • Rejeter Ho si la valeur < α • Ne pas rejeter Ho si la valeur > α. Exemple1 -- Considérons les deux échantillons prélevés sur une population normale tels que n1 = 21, n2 = 31, s12 = 0.36, et s22 = 0.25. Nous testons l’hypothèse nulle, Ho: σ12 = σ22, à un niveau de signification α = 0.05, par rapport à l’hypothèse alternative, H1: σ12 ≠ σ22. Pour une hypothèse bilatéral, nous avons besoin d’identifier sM et sm, comme suit : sM2=max(s12,s22) = max(0.36,0.25) = 0.36 = s12 sm2=min(s12,s22) = min(0.36,0.25) = 0.25 = s22 De même, nM = n1 = 21, nm = n2 = 31, νN = nM - 1= 21-1=20, νD = nm -1 = 31-1 =30. Par conséquent, la statistique de test F est Fo = sM2/sm2=0.36/0.25=1.44 La valeur P est P = P(F>Fo) = P(F>1.44) = UTPF(νN, νD,Fo) = UTPF(20,30,1.44) = 0.1788…
La méthode des moindres carrés Supposons que x = une variable indépendante, non aléatoire et Y = une variable dépendante aléatoire. La courbe de régression de Y sur x est définie comme la relation entre x et la moyenne de la distribution correspondante des Y. Supposons que la courbe de régression de Y sur x est linéaire, c’est-à-dire que la distribution des moyennes des Y est donnée par Α + Βx. Y différe de la moyenne (Α + Β⋅x) par une valeur ε, par conséquent, Y = Α + Β⋅x + ε, où ε est une variable aléatoire. Afin de vérifier visuellement si les données suivent une tendance linéaire, nous traçons un graphique scattergramme ou diagramme de dispersion. Supposons que nous ayons n observations appariées (xi, yi) ; nous prédisons y à l’aide de ∧y = a + b⋅x, où a et b sont des constantes. Définissons l’erreur de prédiction comme ei = yi - ∧yi = yi - (a + b⋅xi). La méthode des moindres carrés nécessite que nous choisissions a et b de telle sorte que la somme des erreurs au carré soit minimisée (SSE) n
σ2; εi = variables aléatoires normalement distribuées avec une moyenne zéro et une variance commune σ2. Supposons que yi = valeur de donnée réelle, ^yi = a + b⋅xi = prédiction des moindres carrés de la donnée. Alors, l’erreur de prédiction est : ei = yi - ^yi = yi - (a + b⋅xi). Une estimation de σ2 est ce que l’on appelle l’erreur standard de l’estimation,
1 n Limites de confiance pour les coefficients de régression : Pour la pente (Β): b − (t n-2,α/2)⋅se/√Sxx < Β < b + (t n-2,α/2)⋅se/√Sxx, Pour le segment (Α): a − (t n-2,α/2)⋅se⋅[(1/n)+x2/Sxx]1/2 < Α < a + (t n-2,α/2)⋅se⋅[(1/n)+x2/Sxx]1/2, où t suit la distribution t de Student avec ν = n – 2, degrés de liberté, et n représente le nombre de points de l’échantillon.
Si vous effectuez le test pour la valeur Β0= 0, et qu’il s’avère que le test suggère que vous n’avez pas rejeté l’hypothèse nulle, H0: Β = 0, alors la validité de la régression linéaire est mise en doute. En d’autres termes, les données de l’échantillon ne supportent pas l’assertion selon quoi Β ≠ 0. Par conséquent, il s’agit d’un test sur la signification du modèle de régression.
Hypothèse nulle, H0: Α = Α0, testée par rapport à l’hypothèse alternative, H1: Α ≠ Α0. La statistique de test est t0 = (a-Α0)/[(1/n)+x2/Sxx]1/2, où t suit la distribution t de Student avec ν = n – 2, degrés de liberté et n représente le nombre de points de l’échantillon. Le test est effectué comme pour une valeur moyenne de test d’hypothèse, c’est-à-dire étant donné le
1) Saisissez (x,y) sous forme de colonne de données dans la matrice statistique ΣDAT. 2) Produisez un diagramme de dispersion pour les colonnes appropriées de ΣDAT et utilisez les paramètres H- et V-VIEWS appropriés pour vérifier la tendance linéaire. 3) Utilisez ‚Ù˜˜@@@OK@@@, pour adapter une ligne droite et obtenir a, b, sxy (co-variance), et rxy (corrélation). 4) Utilisez ‚Ù˜@@@OK@@@, pour obtenirx, y, sx, sy. La colonne 1 donnera les données statistiques pour les x et la colonne 2 celles pour les y. 5) Calculez
8) Pour les intervalles de confiance, utilisez les formules appropriées telles que montrées ci-dessus.
= -0.44117. La valeur critique de t pour ν = n – 2 = 3 et α/2 = 0.025 peut être calculée en utilisant la résolution numérique pour l’équation α = UTPT(γ,t) développée au Chapitre 17. Dans ce programme, γ représente les degrés de liberté (n-2) et α représente la probabilité de dépasser une certaine valeur de t, soit Pr[ t>tα] = 1 – α. Pour l’exemple présent, la valeur du degré de signification est α = 0.05, g = 3 et tn-2,α/2 = t3,0.025. De même, pour γ = 3 et α = 0.025, tn-2,α/2 = t3,0.025 = 3.18244630528. Parce que t0 > - tn-2,α/2, nous ne pouvons pas rejeter l’hypothèse nulle, H0: Α = 0, par rapport à l’hypothèse alternative, H1: Α ≠ 0, à un niveau de signification α = 0.05. Ce résultat suggère que prendre A = 0 pour cette régression linéaire devrait être acceptable. Après tout, la valeur que nous avons trouvée pour a était – 0.86, ce qui est relativement proche de zéro.
La statistique de test est t0 = (b -Β0)/(se/√Sxx) = (3.24-0)/(√0.18266666667/2.5) = 18.95. La valeur critique de t, pour ν = n – 2 = 3, et α/2 = 0.025, a été obtenue à l’exemple 2, comme tn-2,α/2 = t3,0.025 = 3.18244630528. Parce que, t0 > tα/2, nous devons rejeter l’hypoyhèse nulle H1: Β ≠ 0, à un niveau d’importance α = 0.05, pour l’adaptation linéaire de l’exemple 1.
Considérons un ensemble de données de la forme x1 x11 x12 x13 . Ensuite, saisissez les matrices X et b dans la pile [[1,1.2,3.1,2][1,2.5 3,1,2.5 ][1,3.5,4.5,2.5][1,4,4.5,3][1,6,5,3.5]] `` (conserver une copie supplémentaire) ) [5.7,8.2,5.0,8.2,9.5] ` Appuyez sur J@MTREG. Le résultat est : [-2.1649…,–0.7144…,-1.7850…,7.0941…],
X si nous observons les règles suivantes : Si p = n-1, X = Vn. Si p < n-1, supprimer alors les colonnes p+2, …, n-1, n à Vn pour former la matrice X. Si p > n-1, ajouter alors des colonnes n+1, …, p-1, p+1, à Vn pour former la matrice X. A l’étape 3 de cette liste, nous devons être conscients que cette colonne i (i= n+1, n+2, …, p+1) est le vecteur [x1i x2i … xni]. Si nous devions utiliser une liste de valeurs de données pour x plutôt qu’un vecteur, à savoir : x = { x1 x2 … xn }, nous pouvons facilement calculer la séquence { x1i x2i … xni }. Puis nous pouvons transformer cette liste en vecteur et utiliser le menu COL pour ajouter ces colonnes à la matrice Vn jusqu’à ce que X soit terminée. Lorsque X est prête et le vecteur y disponible, le calcul du vecteur de coefficient b est identique à celui de l’adaptation linéaire multiple (précédente application de la matrice). Par conséquent, nous pouvons écrire un programme pour calculer l’adaptation qui utilise le programme déjà développé pour l’adaptation linéaire multiple. Nous devons ajouter à ce programme les étapes 1 à 3 énumérées ci-dessus. L'algorithme de ce programme, par conséquent, peut être écrit comme suit : Saisissez les vecteurs x et y, de même dimension, sous forme de liste (note: puisque la fonction VANDERMONDE utilise une liste comme données d’entrée,
Si p = n-1, alors X = Vn , Sinon si p < n-1 Supprimer les colonnes p+2, …, n à Vn pour former X (utilisez une boucle FOR et COL-) Sinon Ajoutez les colonnes n+1, …, p+1 à Vn pour former X (boucle FOR, calculer xi, convertir en vecteur, utiliser COL+) Convertissez y en vecteur Calculez b en utilisant le programme MTREG (voir exemple sur les adaptations linéaires multiples ci-dessus)
« xyp Détermine la taille de la liste x Ouvre le sous-programme 2 Place x dans la pile, obtenir Vn Ce IF met en œuvre l’étape 3 en algorithme Place n dans la pile Calcule p+1 Commence la boucle j = n-1, n-2, …, p+1, étape = -1 Retire une colonne et la supprime de la pile
Ajoute une colonne à la matrice Ferme la boucle FOR-NEXT Termine la seconde clause IF. Termine la première clause IF. Le résultat est X Convertit la liste y en ensemble X et y utilisé par le programme MTREG Convertit au format décimal Ferme le sous-programme 2 Ferme le sous-programme 1 Ferme le programme principal
A titre d’exemple, utilisez les données suivantes pour obtenir une adaptation polynomiale avec p = 2, 3, 4, 5, 6. x 2.30 être minimisée par une approche du moindre carré. Un tracé de résidus. Il s’agit du tracé de l’erreur correspondant à chacun des points de données originaux. Si ces erreurs sont
Avant de tenter de programmer ces critères, nous présentons quelques définitions : Etant donné les vecteurs de données x et y devant être adaptés à l’adéquation polynomiale, nous formons la matrice X et l’utilisons pour calculer un vecteur de coefficients polynomiaux b. Nous pouvons calculer un vecteur de données adaptées, y’, en utilisant y’ = X⋅b. Un vecteur d’erreur est calculé par e = y – y’. La somme des erreurs carrées est égale au carré de la magnitude du vecteur d’erreur, soit SSE = |e|2 = e•e = Σ ei2 = Σ (yi-y’i)2. Pour calculer le coefficient de corrélation, nous devons calculer d’abord ce que nous connaissons comme la somme des carrés totaux, SST, définie comme SST = Σ (yi-y)2, oùy est la valeur moyenne des valeurs y, à savoir : y = (Σyi)/n. En termes de SSE et SST, le coefficient de corrélation est défini par r = [1-(SSE/SST)]
Détermine la taille de la liste x Ouvre le sous-programme 2 Place x dans la pile, on obtient Vn Ce IF est l’étape 3 de l’algorithme
Ferme la boucle FOR-NEXT Termine la seconde clause IF Termine la première clause IF. Produit X Convertit la liste y en ensemble Entre la matrice et l’ensemble comme X et y ouvre le sous-programme 3 X et y utilisés par le programme MTREG Si nécessaire, convertit le point flottant vecteur résultant passé comme b ouvre le sous-programme 4 Place b et yv dans la pile Calcule X⋅b Calcule e = y - X⋅b Calcule SSE, en fait une copie Calculey Crée le vecteur de n valeurs de y
Ferme le sous-programme 2 Ferme le sous-programme 1 Ferme le programme principal
L’utilisation du programme POLYR pour des valeurs de p entre 2 et 6 produit la table de valeurs de corrélation, r, et la somme des erreurs carrées, SSE : p 2 3 4 Le système numérique utilisé pour l’arithmétique de tous les jours est connu sous le nom de système décimal car il utilise 10 (en latin : déca) chiffres, à savoir 0 à 9, pour écrire tous les nombres réels. Les ordinateurs, par contre, utilisent un système basé sur deux états possibles ou système binaire . Ces deux états sont représentés par 0 et 1, ON et OFF ou haut et bas voltage. Les ordinateurs utilisent aussi des systèmes numériques basés sur huit chiffres (0-7) ou système octal et sur seize chiffres (0-9, A-F) ou hexadécimal. Comme dans le système décimal, la position relative des chiffres détermine leur valeur. En général, un nombre en base b peut s’écrire comme une série de n chiffres = (a1a2 …an.c1c2 …cm)b. Le "point" sépare les n "entiers" de m "décimales". La valeur du nombre, convertie dans notre système décimal habituel, est calculée en utilisant n = a1⋅bn-1 + a2⋅bn-2 + … + anb0 + c1⋅b-1 + c2⋅b-2 + … +cm⋅b-m. Par exemple, (15.234)10 = 1⋅101 + 5⋅100 + 2⋅10-1 + 3⋅10-2 + 4⋅10-3 et Fonction HEX, DEC, OCT et BIN Les nombres dans les systèmes non décimaux sont précédés du symbole # dans la calculatrice. Le symbole # est facilement accessible grâce à „â(la touche 3). Pour sélectionner quel système numérique (base courante) va être utilisé pour les nombres précédés de #, choisissez une des fonctions suivantes dans le premier menu BASE, à savoir HEX(hexadécimal), DEC(décimal), OCT(octal) ou BIN(binaire). Par exemple, si @HEX! est sélectionné, tout nombre écrit dans la calculatrice commençant par # sera un nombre hexadécimal. Par conséquent, vous pouvez écrire des nombres tels que #53, #A5B, etc. dans ce système. Chaque fois qu’un autre système est sélectionné, les nombres sont automatiquement convertis dans la nouvelle base. Les exemples suivants montrent les trois même nombres écrits avec le symbole # dans différentes bases courantes :
Le seul effet produit par la sélection du système DECimal est que les nombres décimaux, précédés du symbole #, sont écrits avec le suffixe d.
La taille est le nombre de bits d’un objet binaire. Par défaut, la taille est de 64 bits. La fonction RCWS (ReCall WordSize) affiche la taille actuelle. La fonction STWS (SeT the WordSize) permet à l’utilisateur de paramétrer la taille sur n’importe quel nombre entre 0 et 64. Changer la taille affectera la façon dont les opérations d’entiers binaires sont effectuées. Par exemple, si un entier binaire excède la taille actuelle, les
êtes également familiarisé avec les nombreuses fonctions disponibles via l’utilisation des touches du clavier, qu’il s’agisse de leur fonction principale ou de leur association à la touche majuscule gauche („), majuscule droite (‚) ou ALPHA (~) . Dans ce chapitre, nous fournissons des exemples de menus et de touches personnalisés qui pourront vous être utiles dans vos propres applications.
Un menu personnalisé est un menu créé par l’utilisateur. Les spécifications de ce menu sont mémorisées dans les variables CST réservées. Ainsi, pour créer un menu, vous devez associer cette variable aux fonctionnalités que vous souhaitez afficher dans votre menu et aux actions requises par les touches de menu soft. Pour présenter des exemples de personnalisation des menus, nous devons paramétrer l’indicateur système 117 sur le menu SOFT. Veillez à effectuer ce réglage avant de poursuivre (voir le Chapitre 2 pour des instructions concernant le paramétrage des indicateurs système).
„°L @)MODES @)MENU produit le menu soft MENU suivant :
MENU : Active un menu dont vous donnez le numéro CST : Une référence à la variable CST, par exemple : ‚@@CST@@ affiche le contenu de CST.
Numéros des menus (fonctions RCLMENU et MENU) Chaque menu prédéfini est associé à un numéro. Par exemple, supposons que vous activiez le menu MTH („´). Puis, à l’aide de la fonction catalogue (‚N) recherchez la fonction RCLMENU et activez-la. En mode ALG simple, appuyez sur ` après que RCLMENU() est apparu à l’écran. Le résultat est le numéro 3.01. Ainsi, vous pouvez activer le menu MTH à l’aide de MENU(3.01) en ALG ou 3.01 MENU en RPN. Il est possible d’activer la plupart des menus sans connaître leur numéro, en utilisant le clavier. Toutefois, certains menus ne sont pas accessibles par le clavier. Par exemple, le menu soft STATS est uniquement accessible par la fonction MENU. Son numéro est 96.01. Utilisez MENU(96.01) en mode ALG ou 96.01 MENU en mode RPN pour obtenir le menu soft STAT. Note : dans cet exemple, le numéro 96.01 correspond au premier (01) sousmenu du menu 96.
Supposons que vous ayez besoin d’activer quatre fonctions pour une application particulière. Imaginons que vous deviez pouvoir accéder rapidement aux fonctions EXP, LN, GAMMA et ! (~‚2) et que vous souhaitiez les placer dans un menu soft que vous garderez activé pendant un moment. Vous pourriez le faire en créant un menu temporaire à l’aide de la fonction TMENU ou un menu plus permanent à l’aide de la fonction MENU. La principale différence tient au fait que la fonction MENU crée la variable CST, ce qui n’est pas le cas de TMENU. Si la variable CST est créée de manière permanente dans votre sous-répertoire, vous pourrez toujours réactiver le menu à l’aide des spécifications de CST en appuyant sur „£. Avec TMENU, les spécifications du menu sont perdues une fois que vous remplacez le menu temporaire par un autre menu.
En mode ALG, la liste à entrer comme argument de la fonction TMENU ou MENU est plus complexe : {{“exp”,”EXP(“},{“ln”,”LN(“},{“Gamma”,”GAMMA(“},{“!”,”!(“}} En effet, en mode RPN, les noms de commandes sont à la fois des étiquettes de menu soft et des commandes. En mode ALG, les noms de commandes ne produisent pas d’action car les fonctions ALG doivent être suivies par des parenthèses et des arguments. Dans le cas de la liste ci-dessus (correspondant au mode ALG), chaque sous-liste comprend une étiquette pour la touche de menu, par exemple “exp”, suivie de la manière dont la fonction est entrée dans la pile afin que l’argument de la fonction puisse être saisi à l’affichage de l’invitation, par exemple “EXP(“. Ne vous préoccupez pas de la parenthèse fermante : la calculatrice l’appliquera avant d’exécuter la fonction. L’implémentation de la fonction TMENU en mode ALG avec la liste d’arguments présentée ci-dessus s’effectue comme suit. Tout d’abord, vous saisissez la liste, puis vous produisez le menu temporaire (voir les étiquettes de touches de menu) à l’aide de la fonction TMENU(ANS(1)). Nous présentons également, sur la gauche, le résultat d'une pression sur la touche de menu @@exp! , c’est-à-dire : l’invitation EXP(. Lorsque vous tapez 8`, le résultat de l’opération apparaît sur la droite :
RPN pour vérifier que vous obtenez le même menu que précédemment en mode ALG.
La forme générale de la liste d’arguments pour les commandes TMENU ou MENU en mode ALG est la suivante :
MENU. Vous pouvez disposer d’une variable CST différente dans chaque sous-répertoire et vous pouvez toujours remplacer le contenu actuel de CST par celui des autres variables stockant la liste correctement formatée afin de produire un autre menu personnalisé. Note : Vous pouvez utiliser un GROB de 21x8 (Voir Chapitre 22) pour produire une icône dans le menu. A titre d’exemple, essayez, en mode RPN : {{GROB 21 8 00000EF908FFF900FFF9B3FFF9A2FFF9A3FFF9A0FFF388FF “hp” }} ` MENU Ceci créee le logo hp sur la touche A. Appuyez sur la touche A pour afficher ‘hp’ sur la ligne de commande.
Chaque touche du clavier peut être identifiée par deux nombres représentant sa ligne et sa colonne. Par exemple, la touche VAR (J) se trouvant sur la ligne 3 de la colonne 1 sera désignée comme touche 31. Par ailleurs, dans la mesure où chaque touche peut être associée à dix fonctions au plus, chaque fonction est spécifiée par des nombres décimaux entre 0 et 1, selon les spécifications suivantes :
KEYS accessible via le menu PRG („°). Si vous paramétrez l’indicateur système 117 sur le menu SOFT, la séquence „ °L @)MODES @)KEYS produit le menu soft KEYS suivant :
ASN : Affecte un objet à une touche spécifiée par XY.Z STOKEYS : Mémorise la liste des touches définies par l’utilisateur RCLKEYS : Renvoie la liste actuelle des touches définies par l’utilisateur
Supposons que vous souhaitiez accéder à l’ancienne commande PLOT introduite pour la première fois avec la calculatrice HP série 48G, mais qui n’est plus actuellement directement disponible via le clavier. Le numéro de clavier pour ce menu est 81.01. Vous pouvez voir ce menu en action en utilisant le paramétrage suivant : Mode ALG : MENU(81.01) Mode RPN : 81.01 ` MENU ` Pour disposer d’un moyen rapide d’activer ce menu à partir du clavier, vous pouvez affecter ce menu à la touche GRAPH (C) dont le numéro de référence est 13.0, c’est-à-dire première ligne, troisième colonne, fonction principale. Pour affecter un objet à une touche, utilisez la fonction ANS comme suit : Mode ALG: ASN(<<MENU(81.01)>>,13.0) Mode RPN: << 18.01 MENU >> ` 13.0 ` ASN Un autre menu utile est le menu SOLVE originel (décrit à la fin du Chapitre 6 du présent guide), lequel peut être activé à l’aide de ‚ (maintenir) 7.
„Ì , l’écran affiche la spécification 1USR sur la deuxième ligne de
USR apparaît sur la deuxième ligne de l’écran. Pour déverrouiller le clavier, appuyez une nouvelle fois sur „Ì.
Pour supprimer l’affectation définie précédemment, utilisez la fonction DELKEYS, comme suit : En mode ALG, utilisez : STOKEYS({"SIN(' ,11.0, "COS(", 12.0, "TAN(", 13.0, "SINH(", 14.0, "COSH(", 15.0, "TANH(", 16.0}) ` Actionnez ces touches en utilisant, par exemple, en mode RPN :
Dans tous les chapitres précédents de ce guide, nous avons présenté un certain nombre de programmes pouvant être utilisés pour différentes applications (par exemple, des programmes CRMC et CRMT, utilisés pour créer une matrice à partir d’un certain nombre de listes, ont été présentés au Chapitre 10). Dans cette section, nous présentons un programme simple permettant d’introduire des concepts liés à la programmation de la calculatrice. Le programme que nous rédigerons permettra de définir la fonction f(x) = sinh(x)/(1+x2), laquelle accepte les listes comme arguments (c’est-à-dire que x peut être une liste de nombres, comme décrit au Chapitre 8). Au Chapitre 8, nous avons indiqué que le signe plus, se comporte comme un opérateur de concaténation pour les listes et non pour produire une somme terme à terme. Pour ce faire, il faut utiliser l’opérateur ADD, lequel produit une addition des listes terme à terme. Ainsi, pour définir la fonction présentée cidessus, nous utiliserons le programme suivant : «'x' STO x SINH 1 x SQ ADD / 'x' PURGE »
Saisie de 1 et calcul de x2 Calcul de (1+x2), puis division Purge de la variable x Programmation au niveau 1 _____________________
Essayez également d’obtenir g({1 2 3}), en entrant la liste au niveau 1 de l’affichage : „ä1#2#3` et en appuyant sur @@@g@@@. Le résultat est maintenant {SINH(1)/2 SINH(2)/5 SINH(3)/10}, si votre CAS est défini sur le mode EXACT. Si votre CAS est défini sur le mode APPROXIMATE, le résultat est {0.5876.. 0.7253… 1.0017…}.
Le programme @@@g@@@, défini ci-dessus, peut être affiché comme suit : « 'x' STO x SINH 1 x SQ ADD / 'x' PURGE » à l’aide de ‚@@@g@@@. Remarquez que le programme utilise le nom de la variable x pour stocker la valeur placée au niveau 1 de la pile via les étapes de programmation 'x'
Par conséquent, du point de vue de la programmation, une variable globale est une variable accessible à l’utilisateur après l’exécution du programme. Il est possible d’utiliser une variable locale au sein du programme, laquelle est uniquement définie pour ce programme et ne sera plus disponible après l’exécution du programme. Le programme précédent pourrait être modifié comme suit :
Note: pour modifier le programme @@@g@@@, placez le nom du programme dans la pile (³@@@g@@@ `), puis utilisez „˜. Utilisez les flèches (š™— ˜) pour vous déplacer dans le programme. Utilisez la touche de retour en arrière/suppression, ƒ, pour supprimer les éventuels caractères indésirables. Pour ajouter des conteneurs de programmes (c’est-à-dire, « »), utilisez ‚å, comme ces symboles se présentent par paires, vous devrez les entrer au début et à la fin du sous-programme et supprimer l’une de leurs composantes à l’aide de la touche de suppression ƒ pour produire le programme requis, à savoir : « → x « x SINH 1 x SQ ADD / » ». Une fois le programme modifié, appuyez sur ` . Le programme modifié est de nouveau stocké dans la variable @@g@@.
Toute variable que vous définissez dans le répertoire HOME ou dans tout autre répertoire ou sous-répertoire sera considérée comme une variable globale du point de vue du développement de programmes. Toutefois, la portée d’une telle variable, c’est-à-dire l’emplacement de l’arborescence des répertoires où la variable est accessible, dépendra de l’emplacement de la variable dans l’arborescence (voir Chapitre 2). La règle permettant de déterminer la portée d’une variable est la suivante : une variable globale est accessible pour le répertoire où elle est définie et pour tout sous-répertoire lié à ce répertoire, à moins qu’une variable du même nom n’existe dans le sous-répertoire considéré.. Les conséquences de cette règle sont les suivantes :
Toutes ces règles peuvent sembler confuses à un nouvel utilisateur de la calculatrice. Elles peuvent toutes être simplifiées par la suggestion suivante : Créez des répertoires et des sous-répertoires au nom significatif pour organiser vos données et assurez-vous que toutes les variables globales dont vous avez besoin se trouvent dans le sous-répertoire approprié.
Les variables locales sont uniquement actives au sein d’un programme ou d’un sous-programme. Par conséquent, leur portée est limitée au programme où au sous-programme dans lequel elles sont définies. A titre d’exemple de variable locale, on peut citer l’index d’une boucle FOR (décrite ultérieurement dans ce chapitre), par exemple « → n x « 1 n FOR j x NEXT n LIST » »
Avec ce réglage de l’indicateur, les sous-menus et les commandes du menu PRG apparaîtront comme des étiquettes de menu. Cela facilite l’entrée des
Pour accéder au menu PRG, utilisez la combinaison de touches „°. Dans le menu PRG, nous identifions les sous-menus suivants (appuyez sur L pour passer à l’ensemble suivant de sous-menus du menu PRG) :
STACK : MEM : DIR : Fonctions permettant de manipuler les indices stockés dans les variables BRCH : Ensemble de sous-menus avec branchements de programmes et fonctions de boucle IF : Construction IF-THEN-ELSE-END pour branchements CASE : Construction CASE-THEN-END pour branchements START : Construction START-NEXT-STEP pour branchements FOR : Construction FOR-NEXT-STEP pour boucles DO : Construction DO-UNTIL-END pour boucles WHILE : Construction WHILE-REPEAT-END pour boucles TEST : Opérateurs de comparaison, opérateurs logiques, fonctions de test des indicateurs TYPE : Fonctions permettant de convertir des types d’objet, de diviser des objets, etc. LIST : Fonctions liées à la manipulation de listes ELEM : Fonctions permettant de manipuler les éléments d’une liste PROC : Fonctions permettant d’appliquer des procédures aux listes GROB : Fonctions permettant de manipuler des objets graphiques
MODES: Fonctions permettant de modifier les modes de la calculatrice FMT : Pour modifier le format des nombres ou le format des virgules ANGLE : Pour modifier la mesure des angles et les systèmes de coordonnées FLAG : Pour définir et désactiver les indicateurs et vérifier leur état KEYS : Pour définir et activer les touches définies par l’utilisateur (Chapitre 20) MENU : Pour définir et activer les menus personnalisés (Chapitre 20) MISC : Changements de mode divers (tonalité sonore, horloge, etc.) IN : Fonctions permettant l’entrée de programmes OUT : Fonctions permettant la sortie de programmes TIME : Fonctions liées au temps ALRM : Manipulation de l’alarme ERROR : Fonctions de gestion des erreurs IFERR : Construction IFERR-THEN-ELSE-END pour la gestion des erreurs RUN : Fonctions permettant d’exécuter et de déboguer des programmes
@)@DIR@@ ) ou au menu PRG (c’est-à-dire, @)@PRG@@ ).
La liste suivante répertorie menu. STACK MEM/DIR DUP PURGE SWAP RCL Les fonctions du sous-menu TIME sont accessibles par la combinaison de touches ‚Ó. Les fonctions STO et RCL (dans le sous-menu MEM/DIR) sont disponibles par les touches K et „© du clavier. Les fonctions RCL et PURGE (dans le sous-menu MEM/DIR) sont disponibles via le menu TOOL (I). Dans le sous-menu BRCH, si vous appuyez sur la touche majuscule gauche („) ou sur la touche majuscule droite (‚) avant d’appuyer sur l’une des touches de sous-menu, vous créez des constructions liées à la touche de sous-menu choisie. Cela fonctionne uniquement lorsque la calculatrice est en mode RPN. En voici quelques exemples : „@)@IF@@
Vous trouverez ci-dessous des séquences de touches permettant d’accéder aux commandes couramment utilisées pour la programmation numérique au sein du menu PRG. Les commandes sont d’abord répertoriées par menu :
ΣLIST, etc., disponibles via le menu MTH/LIST. A titre d’exercices de programmation supplémentaires, et pour essayer les séquences de touches répertoriées ci-dessus, nous présentons ici trois programmes permettant de créer ou de manipuler des listes. Les noms et les listes de programmes sont les suivants : LISC: « → n x « 1 n FOR j x NEXT n LIST » » CRLST: « → st en df « st en FOR : 5 ` 6.5 ` @LISC crée la liste : {6.5 6.5 6.5 6.5 6.5} Il s’agit de programmes générés par l’utilisation de la fonction DEFINE („à) avec un argument se présentant comme suit : 'nom_de_fonction(x1, x2, …) = expression contenant les variables x1, x2, …' Le programme est stocké dans une variable appelée nom_de_fonction. Le programme est alors rappelé vers la pile via ‚function_name. Le programme se présente comme suit :
A titre d’exemple, considérons la fonction suivante qui calcule la décharge d’unité (décharge par largeur d’unité), q, dans un canal ouvert rectangulaire large à l’aide de l’équation de Manning :
0.001 et 0.5. La valeur de Cu est également utilisée sans dimensions. Il faut toutefois s’assurer que la valeur de y0 contient les unités appropriées, c’est-àdire m dans S.I. et ft dans E.S. Le résultat pour q est retourné dans les unités appropriées du système correspondant utilisé, c’est-à-dire, m2/s dans S.I. et ft2/s dans E.S. Par conséquent, l’équation de Manning n’est pas cohérente sur le plan des dimensions. Supposons que nous souhaitions créer une fonction q(Cu, n, y0, S0) pour calculer la décharge d’unités q pour ce cas. Utilisez l’expression ‘q(Cu,n,y0,S0)=Cu/n*y0^(5./3.)*√S0’,
Dans ce cas, les termes impliqués dans la séquence d’opérations sont considérés comme présents dans la pile. Pour taper le programme, vous ouvrez d’abord les conteneurs du programme à l’aide de ‚å. La séquence des opérations à effectuer est ensuite saisie. Une fois toutes les opérations entrées, appuyez sur ` pour terminer le programme. S’il s’agit d’un programme utilisé une seule fois, vous pouvez à ce stade appuyer sur µ pour exécuter le programme en utilisant les données d’entrée disponibles. S’il doit s’agir d’un programme permanent, il doit être stocké dans le nom d’une variable. Le meilleur moyen de décrire ce type de programme consiste à utiliser un exemple : Exemple : Hauteur dynamique pour un canal rectangulaire. Supposons que nous souhaitions calculer la hauteur dynamique, hv, dans un canal rectangulaire de largeur b, la profondeur du flux étant y, et comportant
Pour les valeurs spécifiques considérées, nous utiliserons : 23 ` 32.2 ` 3 `2 ` Le programme lui-même contiendra uniquement les saisies de clavier (ou commandes) résultant de la suppression des valeurs d’entrée du calcul interactif présenté auparavant, c’est-à-dire de la suppression de Q, g, b et y de (ne tapez pas ces données) : y ` b *„º g *2* Q „º™/
Contrairement à l’utilisation interactive de la calculatrice présentée plus tôt, nous devons procéder à un échange des niveaux de pile 1 et 2 au sein du programme. Pour rédiger le programme, nous utiliserons par conséquent : ‚å * „º Echangez 2⋅g⋅ (b⋅y)2 et Q2 Divisez Q2 par 2⋅g⋅ (b⋅y)2 Entrez le programme
« * SQ * 2 * SWAP SQ SWAP / » Note : SQ est la fonction résultant de la séquence de touches „º. Effectuez une copie supplémentaire du programme et conservez-la dans une variable appelée hv:
Le résultat doit être 0.228174…, comme précédemment. De même, le programme est disponible pour une utilisation future dans la variable @@@hv@@@. Par exemple, pour Q = 0.5 m3/s, g = 9.806 m/s2, b = 1.5 m, et y = 0.5 m, utilisez : 0.5 # 9.806 #1.5 # 0.5 @@@hv@@@ Note : #est utilisé ici comme alternative à ` pour la saisie de données d’entrée. Le résultat est maintenant 2.26618623518E-2, c’est-à-dire : hv = 2.26618623518×10-2 m. Note : dans la mesure où l’équation programmée dans @@@hv@@@ est cohérente sur le plan des dimensions, on peut l’utiliser dans l’entrée. Comme indiqué précédemment, les deux types de programmes présentés dans cette section sont des programmes séquentiels, dans le sens où le flux des programmes suit un chemin unique, c’est-à-dire : INPUT OPERATION OUTPUT. On peut introduire des embranchements dans le flux du programme à l’aide des commandes du menu „°@)@BRCH@ . Vous trouverez ci-dessous de plus amples détails en ce qui concerne les embranchements des programmes.
Dans les exemples de programmes séquentiels présentés dans la section précédente, l’ordre dans lequel les variables doivent être placées dans la pile avant l’exécution du programme n’est pas toujours clair pour l’utilisateur. Dans le cas du programme @@@q@@@, rédigé ainsi «
« * SQ * 2 * SWAP SQ SWAP / » ne fournit pas d’indication quant à l’ordre dans lequel les données doivent être entrées, sauf, bien sûr, si vous disposez d’une grande expérience du RPN et du langage RPL Utilisateur. Pour vérifier le résultat du programme sous forme de formule, il faut entrer des variables symboliques au lieu des résultats numériques dans la pile et laisser le programme opérer sur ces variables. Pour que cette démarche soit efficace, le CAS (système algébrique de la calculatrice) doit être réglé sur les modes symbolic et exact. Pour ce faire, utilisez H@)CAS@, et assurez-vous que les options _Numeric et _Approx ne sont plus cochées. Appuyez sur @@OK@@ @@OK@ pour revenir à l’affichage normal de la calculatrice. Appuyez sur J pour afficher le menu de vos variables. Nous utiliserons cette dernière démarche pour vérifier que la formule résulte de l’utilisation du programme @@hv@@ comme suit : nous savons qu’il y a quatre entrées dans le programme; par conséquent, nous utilisons les variables symboliques S4, S3, S2, et S1 pour indiquer les niveaux de la pile en entrée : ~s4` ~s3`
Ces deux démarches pour identifier l’ordre des données d’entrée ne sont pas très efficaces. Vous pouvez cependant aider l’utilisateur à identifier les variables à utiliser en lui présentant une invite contenant le nom des variables. Parmi les différentes méthodes fournies par le langage RPL Utilisateur, la plus simple consiste à utiliser une chaîne d’entrée et la fonction INPUT („°L@)@@IN@@ @INPUT@) pour charger vos données d’entrée. Le programme suivant invite l’utilisateur à indiquer la valeur d’une variable a et place l’entrée dans le niveau de pile 1 : « “Enter a: “ {“:a: “ {2 0} V } INPUT OBJ→ » Ce programme contient le symbole :: (étiquette) et (retour), disponible via les combinaisons de touches „êet ‚ë, toutes deux associées à la touche . . Le symbole de l’étiquette (::) est utilisé pour étiqueter les chaînes pour l’entrée et la sortie. Le symbole de retour () équivaut à un retour chariot
Essayez d’exécuter le programme en appuyant sur la touche de menu étiquetée @INPTa.
Si vous deviez utiliser cette chaîne de code pour calculer la fonction, f(a) = 2*a^2+3, vous pourriez modifier le programme pour qu’il se présente comme suit : « “Enter a: “ {“:a: “ {2 0} V } INPUT OBJ→ → a « ‘2*a^2+3‘ » » Enregistrez ce nouveau programme sous le nom ‘FUNCa’ (FUNCtion de a) : Exécutez le programme en appuyant sur @FUNCa. Lorsque vous êtes invité à entrer la valeur de a, entrez par exemple 2, puis appuyez sur `. Le résultat est simplement la fonction algébrique 2a2+3, soit un résultat incorrect. La calculatrice fournit des fonctions permettant de déboguer les programmes afin d’identifier les erreurs logiques pendant l’exécution du programme comme indiqué ci-dessous.
Pour comprendre pourquoi le programme n’a pas fonctionné, nous utiliserons la fonction DBUG de la calculatrice comme suit : ³@FUNCa ` „°LL @)@RUN@ @@DBG@ @SST↓@ Lance le débogueur Débogage pas à pas, Résultat : “Enter a:” Résultat : {“ a:” {2 0} V} Résultat : l’utilisateur est invité à entrer la valeur de a Entrez une valeur de 2 pour a. Résultat : “:a:2” Résultat : a:2 Résultat : pile vide, exécution de →a Résultat : pile vide, entrée dans le sousprogramme « Ce passage en revue par le débogueur n’a fourni aucune information quant à la raison pour laquelle le programme ne calcule pas la valeur de 2a2+3 pour a = 2. Pour connaître la valeur de a dans le sous-programme, il faut exécuter de nouveau le débogueur et évaluer a au sein du sous-programme. Essayez les commandes suivantes : J ³@FUNCa ` „°LL @)@RUN@ @@DBG@ 1 de la pile Lance le débogueur
été arrêté. Appuyez sur $ pour revenir à l’affichage normal de la calculatrice. Note : En mode débogage, chaque fois que vous appuyez sur @SST↓@ l’angle supérieur gauche de l’écran indique l’étape du programme en cours d’exécution. Une fonction de touche appelée @@SST@ est également disponible dans le sous-menu @)RUN du menu PRG. Elle peut permettre d’exécuter immédiatement tout sous-programme appelé à partir d’un programme principal. Nous présenterons ultérieurement des exemples de l’application de @@SST@ . Correction du programme La seule explication possible à l’incapacité du programme à produire un résultat numérique semble être l’absence de la commande NUM après l’expression algébrique ‘2*a^2+3’. Modifiez le programme en ajoutant la
HOME, afin d’accueillir des exemples de chaînes d’entrée pour une, deux et trois valeurs de données d’entrée. Il s’agira de chaînes d’entrée génériques qui pourront être incluses à tout futur programme, en veillant à modifier le nom des variables en fonction des besoins de chaque programme. Commençons par créer un sous-répertoire appelé PTRICKS (Programming TRICKS) qui contiendra les indications de programmation que nous pourrons par la suite emprunter afin de les utiliser dans des exercices de programmation plus complexes. Pour créer le sous-répertoire, assurez-vous d’abord que vous passez dans le répertoire HOME. Dans ce répertoire HOME, utilisez les touches suivantes pour créer le sous-répertoire PTRICKS : ³~~ptricks`
Un programme peut comporter plus de 3 valeurs de données d’entrée. Lorsque vous utilisez des chaînes d’entrée, il faut limiter le nombre de valeurs de données d’entrée à 5, pour une raison simple : d’une manière générale, seuls 7 niveaux de la pile sont visibles. Si l’on utilise le niveau 7 pour donner un titre à la chaîne d’entrée et qu’on laisse le niveau 6 vide pour faciliter la lecture de l’écran, on dispose seulement des niveaux 1 à 5 pour définir les variables d’entrée.
Le programme de chaîne d’entrée pour deux valeurs d’entrée, disons a et b, se présente comme suit : « “Enter a and b: “ {“:a::b: “ {2 0} V } INPUT OBJ→
Application : évaluation de la fonction de deux variables Considérons l'équation des gaz parfaits, pV = nRT, où p = pression du gaz (Pa), V = volume du gaz(m3), n = nombre de moles (gmol), R = constante de gaz universelle = 8.31451_J/(gmol*K), et T = température absolue (K). On peut définir la pression p en tant que fonction de deux variables, V et T, comme p(V,T) = nRT/V pour une masse de gaz donnée dans la mesure où n restera également constant. Supposons que n = 0.2 gmol, la fonction à programmer est alors la suivante :
49887.06_J/m^3. Les unités de J/m^3 sont équivalentes à des Pascals (Pa), l’unité de pression de prédilection du système S.I. Note : dans la mesure où nous avons délibérément inclus les unités dans la définition de la fonction, les valeurs d’entrée doivent avoir des unités jointes en entrée pour produire le résultat approprié. Programme de chaîne d’entrée pour trois valeurs d’entrée Le programme de chaîne d’entrée pour trois valeurs d’entrée, disons a ,b, et c, se présente comme suit : « “Enter a, b and c: “ {“ :a: :b: :c: “ {2 0} V } INPUT OBJ→ » Il est facile de créer ce programme en modifiant le contenu de INPT2 pour qu’il se présente comme indiqué ci-dessus. Le programme ainsi produit peut alors être stocké dans une variable appelée INPT3. Ce programme permet de compléter l’ensemble de programmes de chaînes d’entrée qui vous permettront d’entrer une, deux ou trois valeurs d’entrée. Conservez ces programmes à titre de référence, puis copiez-les et modifiez-les pour répondre aux besoins des nouveaux programmes que vous rédigerez. Application : évaluation d’une fonction à trois variables Supposons que vous souhaitiez programmer la loi de gaz idéale, en incluant le nombre de moles, n, comme variable supplémentaire, c’est-à-dire qu’il s’agit de définir la fonction :
2. La définition des champs : une liste contenant une ou plusieurs définitions de champ {s1 s2 … sn}, où chaque définition de champ, si, peut présenter l’un des deux formats suivants : a. Une étiquette de champ simple : une chaîne de caractères b. Une liste de spécifications du formulaire {“label” “helpInfo” type0 type1 … typen}. “label” correspond à une étiquette de champ. “helpInfo” est une chaîne de caractères décrivant en détails l’étiquette du champ et les spécifications de type correspondent à une liste de types de variables admis pour le champ (voir le détail des types d’objet au Chapitre 24). 3. Des informations sur le format du champ : un seul numéro col ou une liste {col tabs}. Dans cette spécification, col est le nombre de colonnes de la case d’entrée et tabs (facultatif) spécifie le nombre d’arrêts de
4. La liste des valeurs de réinitialisation : un liste contenant les valeurs permettant de réinitialiser les différents champs si l’option @RESET est sélectionnée pendant l’utilisation du formulaire d’entrée. 5. La liste des valeurs initiales : une liste contenant les valeurs initiales des champs. Les listes des éléments 4 et 5 peuvent être vides. De même, si aucune valeur ne peut être sélectionnée pour ces options, vous pouvez utiliser la commande NOVAL („°L@)@@IN@@ @NOVAL@). Une fois la fonction INFORM activée, vous obtiendrez comme résultat soit un zéro, au cas où l’option @CANCEL serait entrée, soit une liste contenant les valeurs entrées dans les champs dans l’ordre spécifié et le numéro 1, c’est-àdire, dans la pile RPN : 2: 1:
0.000001). Le programme suivant définit un formulaire d’entrée via la fonction INFORM : « “ CHEZY’S EQN” { { “C:” “Chezy’s coefficient” 0} { “R:” “Hydraulic radius” 0 } { “S:” “Channel bed slope” 0} } { } { 120 1 .0001} { 110 1.5 .00001 } INFORM » 0 - nombres réels pour les trois champs : { { “C:” “Chezy’s coefficient” 0} { “R:” “Hydraulic radius” 0 } { “S:” “Channel bed slope” 0} } 3. Informations sur le format des champs : { } (une liste vide, par conséquent, les valeurs par défaut sont utilisées) 4. Liste des valeurs de réinitialisation : { 120 1 .0001} 5. Liste des valeurs initiales : { 110 1.5 .00001} Enregistrez le programme dans la variable INFP1. Appuyez sur @INFP1 pour exécuter le programme. Le formulaire d’entrée, avec valeurs initiales chargées, se présente comme suit :
(sélectionnez Reset all pour réinitialiser les valeurs des champs) :
Ainsi, nous avons démontré l’utilisation de la fonction INFORM. Pour voir comment utiliser ces valeurs d’entrée dans un calcul, modifiez le programme comme suit : « “ CHEZY’S EQN” { { “C:” “Chezy’s coefficient” 0} { “R:” “Hydraulic radius” 0 } { “S:” “Channel bed slope” 0} } { } Note : la fonction MSGBOX appartient à l’ensemble des fonctions de sortie dans le sous-menu PRG/OUT. Les commandes IF, THEN, ELSE, END sont disponibles dans le sous-menu PRG/BRCH/IF. Les fonctions OBJ, TAG sont disponibles dans le sous-menu PRG/TYPE. La fonction DROP est disponible dans le menu PRG/STACK. Les fonctions et NUM sont disponibles par le clavier. Exemple 2 – Pour illustrer l’utilisation de l’élément 3 (informations sur le format du champ) dans les arguments de la fonction INFORM, modifiez la liste vide utilisée dans le programme INFP1 en la remplaçant par { 2 1 }, ce qui signifie 2 colonnes au lieu de 3 qui est la valeur par défaut, et un seul arrêt de tabulation entre les étiquettes et les valeurs. Stockez ce nouveau programme dans la variable INFP2 : «
également le résultat de ce choix. b. Une liste {objet_affiché objet_résultat} de sorte que objet_affiché est répertorié dans la CHOOSE box alors que objet_résultat est sélectionné comme résultat si ce choix est sélectionné. 3. Un nombre indiquant l’emplacement du choix par défaut dans la liste des définitions de choix. Si ce nombre est 0, aucun choix par défaut n’est mis en surbrillance. L’activation de la fonction CHOOSE retourne soit un zéro, si une action @CANCEL est utilisée, soit, si un choix est fait, le choix sélectionné (par exemple, v) et le numéro 1, c’est-à-dire, dans la pile RPN : 2: v 1: 1 Enregistrez-le dans la variable CHP1 (CHoose Program 1) : «
CHOOSE des endroits une valeur de 1 ou une valeur de 1.486 dans le niveau 2 et un 1 de pile dans le niveau 1. Si vous annulez la CHOOSE box, CHOICE retourne un zéro (0). Les valeurs retournées par la fonction CHOOSE peuvent être influencées par d’autres commandes du programme, comme indiqué dans le programme modifié CHP2 : «
Le moyen le plus simple d’identifier la sortie des programmes numériques consiste à “étiqueter” les résultats du programme. Une étiquette est simplement une chaîne attachée à un nombre ou à tout autre objet. Cette chaîne correspond au nom associé à l’objet. Par exemple, nous avons vu précédemment que lors du débogage des programmes INPTa (ou INPT1) et INPT2, on obtenait comme résultats une sortie numérique étiquetée telle que :a:35.
Pour étiqueter un résultat numérique, vous devez placer le nombre dans le niveau 2 de la pile, puis utiliser la fonction →TAG („ ° @)TYPE@ @ TAG) Par exemple, pour produire le résultat étiqueté B:5., utilisez :
Pour décomposer un résultat étiqueté en sa valeur numérique et son étiquette, il suffit d’utiliser la fonction OBJ („°@)TYPE@ @OBJ @). La décomposition d’un nombre étiqueté à l’aide de →OBJ aboutit au placement de la valeur numérique au niveau 2 de la pile et de l’étiquette au niveau 1 de la pile. Si vous souhaitez utiliser uniquement la valeur numérique, vous pouvez supprimer l’étiquette à l’aide de la touche de retour ƒ. Par exemple, la décomposition de la quantité étiquetée B:5 (voir ci-dessus), produit :
Exemple 1 : étiquetage de la sortie de la fonction FUNCa Modifions la fonction FUNCa, définie précédemment, pour produire une sortie étiquetée. Utilisez ‚ @FUNCa pour rappeler le contenu de FUNCa dans la pile : Le programme de la fonction d’origine se présente comme suit : «
2 à l’invite, puis appuyez sur `. Le résultat est maintenant le résultat étiqueté F:11. Exemple 2 : étiquetage de l’entrée et de la sortie de la fonction FUNCa
Exécutez ensuite le programme en appuyant sur @FUNCa . Entrez une valeur de 2 à l’invite, puis appuyez sur `. Le résultat est maintenant deux nombres étiquetés a:2. dans le niveau 2 de la pile, et F:11. dans le niveau 1 de la pile. Note : dans la mesure où l’on utilise une chaîne d’entrée pour obtenir la valeur des données d’entrée, la variable locale a stocke une valeur étiquetée ( :a:2, dans l’exemple ci-dessus). Par conséquent, il n’est pas nécessaire de l’étiqueter dans l’entrée. Il suffit de placer un a avant la fonction SWAP dans le sous-programme ci-dessus et l’entrée étiquetée est placée dans la pile. Il convient de souligner que, lors du calcul de la fonction, l’étiquette de l’entrée a est automatiquement abandonnée et que seule sa valeur numérique est utilisée dans le calcul. Pour afficher l’opération de la fonction FUNCa, pas à pas, vous pouvez utiliser la fonction DBUG comme suit : ³ @FUNCa ` „°LL @)@RUN@ @@DBG@ @SST↓@ Débogage pas à pas, Résultat : “Enter a:” Résultat : {“ a:” {2 0} V}
Dans cet exemple, nous modifions le programme @@@p@@@ afin que la sortie et l’entrée soient étiquetées ainsi que le résultat. Utilisez ‚@@@p@@@ pour rappeler le contenu du programme dans la pile : “Enter V, T, and n:“ {“ :V: :T: :n:“ {2 0} V } INPUT OBJ→ → V T n ‘(8.31451_J/(K*mol))*(n*T/V)‘ »
Pour supprimer tout caractère lors de la modification du programme, placez le curseur à droite du caractère à supprimer et utilisez la touche de retour arrière ƒ. Stockez de nouveau le programme dans la variable p en utilisant „@@@p@@@. Exécutez ensuite le programme en appuyant sur @@@p@@@. Entrez les valeurs V = 0.01_m^3, T = 300_K, et n = 0.8_mol, lorsque vous y êtes invité. Avant d’appuyer sur ` pour entrer les valeurs, la pile se présente ainsi :
La boîte de message constitue une solution plus élégante pour présenter la sortie d’un programme. La commande de boîte de message dans la calculatrice est obtenue par „°L@)@OUT@ @MSGBO@. La commande de boîte de message requiert que la chaîne de sortie à placer dans la zone soit disponible au niveau 1 de la pile. Pour visualiser l’opération de la commande MSGBOX, essayez l’exercice suivant : ‚Õ~‚t~„ê1.2 ‚Ý ~„r~„a~„d Vous pouvez utiliser une boîte de message pour la sortie d’un programme via une sortie étiquetée convertie en chaîne, en tant que chaîne de sortie pour MSGBOX. Pour convertir en chaîne un résultat étiqueté ou toute valeur
Vous remarquerez qu’après avoir utilisé la séquence de touches ‚ë une nouvelle ligne est générée dans la pile. La dernière modification à inclure consiste à tapez le signe plus (+) trois fois après l’appel de la fonction au tout début du sous-programme.
Pour visualisez le fonctionnement du programme : • • • Entrez les valeurs V = 0.01_m^3, T = 300_K, et n = 0.8_mol, lorsque vous y êtes invité.
Incorporation d’unités dans un programme Comme vous avez pu l’observer dans tous les exemples donnés pour les différentes versions du programme @@@p@@@ présentées dans ce chapitre, l’adjonction de valeurs d’entrée peut être un processus fastidieux. Vous pouvez demander au programme lui-même de joindre ces unités aux valeurs
Rappelez le contenu du programme @@@p@@@ dans la pile en utilisant ‚@@@p@@@, et modifiez-le pour qu’il se présente ainsi : Note : j’ai divisé le programme arbitrairement en plusieurs lignes pour faciliter sa lecture. Ce programme n’apparaît pas nécessairement ainsi dans la pile de la calculatrice. La séquence de commandes est cependant correcte. N’oubliez pas par ailleurs que le caractère n’apparaît pas dans la pile mais produit une nouvelle ligne. « “Enter V,T,n [S.I.]: “ {“ :V: :T: :n: “ {2 0} V } INPUT OBJ→ → V T n « V ‘1_m^3’ * T ‘1_K’ * n ‘1_mol’ * → V T n V:0.01) est placée dans la pile.
Appuyez sur @@@OK@@@ pour annuler la sortie de la boîte de message.
Modifions de nouveau le programme @@@p@@@ pour éliminer l’utilisation des unités dans tout le programme. Le programme sans unité se présente ainsi : « “Enter V,T,n [S.I.]: “ {“ :V: :T: :n: “ {2 0} V } INPUT OBJ→ → V T n « V DTAG T DTAG n DTAG → V T n Opérateurs relationnels et logiques Jusqu’à présent, nous avons principalement travaillé avec des programmes séquentiels. Le langage RPL Utilisateur fournit des déclarations qui permettent les embranchements et la mise en boucle du flux du programme. Bon nombre d’entre elles prennent des décisions qui dépendent de la déclaration logique, vraie ou fausse. Dans cette section, nous présentons certains des éléments utilisés pour construire de telles déclarations logiques, c’est-à-dire des opérateurs relationnels et logiques.
Les opérateurs relationnels sont utilisés pour comparer la position relative de deux objets. Par exemple, si on traite uniquement avec des nombres réels, les opérateurs relationnels permettent de faire une déclaration concernant la position relative de deux nombres réels ou plus. Selon les nombres utilisés, une telle déclaration peut être vraie (représentée par la valeur numérique 1.
‘2<10’ µ, Résultat : 1. (vrai) ‘2>10’ µ, Résultat : 0. (faux) Dans l’exemple suivant, on suppose que la variable m n’est pas initialisée (qu’on ne lui a pas attribué de valeur numérique) : ‘2== m’µ, Résultat : ‘2==m’ Le fait que le résultat de l’évaluation de la déclaration soit la même déclaration originelle, indique que cette déclaration ne peut être évaluée de manière unique.
L’embranchement d’un flux de programme implique que le programme choisit l’un de deux ou plusieurs flux possibles. Le langage RPL Utilisateur fournit un certain nombre de commandes qui peuvent être utilisées pour programmer des embranchements. Les menus contenant ces commandes sont accessibles via la séquence de touches : „°@)@BRCH@ Ce menu présente les sous-menus pour les constructions de programmes
CASE…THEN…END seront désignées comme des constructions d’embranchements de programmes. START, FOR, DO, et WHILE, sont appropriées pour contrôler le traitement répétitif au sein d’un programme et seront désignées comme des constructions en boucle de programmes. Ces derniers types de constructions de programmes sont présentés avec de plus amples détails dans une section ultérieure.
IF…THEN…END et IF…THEN…ELSE…END. La construction IF…THEN…END La construction IF…THEN…END est la plus simple des constructions de programmes IF. Le format général de cette construction est le suivant : IF déclaration_logique THEN déclarations_programme END. Le fonctionnement de cette construction est le suivant : 1. Evaluez déclaration_logique. 2. Si déclaration_logique est vraie, exécutez déclarations_programme et poursuivez le flux du programme après la déclaration END. 3. Si déclaration_logique est fausse, ignorez déclarations_programme et poursuivez le flux du programme après la déclaration END. Pour taper les particules IF, THEN, ELSE et END, utilisez : „°@)@BRCH@ @)@IF@@ Les fonctions @@@IF@@ @@THEN @@ELSE@ @@ END@@ sont disponibles dans ce menu pour être tapées de manière sélective par l’utilisateur. Pour produire une construction IF…THEN…END directement dans la pile, utilisez : „°@)@BRCH@ „ @)@IF@@
La construction IF…THEN…ELSE…END La construction IF…THEN…ELSE…END permet deux flux de programme au choix en fonction de la valeur de vérité de la déclaration_logique. Le format général de cette construction est le suivant : IF déclaration_logique THEN déclarations_programme_si_vrai ELSE déclarations_programme_si_faux END. Le fonctionnement de cette construction est le suivant : 1. Evaluez déclaration_logique.
„°@)@BRCH@ ‚ @)@IF@@ Cela crée l’entrée suivante dans la pile :
Les boucles de programmes sont des constructions permettant au programme d’exécuter un certain nombre de déclarations en les répétant. Supposons par exemple que vous souhaitiez calculer la somme des carrés des nombres entiers de 0 à n, c’est-à-dire : n
START…NEXT est utilisée lorsque l’incrément de l’index est égal à 1, alors
Les commandes participant à la construction START sont disponibles via : „°@)@BRCH@ @)START @START Dans le menu BRCH („°@)@BRCH@) les touches suivantes sont disponibles pour générer des constructions START (le symbole indique la position du curseur) : •
à l’utilisateur. Dans la mesure où pour effectuer le calcul de la somme, il faut disposer de l’index lui-même (k, dans ce cas), nous devons créer notre propre index, k, que nous incrémenterons au sein de la loupe à chaque exécution de celle-ci. Le programme suivant représente une implémentation possible du calcul de S : 0. DUP → n S k « 0. n START k SQ S + 1. ‘k‘ STO+ ‘S‘ STO NEXT S “S” TAG » »
1. Ce programme doit disposer d’un nombre entier en entrée. Par conséquent, avant de l’exécuter, ce nombre (n) se trouve au niveau 1 de la pile. Le programme est alors exécuté. 2. On entre un zéro, ce qui déplace n au niveau 2 de la pile. 3. La commande DUP, qui peut être tapée comme ~~dup~, copie le contenu du niveau 1 de la pile, déplace tous les niveaux de la pile vers le haut et place la copie qui vient d’être effectuée au niveau 1 de la pile. Par conséquent, après l’exécution de DUP, n se trouve au niveau 3 de la pile tandis que des zéros remplissent les niveaux 1 et 2 de la pile. 4. L’élément de code → n S k stocke les valeurs de n, 0 et 0 respectivement dans les variables locales n, S, k. On dit alors que les variables n, S, et k ont été initialisées (S et k à zéro, n à la valeur choisie par l’utilisateur). 5. L’élément de code 0. n START identifie une boucle START dont l’index prendra les valeurs 0, 1, 2, …, n 6. La somme S est incrémentée de k2 dans l’élément de code rédigé : k SQ S + 7. L’index k est incrémenté de 1 dans l’élément de code rédigé : 1. k + 8. A ce stade, les valeurs mises à jour de S et k sont disponibles respectivement aux niveaux 2 et 1 de la pile. L’élément de code ‘k‘ STO stocke la valeur du niveau 1 de la pile dans la variable locale k. La valeur mise à jour de S occupe maintenant le niveau 1 de la pile. 9. L’élément de code ‘S‘ STO stocke la valeur du niveau 1 de la pile dans la variable locale k. La pile est maintenant vide. 10. La particule NEXT augmente l’index de un et envoie le contrôle du début de la boucle (étape 6). 11. La boucle est répétée jusqu’à ce que l’index de la boucle atteigne la valeur maximale, n. 12. La dernière partie du programme rappelle la dernière valeur de S (la somme), l’étiquette et la place au niveau 1 de la pile où elle peut être vue par l’utilisateur en tant que sortie du programme.
Pile vide (START – début de la boucle)
@SST↓@ SL1 = 0. (k) SL1 = 5 (S est rappelé dans la pile) @SST↓@ SL1 = “S”, SL2 = 5 (“S” est placé dans la PILE @SST↓@ SL1 = S:5 (étiquetage de la valeur de sortie)
Vérifiez également les résultats suivants : J 3 5 Supposons que vous souhaitiez générer une liste de valeurs de x de x = 0.5 à x = 6.5 par incréments de 0.5. Vous pouvez rédiger le programme suivant : « → xs xe dx « xs DUP xe START DUP dx + dx STEP DROP xe xs – dx / ABS 1 + →LIST » »
Enfin, le programme assemble une liste des éléments placés dans la pile. • •
Pour visualiser le fonctionnement pas à pas, utilisez le programme DBUG pour obtenir une brève liste, par exemple :
[ ‘ ] @GLIST ` Use @SST↓@ pour entrer dans le programme et visualiser le fonctionnement détaillé de chaque commande.
Les commandes impliquées dans la construction FOR sont disponibles via :
DO déclarations_programme UNTIL déclaration_logique END La commande DO lance une boucle sans fin exécutant le programme déclarations_programme jusqu’à ce que la déclaration_logique retourne FALSE (0). La déclaration_logique doit contenir la valeur d’un index dont la valeur est modifiée dans les déclarations_programme. Exemple 1 - ce programme produit un compteur dans l’angle supérieur gauche de l’écran, lequel ajoute 1 dans une boucle sans fin jusqu’à ce qu’une touche (appuyez sur n’importe quelle touche) arrête le compteur : « 0 DO DUP 1 DISP 1 + UNTIL KEY END DROP » La commande KEY est évaluée comme TRUE lorsque vous appuyez sur une touche. Exemple 2 : calculez la somme S à l’aide d’une construction DO…UNTIL…END Le programme suivant calcule la somme n
Use @SST↓@ pour entrer dans le programme et visualiser le fonctionnement détaillé de chaque commande.
WHILE déclaration_logique REPEAT déclarations_programme END La déclaration WHILE répète les déclarations_programme tandis que déclaration_logique est vraie (autre que zéro). Dans le cas contraire, le contrôle du programme est transmis à la déclaration suivant immédiatement
Use @SST↓@ pour entrer dans le programme et visualiser le fonctionnement détaillé de chaque commande.
Les fonctions du sous-menu PRG/ERROR permettent de manipuler les erreurs dans la calculatrice et de détecter les erreurs dans les programmes. Le sousmenu PRG/ERROR, disponible via „°LL@)ERROR@ , contient les fonctions et sous-menus suivants :
Cette fonction accepte comme argument soit un nombre entier, soit un nombre entier binaire, soit un message d’erreur, soit le nombre zéro (0). Par exemple, en mode RPN, la saisie de 5` @DOERR produit le message d’erreur suivant : Error: Memory Clear Si vous entrez #11h ` @DOERR, vous obtenez le message suivant : Error: Undefined FPTR Name Si vous entrez “TRY AGAIN” ` @DOERR, vous obtenez le message d’erreur
0Y$@ERR0 @ERRM, vous obtenez la chaîne vide “ “.
5U`. L’utilisation de LASTARG après ces entrées produit un 5.
IF trap-clause THEN error-clause END IF trap-clause THEN error-clause ELSE normal-clause END Le fonctionnement de ces constructions logiques est similaire à celui des constructions IF … THEN … END et IF … THEN … ELSE … END. Si une erreur est détectée lors de l’exécution de trap-clause, error-clause est exécutée. Dans le cas contraire, la clause normal-clause est exécutée. A titre d’exemple, considérons le programme suivant (@ERR1) qui accepte en entrée deux matrices, A et b, et vérifie s’il existe une erreur dans la clause trap : A b / (mode RPN, c’est-à-dire, A/b). Si une erreur est présente, le programme accepte la fonction LSQ (Least SQuares, voir Chapitre 11) pour résoudre le système d’équations suivant : «
Premièrement, lancer la fonction RPL> à partir du catalogue de commande (‚N). Toutes les fonctions lancées en mode ALG ont leur nom entre parenthèses. La fonction RPL> ne fait pas exception, mais la parenthèse doit être enlevée avant de saisir un programme sur l’écran. Utilisez les touches directionnelles (š™) et la touche d’effaçage (ƒ) pour enlever les parenthèses de la ligne RPL>() . Maintenant, vous pouvez saisir le programme RPL. Les figures suivantes indiquent la commande RPL> avec le programme avant et après avoir appuyer sur la touche `.
Nous présentons un certain nombre d’applications graphiques de la calculatrice au Chapitre 12. Les exemples donnés au Chapitre 12 représentent la production interactive de graphiques à l’aide des formulaires d’entrée pré-programmés de la calculatrice. Il est également possible d’utiliser des graphiques dans vos programmes, par exemple pour compléter les résultats numériques par des graphiques. Pour ce faire, nous présentons d’abord la fonction du menu PLOT.
81.01 „°L@)MODES @)MENU@ @@MENU@.
Pour l’application dans les exemples suivants, paramétrons la touche C (GRAPH) pour pouvoir accéder facilement à ce menu, comme expliqué cidessous.
Pour définir une touche, il faut ajouter à cette liste une commande ou un programme suivi d’une référence à la touche (pour plus de détails, voir le Chapitre 20). Saisissez la liste { S << 81.01 MENU >> 13.0 }dans la pile et utilisez la fonction STOREKEYS („°L@)MODES @)@KEYS@ @@STOK@) afin de définir la touche C comme touche d’accès au menu PLOT. Vérifiez qu’une telle liste a été stockée dans la calculatrice en utilisant la commande „°L@)MODES @)@KEYS@ @@RCLK@. Note : nous ne proposerons pas d’exercice pendant la présentation du menu PLOT, de ses fonctions ou sous-menus. Cette section s’apparente davantage à une visite guidée du contenu du menu PLOT et de ses relations avec les différents types de graphiques disponibles dans la calculatrice. Pour activer une touche définie par l’utilisateur, vous devez appuyer sur „Ì (identique à la touche ~) avant d’appuyer sur la touche ou la combinaison de touches appropriée. Pour activer le menu PLOT à l’aide de la définition de touche utilisée ci-dessus, appuyez sur : „Ì C. Vous obtenez alors le menu suivant (appuyez sur L pour passer au deuxième menu)
La fonction LABEL permet d’étiqueter les axes d’un tracé, y compris les noms de variables et les valeurs minimale et maximale des axes. Les noms de variables sont sélectionnés à partir d’informations figurant dans la variable PPAR. AUTO (11) La fonction AUTO (AUTOscale) calcule une plage d’affichage pour l’axe y ou pour les axes y et x dans des tracés en deux dimensions en fonction du type de tracé défini dans la variable PPAR. Pour tout graphique en trois dimensions, la fonction AUTO ne produit pas d’action. Pour les tracés en deux dimensions, la fonction AUTO effectue les opérations suivantes :
: produit un résultat similaire à celui de la fonction POLAR en fonction des valeurs du paramètre définissant les équations pour x et y. : ne produit aucune action. : la plage de l’axe x est définie entre 0 et n+1 avec n correspondant au nombre d’éléments figurant dans ΣDAT. La plage des valeurs de y est fondée sur le contenu de ΣDAT. Les valeurs minimale et maximale de y sont déterminées de manière que l’axe x soit toujours inclus dans le graphique. : similaire à la fonction BAR. : définit la plage des axes x et y en fonction du contenu des variables indépendante et dépendante de ΣDAT.
La fonction INFO est uniquement interactive (c’est-à-dire qu’elle ne peut pas être programmée). Lorsque vous appuyez sur la touche de menu correspondante, vous obtenez des informations sur les paramètres actuels du tracé. EQ (3) Le nom de variable EQ est réservé par la calculatrice pour stocker l’équation actuelle dans des tracés ou dans la solution des équations (voir le chapitre …). La touche de menu étiquetée EQ dans ce menu peut être utilisée de la même
La fonction DRAX dessine les axes dans le tracé actuel, s’ils sont visibles. DRAW (6) La fonction DRAW dessine le tracé défini dans la fonction PPAR. Le menu PTYPE sous PLOT (1) Le menu PTYPE répertorie le nom de tous les types de tracés en deux dimensions pré-programmés dans la calculatrice. Le menu contient les touches suivantes :
Paramétrique, Truth et Eq. diff, présentés auparavant. Si vous appuyez sur l’une des ces touches de menu tout en saisissant un programme, l’appel de la fonction correspondante est intégré au programme. Appuyez sur L )@PLOT pour revenir au menu PLOT principal. Le menu PPAR (2) Le menu PPAR répertorie les différentes options de menu pour la variable PPAR telles que définies par les étiquettes de touches de menu suivantes. Appuyez sur L pour passer aux menus suivants :
Le schéma ci-dessous illustre les fonctions disponibles dans le menu PPAR. Les lettres associées à chaque fonction du schéma sont utilisées à des fins de référence dans la description des fonctions présentées ci-dessous.
Si vous appuyez sur @INFO, ou saisissez ‚ @PPAR, pendant que vous êtes dans ce menu, vous obtiendrez la liste des paramètres PPAR actuels, par exemple :
(Xrng), la plage de l’axe y se situe entre –3.1 et 3.2 (Yrng). La dernière information figurant à l’écran, la valeur de Res (résolution) détermine l’intervalle de la variable indépendante utilisé pour générer le tracé. Les étiquettes des touches de menu incluses dans le menu PPAR(2) représentent des commandes qui peuvent être utilisées dans des programmes. Il s’agit notamment des commandes suivantes : INDEP (a) La commande INDEP spécifie la variable indépendante et la plage de son tracé. Ces spécifications sont stockées dans le troisième paramètre de la variable PPAR. La valeur par défaut est 'X'. Les valeurs qui peuvent être affectées à la spécification de la variable indépendante sont les suivantes : • Un nom de variable, par exemple : 'Vel' • Un nom de variable dans une liste, par exemple : { Vel } • Un nom de variable et une plage dans une liste, par exemple : { Vel 0 20 } • Une plage sans nom de variable, par exemple : { 0 20 } • Deux valeurs représentant une plage, par exemple : 0 20 Dans un programme, toute spécification de ce type est suivie de la commande INDEP. DEPND (b) La commande DEPND spécifie le nom de la variable dépendante. Dans le cas des tracés TRUTH, elle spécifie également la plage du tracé. La valeur par défaut est Y. Les types de spécifications de la variable DEPND sont les mêmes que celles de la variable INDEP. XRNG (c) et YRNG (d) La commande XRNG spécifie la plage de tracé de l’axe x, tandis que la commande YRNG spécifie la plage de tracé de l’axe y. La saisie pour l’une
L’exécution de SCALEW modifie les valeurs de xmin et xmax dans PPAR.
SCALEW ou SCALEH peuvent être utilisées pour effectuer un zoom avant ou un zoom arrière dans un tracé. ATICK (l) La commande ATICK (cochage des axes) permet de définir les marques de cochage des axes. La valeur d’entrée de la commande ATICK peut être l’une des suivantes : • • Un entier binaire #n: définit à la fois les annotations de cochage des axes x et y sur #n pixels
AXES (k) La valeur d’entrée pour la commande des axes se compose soit d’une paire ordonnée (x,y), soit d’une liste {(x,y) atick "x-axis label" "y-axis label"}. Le paramètre atick représente la spécification des annotations de cochage telles que décrites ci-dessus pour la commande ATICK. La paire ordonnée représente le centre du tracé. Si une paire ordonnée seulement est fournie comme entrée pour AXES, seule l’origine des axes est modifiée. L’argument pour la commande AXES, qu’il s’agisse d’une paire ordonnée ou d’une liste de valeurs, est stocké en tant que cinquième paramètre dans PPAR.
Ce bouton réinitialise les paramètres du tracé en fonction des valeurs par défaut. Le menu 3D de PLOT (7) Le menu 3D contient deux sous-menus, PTYPE et VPAR, ainsi qu’une variable, EQ. Nous nous sommes déjà familiarisés avec la signification de EQ ; par conséquent, nous nous concentrerons ici sur le contenu des menus PTYPE et VPAR. Le schéma ci-dessous présente les subdivisions du menu 3D.
Le menu PTYPE sous 3D contient les fonctions suivantes :
Y-Slice, Ps-Contour, Gridmap and Pr-Surface présentées au début de ce chapitre. Si vous appuyez sur l’une des ces touches de menu tout en saisissant
Le menu VPAR de 3D (V) La variable VPAR correspond aux PARamètres de Volume, ce qui désigne un parallélépipède dans l’espace à l’intérieur duquel le graphique en trois dimensions est construit. Lorsque vous appuyez sur [VPAR] dans le menu 3D, vous obtenez les fonctions suivantes. Appuyez sur L pour passer au menu suivant :
INFO (S) et VPAR (W) Lorsque vous appuyez sur @INFO (S), vous obtenez les informations qui figurent sur l’écran de gauche représenté ci-dessus. Les plages de Xvol, Yvol et Zvol décrivent l’étendue du parallélépipède dans l’espace où la graphique sera généré. Xrng et Yrng décrivent la plage de valeurs de x et y respectivement, en tant que variables indépendantes dans le plan x-y qui sera utilisé pour générer les fonctions sous la forme z = f(x,y). Appuyez sur L and @INFO (Y) pour afficher les informations figurant dans l’écran représenté à droite ci-dessus. Il s’agit des valeurs correspondant à l’emplacement du point de vue pour le graphique en trois dimensions (Xeye, Yeye, Zeye) et du nombre d’étapes dans x et dans y permettant de générer une grille pour les tracés de surface. XVOL (N), YVOL (O) et ZVOL (P) Ces fonctions acceptent comme entrée une valeur minimale et une valeur maximale et permettent de spécifier l’étendue du parallélépipède dans lequel
YVOL et ZVOL sont –1 à 1. XXRNG (Q) and YYRNG (R) Ces fonctions acceptent comme entrée une valeur minimale et une valeur maximale et permettent de spécifier les plages des variables x et y et de générer les fonctions z = f(x,y). La valeur par défaut des plages XXRNG et YYRNG sera identique à celle des plages XVOL et YVOL. EYEPT (T) La fonction EYEPT accepte comme entrée les valeurs réelles x, y et z représentant l’emplacement du point de vue pour un graphique en trois dimensions. Le point de vue est un point dans l’espace depuis lequel on observe le graphique en trois dimensions. Le changement de point de vue produit des vues différentes du graphique. La figure ci-dessous illustre le point de vue par rapport à l’espace réel du graphique et à sa projection dans le plan de l’écran. NUMX(U) et NUMY (V) Les fonctions NUMX et NUMY permettent de spécifier le nombre de points ou d’étapes à utiliser dans chaque direction de la grille de base à partir de laquelle on peut obtenir les valeurs z = f (x,y). VPAR (W) Il s’agit simplement d’une référence à la variable VPAR. RESET (X) Réinitialise les paramètres à l’écran en utilisant les valeurs par défaut. Appuyez sur L@)@3D@@ pour revenir au menu 3D. Appuyez sur @)PLOT pour revenir au menu PLOT.
(histogramme) (B) et Scatter (nuage) (C), présentés précédemment. Si vous appuyez sur l’une des ces touches de menu tout en saisissant un programme, l’appel de la fonction correspondante est intégré au programme. Appuyez sur @)STAT pour revenir au menu STAT. Le menu DATA dans STAT (II) Le menu DATA fournit les fonctions suivantes :
Appuyez sur @)STAT pour revenir au menu STAT.
Le menu ΣPAR fournit les fonctions suivantes :
La touche INFO de ΣPAR fournit les informations illustrées dans l’écran cidessus. Les informations répertoriées à l’écran se trouvent dans la variable ΣPAR. Les valeurs présentées sont les valeurs par défaut pour la colonne des x, la colonne des y, l’interception et l’inclinaison d’un modèle d’intégration de données, ainsi que le type de modèle à adapter aux données dans ΣDAT. XCOL (H) La commande XCOL permet d’indiquer la ou les colonnes de ΣDAT, qui représentera la colonne des x ou la colonne des variables indépendantes. YCOL (I) La commande YCOL permet d’indiquer la ou les colonnes de ΣDAT, qui représentera la colonne des y ou la colonne des variables indépendantes. MODL (J) La commande MODL fait référence au modèle à sélectionner pour intégrer les données à ΣDAT, si une intégration des données est mise en oeuvre. Pour connaître les options disponibles, appuyez sur @!MODL. Le menu suivant s’affiche :
Cette fonction réinitialise le contenu de ΣPAR en utilisant les valeurs par défaut. Appuyez sur L @)STAT pour revenir au menu STAT. Appuyez sur [PLOT] pour revenir au menu PLOT principal. Le menu FLAG dans PLOT Le menu FLAG est interactif, ce qui vous permet de sélectionner l’une ou l’autre des options suivantes : •
: lorsque cette option est sélectionnée, et si plusieurs graphiques doivent être tracés dans la même série d’axes, tous les graphiques sont tracés simultanément.
Selon qu’il s’agit d’un graphique en deux dimensions défini par une fonction, de données provenant de ΣDAT ou d’un graphique défini par une fonction en trois dimensions, vous devez définir les variables PPAR, ΣPAR, et/ou VPAR avant de générer un tracé dans un programme. Les commandes présentées à la section précédente vous aident à définir ces variables.
Les graphiques en deux dimensions générés par des fonctions, à savoir, Fonction, Conique, Paramétrique, Polaire, Truth et Equation différentielle, utilisent PPAR avec le format : { (xmin, ymin) (xmax, ymax) indep res axes ptype depend } Les graphiques en deux dimensions générés par des données de la matrice statistique ΣDAT, à savoir, Bar (bâton), Histogram (histogramme), et Scatter (nuage), utilisent la variable ΣPAR avec le format suivant : { x-column y-column slope intercept model } tout en utilisant PPAR avec le format présenté ci-dessus. La signification des différents paramètres de PPAR et ΣPAR était présentée à la section précédente.
Les graphiques en trois dimensions disponibles, à savoir les options Slopefield, Wireframe, Y-Slice, Ps-Contour, Gridmap et Pr-Surface, utilisent la variable VPAR avec le format suivant : {xleft, xright, ynear, yfar, zlow, zhigh, xmin, xmax, ymin, ymax, xeye, yeye, zeye, xstep, ystep} Ces paires de valeurs x, y et z représentent les éléments suivants : • Dimensions du nouveau parallélépipède (xleft, xright, ynear, yfar, zlow, zhigh)
En résumé, pour produire un tracé dans un programme, il faut le cas échéant charger EQ. Chargez ensuite PPAR, PPAR et ΣPAR ou PPAR et VPAR. Enfin, utilisez le nom du type de tracé approprié : FUNCTION, CONIC, POLAR, PARAMETRIC, TRUTH, DIFFEQ, BAR, HISTOGRAM, SCATTER, SLOPE, WIREFRAME, YSLICE, PCONTOUR, GRIDMAP ou PARSURFACE, afin de produire votre tracé.
Exemple 1 – Tracé de fonction : „ÌC Définissez ‘s’ en tant que variable dépendante
Revenez au menu PLOT Effacez l’image, les axes de dessins, les étiquettes Dessinez la fonction et affichez l’image Supprime les étiquettes de menu Revient à l’affichage normal de la calculatrice
Exemple 2 – Tracé paramétrique (Employez RAD comme angles) : „ÌC EQ Affichez les paramètres du tracé Définissez ‘t’ en tant que variable indép. Définissez ‘Y’ en tant que variable dépendante
Revenez au menu PLOT Effacez l’image, les axes de dessins, les étiquettes Dessinez la fonction et affichez l’image Terminez le tracé
Stockez la fonction complexe r = f(θ) dans EQ Affichez les paramètres du tracé Définissez ‘θ’ en tant que variable dépendante Définissez ‘Y’ en tant que variable dépendante Définissez (-3,3) e tant que plage x Définissez (-0.5,2.5) en tant que plage y Liste de définitions des axes Définissez les axes, le centre, les cochages, les étiquettes Revenez au menu PLOT Effacez l’image, les axes de dessins, les étiquettes
2 – Stockez la fonction pour le tracé dans la variable EQ (en utilisant le format approprié, par exemple ‘X(t)+iY(t)’ pour PARAMETRIC). 3 – Saisissez le nom (et la plage, le cas échéant) des variables indépendantes et dépendantes 4 – Saisissez les spécifications des axes sous forme de liste { center atick xlabel y-label } 5 – Utilisez ERASE, DRAX, LABEL, DRAW pour produire un graphique entièrement étiqueté avec les axes Cette même démarche peut permettre de produire des tracés avec un programme ; toutefois, dans un programme, il faut ajouter la commande PICTURE après l’appel de la fonction DRAW pour rappeler l’écran des graphiques dans la pile.
Dans cette section, nous présenterons la génération des trois derniers exemples à l’aide de programmes. Activez le menu PLOT avant de commencer à saisir le programme ; cela facilitera la saisie des commandes de création de graphiques („ÌC, voir ci-dessus). Exemple 1 –Trace de fonction. Saisissez le programme suivant :
Sélectionnez FUNCTION en tant que type de tracé Définissez les informations sur les axes Définissez la plage x Définissez la plage y Effacez & dessinez le tracé, les axes et les étiquettes Rappelez l’écran des graphiques dans la pile
J, au besoin, puis appuyez sur @PLOT1. Exemple 2 – Tracé paramétrique. Saisissez le programme suivant : « RAD {PPAR EQ} PURGE Définissez la variable dépendante sur ‘Y’
Définissez la plage y Effacez & dessinez le tracé, les axes et les étiquettes Rappelez l’écran des graphiques sur la pile Terminez le programme
J, au besoin, puis appuyez sur @PLOT2. Exemple 3 – Tracé polaire. Saisissez le programme suivant : « RAD {PPAR EQ} PURGE Définissez la variable dépendante sur ‘Y’ Sélectionnez POLAR en tant que type de tracé Définissez les informations sur les axes Définissez la plage x Définissez la plage y
J, au besoin, puis appuyez sur @PLOT3. Ces exercices illustrent l’utilisation des commandes PLOT dans des programmes. Elles ne font qu’effleurer les utilisations des applications de programmation de tracés. Le lecteur est invité à essayer ses propres exercices sur la programmation de tracés.
Vous pouvez dessiner des figures dans la fenêtre des graphiques directement à partir d’un programme en utilisant des commandes telles que celles qui figurent dans le menu PICT, accessible par „°L@PICT@. Les fonctions disponibles dans ce menu sont les suivantes. Appuyez sur L pour passer au menu suivant :
PICT et l’écran de graphiques PICT, la zone de stockage du graphique actuel, peut être considérée comme un graphique en deux dimensions d’une taille minimale de 131 pixels de largeur sur 64 pixels de hauteur. La largeur maximale de PICT est de 2048 pixels, la hauteur maximale n’étant pas limitée. Un pixel correspond à chacun des points de l’écran de la calculatrice pouvant être activés (sombres) ou désactivés (clairs) afin de produire du texte ou des graphiques. L’écran de la calculatrice mesure 131 pixels sur 64 pixels, soit la taille minimale de PICT. Si votre PICT est plus grand que l’écran, considérez le graphique PICT comme un domaine à deux dimensions que vous pouvez faire défiler dans l’écran de la calculatrice, comme illustré sur le schéma ci-dessous.
BOX Cette commande accepte en entrée deux paires ordonnées (x1,y1) (x2, y2) ou deux paires de coordonnées de pixels {#n1 #m1} {#n2 #m2}. Elle trace une zone dont les diagonales sont représentées par les deux paires de coordonnées de l’entrée.
PVIEW Cette commande accepte en entrée les coordonnées d’un point en unités d’utilisateur (x,y) ou en pixels {#n, #m} et place le contenu de PICT, l’angle supérieur gauche se trouvant à l’emplacement du point spécifié. Vous pouvez également utiliser une liste vide en tant qu’argument, auquel cas l’image est centrée dans l’écran. PVIEW n’active pas le curseur des graphiques ni le menu picture. Pour activer l’une de ces fonctions, utilisez la commande PICTURE.
Exemple 1 - Un programme utilisant des commandes de dessin Le programme suivant produit un dessin dans l’écran de graphiques (le seul objectif de ce programme est de présenter l’utilisation des commandes de la calculatrice pour produire des dessins à l’écran). « DEG 0. 100. XRNG Définissez la plage x Définissez la plage y Effacez l’image Tracez une zone de (5,5) à (95,95) Dessinez le centre du cercle (50,50), r =10. Dessinez le centre du cercle (50,50), r= 12. Dessinez 8 lignes dans le cercle Les lignes sont centrées sur (50,50) Calculez x, l’autre extrémité à 50 + x Calculez y, l’autre extrémité à 50 + y Convertit x y en (x,y), un nombre complexe Ajoutez (50,50) à (x,y) Tracez la ligne Fin de la boucle FOR Affichez l’image
Cette application peut être utile pour déterminer la zone et le périmètre inondable des vues de coupe des rivières. Habituellement, on observe la vue de coupe d’une rivière ainsi qu’une série de points, représentant les coordonnées x et y par rapport à un jeu arbitraire d’axes de coordonnées. Ces points peuvent être tracés et on peut produire un schéma de la vue de coupe pour une profondeur d’eau donnée. Le schéma ci-dessous illustre cet exemple. Le programme, disponible sur la disquette ou le CD-ROM fourni avec la calculatrice, utilise quatre sous-programmes : FRAME, DXBED, GTIFS et INTRP. Le programme principal, appelé XSECT, accepte en entrée une matrice de valeurs de x et de y et l’élévation de surface Y (voir le schéma ci-dessus), dans cet ordre. Le programme produit un graphique représentant une vue en coupe et indiquant les données d’entrée à l’aide de points sur le graphique; la surface libre est représentée en coupe.
Pour visualiser le programme XSECT en action, utilisez les jeux de données suivants. Saisissez-les en tant que matrices de deux colonnes, la première colonne correspondant à x et la deuxième à y. Stockez les matrices dans des variables portant des noms tels que XYD1 (jeu de données 1 X-Y) et XYD2 (jeu de données 2 X-Y). Pour exécuter le programme, placez l’un des jeux de données dans la pile, par exemple, J @XYD1!, puis entrez une élévation de la surface de l’eau, par exemple 4.0, et appuyez sur @XSECT. La calculatrice affiche un schéma de la vue de coupe avec la surface de l’eau correspondante. Pour quitter l’affichage du graphique, appuyez sur $. Essayez les exemples suivants : @XYD1! @XYD1! @XYD1! Le schéma ci-dessous présente les coordonnées en pixels de l’écran typique (minimal) de 131×64 pixels. Les coordonnées en pixels sont mesurées à partir de l’angle supérieur gauche de l’écran {# 0h # 0h}, qui correspond aux coordonnées définies par l’utilisateur (xmin, ymax). Les coordonnées maximales en termes de pixels correspondent à l’angle inférieur droit de l’écran {# 82h #3Fh}, qui, en coordonnées de l’utilisateur, équivaut au point (xmax, ymin). Les coordonnées des deux autres angles, à la fois en pixels et en unités d’utilisateur, sont présentées dans le schéma.
Nous présentons ici une manière de produire des animations à l’aide du type de tracé Y-Slice. Supposons que vous souhaitiez animer la vague mouvante, f(X,Y) = 2.5 sin(X-Y). On peut considérer le X comme la valeur de temps dans l’animation produisant des tracés de f(X,Y) par opposition à Y pour des valeurs différentes de X. Pour produire un tel graphique, utilisez la commande suivante : •
‘2.5*SIN(X-Y)’ pour EQ. ‘X’ pour INDEP. Appuyez sur L@@@OK@@@. ANIMATE pour produire une animation constituée des graphiques placés dans la pile. Exemple 1 – Animation d’une vaguelette à la surface de l’eau A titre d’exemple, entrez le programme suivant qui génère 11 graphiques représentant un cercle centré dans l’écran des graphiques et dont le rayon augmente d’une valeur constante à chaque graphique successif. « RAD 131 RB 64 RB PDIM Définissez les plages x et y sur 0-100 Démarrez la boucle avec j = 1 ..11 Effacez le PICT actuel Centrez les cercles (50,50) Dessinez le centre du cercle r = 5(j-1) Placez le PICT actuel dans la pile
Les 11 graphiques générés par le programme sont toujours disponibles dans la pile. Pour redémarrer l’animation, utilisez simplement la commande : 11 ANIMATE. (La fonction ANIMATE et disponible via „°L@)GROB L @ANIMA). L’animation est relancée. Appuyez sur $ pour interrompre à nouveau l’animation. Remarquez que le nombre 11 figure toujours au niveau 1 de la pile. Appuyez sur ƒ pour le supprimer de la pile. Supposons que vous souhaitiez conserver les chiffres composant cette animation dans une variable. Vous pouvez créer une liste de ces chiffres, que nous appellerons WLIST, à l’aide de la commande : 11 „°@)TYPE@ @ LIST ³ ~~wlist~ K Appuyez sur J pour récupérer votre liste de variables. La variable @WLIST doit maintenant figurer dans vos touches de menu. Pour ranimer cette liste de variables, vous pouvez utiliser le programme suivant : « Démarrez le programme WLIST Placez la liste WLIST dans la pile OBJ Décomposez la liste, niveau de pile 1 = 11 ANIMATE Démarrez l’animation
Le programme suivant anime les graphiques de WLIST vers l’avant et vers l’arrière : « WLIST DUP REVLIST + OBJ Décomposez la liste en éléments, niveau 1 = 22 Démarrez l’animation Terminez le programme
Exemple 2 – Animation du tracé de différentes fonctions de puissance Supposons que vous souhaitiez animer le tracé des fonctions f(x) = xn, n = 0, 1, 2, 3, 4, dans la même série d’axes. Vous pouvez utiliser le programme suivant : « RAD 131 RB 64 RB PDIM Placez le PICT actuel dans la pile Terminez la boucle FOR-NEXT Animez
ANimation). Pour exécuter le programme, appuyez sur J (ou au besoin) @PWAN. La calculatrice dessine chaque fonction de puissance individuelle avant de lancer l’animation dans laquelle les cinq fonctions seront tracées rapidement l’une après l’autre. Pour interrompre l’animation, appuyez sur $.
{ n {#X #Y} delay rep } ANIMATE n représente le nombre de graphiques, {#X #Y} correspondent aux coordonnées de l’angle inférieur droit de la zone à tracer (voir la figure cidessous), delay représente le nombre de secondes admis entre des graphiques consécutifs de l’animation et rep représente le nombre de répétitions de l’animation.
Le mot GROB signifie GRaphics Objects (objets graphiques) ; il est utilisé dans l’environnement de la calculatrice pour représenter une description pixel
Le graphique du niveau 1 n’est toujours pas au format GROB, même s’il s’agit, par définition, d’un objet graphique. Pour convertir un graphique de la pile en GROB, utilisez la commande suivante : 3` „°L@)GROB @GROB . Les informations suivantes apparaissent alors au niveau 1: En tant qu’objet graphique, cette équation peut désormais être placée dans l’écran des graphiques. Pour retourner à l’écran des graphiques, appuyez sur š. Déplacez ensuite le curseur vers un secteur vide du graphique et appuyez sur @)EDIT LL@REPL. L’équation ‘X^2-5’ est placée dans le graphique, par exemple :
GROB par 0 ou 1 pour un petit objet, 2 pour un objet moyen et 3 pour un gros objet. Les autres fonctions du menu GROB sont décrites ci-dessous. BLANK La fonction BLANK, avec les arguments #n and #m, crée un objet graphique vide dont la largeur et la hauteur sont spécifiées par les valeurs #n et #m, respectivement. Cette fonction est similaire à la fonction PDIM du menu GRAPH. GOR La fonction GOR (Graphics OR) accepte en entrée grob2 (une cible GROB), une série de coordonnées, et grob1, et produit la superposition de grob1 sur grob2 (ou PICT) à partir des coordonnées spécifiées. Les coordonnées peuvent être spécifiées en unités définies par l’utilisateur (x,y), ou en pixels {#n #m}. GOR utilise la fonction OR pour déterminer l’état de chaque pixel (activé ou désactivé) dans la région de superposition de grob1 et grob2. GXOR The function GXOR (Graphics XOR) effectue la même opération que GOR, mais en utilisant XOR pour déterminer l’état final des pixels dans la zone de superposition des objets graphiques grob1 et grob2. Note: dans GOR comme dans GXOR, lorsque grob2 est remplacé par PICT, ces fonctions ne produisent pas de sortie. Pour afficher la sortie, il faut rappeler PICT vers la pile à l’aide des commandes PICT RCL ou PICTURE.
SIZE La fonction SIZE, appliquée à un GROB, affiche la taille du GROB sous forme de deux nombres. Le premier nombre, figurant au niveau 2 de la pile, représente la largeur de l’objet graphique, tandis que le second nombre, au niveau 1 de la pile, correspond à sa hauteur. Exemple d’un programme utilisant un GROB Le programme suivant produit le graphique de la fonction sine, y compris un cadre – tracé à l’aide de la fonction BOX – et un GROB pour étiqueter le graphique. Voici le descriptif du programme : « RAD 131 RB 64 RB PDIM Définissez les plages x et y Sélectionnez le type FUNCTION pour les graphiques Stockez la fonction sin dans EQ Effacez, dessinez les axes, les étiquettes, le graphique Dessinez un cadre autour du graphique Placez le contenu de PICT sur la pile
GROB Coordonnées pour placer l’étiquette GROB Associez PICT à l’étiquette GROB Enregistrez le GROB associé dans PICT Amenez PICT sur la pile Terminez le programme
@GRPR pour exécuter le programme. Le résultat se présente comme suit :
Dans cette section, nous développons un programme permettant de produire, de dessiner et d’étiqueter le cercle de Mohr pour une situation donnée de stress à deux dimensions. La figure de gauche présente l’état de stress en deux dimensions σxx et σyy correspondant aux stress normaux et τxy = τyx au stress de déchirure. La figure de droite présente l’état des stress en cas de rotation de l’élément d’un angle φ. Dans ce cas, les stress normaux sont σ’xx et σ’yy, tandis que les stress de déchirure sont τ’xy et τ’yx.
Pour construire le cercle de Mohr, nous utilisons un système de coordonnées cartésiennes, l’axe x correspondant aux stress normaux (σ), et l’axe y correspondant aux axes de déchirure (τ). Localisez les points A(σxx,τxy) et B (σyy, τxy) et dessinez le segment AB. Le point C où le segment AB croise l’axe σn constituera le centre du cercle. Remarquez que les coordonnées du point C sont (½⋅(σyy + σxy), 0). Pour construire le cercle manuellement, vous pouvez utiliser un compas pour tracer le cercle, dans la mesure où vous connaissez l’emplacement du centre C et celui de deux points, A et B. Le segment AC représente l’axe x dans l’état de stress d’origine. Pour déterminer l’état de stress d’une série d’axes x’-y’, ayant pivoté dans le sens inverse des aiguilles d’une montre selon un angle φ par rapport à la série d’axes d’origine x-y, tracez le segment A’B’, centré en C et ayant pivoté dans le sens des aiguilles d’une montre selon un angle 2φ par rapport au segment AB. Les coordonnées du point A’ indiquent les valeurs (σ’xx,τ’xy), tandis que celles de B’ indiquent les valeurs (σ’yy,τ’xy).
La situation de stress pour laquelle le stress de déchirure, τ’xy, est au maximum, est donnée par le segment F’G’. Dans de telles conditions, les deux stress normaux, σ’xx = σ’yy , sont égaux. L’angle correspondant à cette rotation est φs. L’angle entre le segment AC et le segment F’C dans la figure représente 2φs.
Pour développer le programme permettant de tracer le cercle de Mohr étant donné un état de stress, nous utiliserons la programmation modulaire. Fondamentalement, cette démarche consiste à décomposer le programme
L’étape suivante consiste à créer le programme principal et les sousprogrammes dans le sous-répertoire. Le programme principal, MOHRCIRCL utilise les sous-programmes suivants : • •
σLBL : Utilise σL en entrée, place des étiquettes pour identifier les points A et B par “σx” et “σy”. σAXS : place les étiquettes “σ” et “τ” dans les axes x et y respectivement. PTTL : place le titre “Cercle de Mohr” dans la figure.
ATN2, CC&r, INDAT, MOHRC. Avant de réordonner les variables, exécutez le programme une fois en appuyant sur la touche étiquetée @MOHRC. Utilisez la commande suivante : @MOHRC 25˜ 75˜ Dans la mesure où cette vue de PICT est appelée par la fonction PVIEW, on ne peut pas obtenir d’autres informations du tracé que la figure elle-même. Pour obtenir des informations supplémentaires du cercle de Mohr, terminez le programme en appuyant sur $. Appuyez ensuite sur š pour récupérer le contenu de PICT dans l’environnement des graphiques. Le cercle de Mohr ressemble alors à la figure de droite (ci-dessus). Appuyez sur les touches de menu @TRACE et @(x,y)@. Au bas de l’écran s’affiche la valeur φ correspondant au point A(σx, τxy),c’est-à-dire, φ = 0, (2.50E1,
= (106, -1.40). On attendait la valeur τ’xy = 0 à l’emplacement des axes principaux. En fait, dans la mesure où nous avons limité la résolution de la variable indépendante à ∆φ = 1o, nous ne disposons pas du point réel où les stress de déchirure deviennent nuls. Si vous appuyez une nouvelle fois sur š vous obtenez les valeurs φ = 58o, et (σ’xx, τ’xy) = (1.06E2,5.51E-1) = (106, 0.551). Ces informations nous indiquent que quelque part entre φ = 58o et φ = 59o, le stress de déchirure, τ’xy, devient nul. Pour obtenir la valeur réelle de φn, appuyer sur $. Tapez ensuite la liste correspondant aux valeurs {σx σy τxy}, dans ce cas { 25 75 50 }
Calculez le stress principal σPx, étiquetez-le Echangez, calculez le stress σPy, étiquetez-le.
J@PRNST Mise en ordre des variables dans le sous-répertoire La première exécution du programme MOHRCIRCL a produit deux nouvelles variables, PPAR et EQ. Il s’agit des variables de paramètres du tracé et d’équation nécessaires pour tracer le cercle. Il est recommandé de remettre en ordre les variables dans le sous-répertoire, afin que les programmes @MOHRC et @PRNST soient les deux premières variables dans les étiquettes des touches de menu. Pour ce faire, on peut créer la liste { MOHRCIRCL PRNST } en utilisant : J„ä@MOHRC @PRNST `
Vous constatez alors que les programmes MOHRCIRCL et PRNST sont les deux premières variables du menu, comme prévu.
Déterminez les stress principaux pour l’état de stress défini par σxx = 12.5 kPa, σyy = -6.25 kPa, et τxy = - 5.0 kPa. Tracez le cercle de Mohr et déterminez d’après la figure les valeurs de σ’xx, σ’yy, et τ’xy si l'angle φ = 35o. Pour déterminer les stress principaux, utilisez le programme @PRNST, comme suit : J@PRNST 12.5˜ 6.25\˜ Pour dessiner le cercle de Mohr, utilisez le programme @MOHRC, comme suit : J@MOHRC 12.5˜ Appuyez ensuite sur ™ jusqu’à ce que vous obteniez la valeur φ = 35. Les coordonnées correspondantes sont (1.63E0, -1.05E1), soit à φ = 35o, σ’xx = 1.63 kPa, et σ’yy = -10.5kPa.
Mohr Pour entrer des données de manière plus originale, on peut remplacer le sousprogramme INDAT par le programme suivant qui active un formulaire d’entrée : « “MOHR’S CIRCLE” { { “σx:” “Normal stress in x” 0 } { “σy:” “Normal stress in y” 0 } { “τxy:” “Shear stress” Après avoir appuyé sur @@@OK@@@, vous obtenez le résultat suivant :
Etiquette une quantité Supprime l’étiquette d’une quantité étiquetée (désétiquetage)
Concaténation des chaînes Il est possible de concaténer (fusionner) des chaînes à l’aide du signe +, par exemple :
" YEAR OLD " crée la chaîne " YOU ARE 25 YEAR OLD", où 25 est stocké dans la variable appelée AGE.
: remplace les caractères d’une chaîne par une sous-chaîne commençant à un emplacement donné SREPL : remplace une sous-chaîne par une autre sous-chaîne dans une chaîne Pour voir ces effets en action, essayez les exercices suivants : stockez la chaîne “MY NAME IS CYRILLE” dans la variable S1. Nous utiliserons cette chaîne pour présenter des exemples des fonctions du menu CHARS :
L’ensemble des caractères disponibles dans la calculatrice est disponible via la séquence de touches ‚± Lorsque vous mettez un caractère en surbrillance, par exemple le caractère de retour à la ligne , vous voyez apparaître dans l’angle inférieur gauche de l’écran la séquence de touches permettant de produire ce caractère (. dans ce cas) ainsi que le code numérique correspondant au caractère (10 dans ce cas). Les caractères non définis apparaissent comme des carrés noirs dans la liste des caractères () et l’indication (None) s’affiche au bas de l’écran, même s’il existe un code numérique pour tous les caractères. Les caractères numériques présentent le nombre correspondant au bas de l’écran. Les lettres se présentent sous le code α (c’est--dire, ~) suivi de la lettre correspondante. Par exemple, lorsque vous mettez M en surbrillance, les caractères αM apparaissent dans l’angle inférieur gauche de l’écran, indiquant l’utilisation des touches ~m. D’autre part, le m présente la combinaison de touches αM ou ~„m. Les caractères grecs, tels que σ, correspondent au code αS, ou ~‚s. Certains caractères, par exemple ρ, ne sont pas associés à une séquence de touches. Par conséquent, la seule manière de les afficher consiste à passer par la liste des caractères, à mettre en surbrillance le caractère recherché et à appuyer sur @ECHO1@ ou @ECHO@.
@ECHO@ pour copier une série de caractères dans la pile. Pour revenir à l’affichage normal de la calculatrice, appuyez sur la touche $. Pour plus d’informations sur les caractères spéciaux, reportez-vous à l’annexe D. L’annexe G présente également les raccourcis permettant d’obtenir les caractères spéciaux.
La calculatrice reconnaît les types d’objets suivants : _________________________________________________________________ Numéro Type Indicateurs de la calculatrice Un indicateur est une variable qui peut être définie ou annulée. L’état d’un indicateur affecte le comportement de la calculatrice, si l’indicateur est un
SOFT, sélectionnés par la définition ou l’annulation de l’indicateur système 117. On peut également citer l’exemple des indicateurs 60 et 61, liés à la bibliothèque de constantes (CONLIB, voir Chapitre 3). Ces indicateurs fonctionnent de la manière suivante : • •
SF CF FS? FC? Retourne 1 si l’indicateur est vide (non défini), 0 s’il est défini Teste l’indicateur de la même manière que FS, puis l’annule Teste l’indicateur de la même manière que FC, puis l’annule Stocke les nouveaux paramètres des indicateurs système Rappelle les paramètres d’indicateurs existants Redéfinit les valeurs actuelles (peut être utilisé pour redéfinir un indicateur)
Les indicateurs 1 à 256 sont disponibles pour l’utilisateur à des fins de programmation. Ils n’affectent pas le fonctionnement de la calculatrice.
Le menu TIME Le menu TIME, disponible par la séquence de touches ‚Ó (la touche 9) fournit les fonctions décrites ci-après :
OK : Retour à l’affichage normal
L’option 3. Set time, date… fournit le formulaire d’entrée suivant qui permet à l’utilisateur de régler la date et l’heure. Des détails sont fournis au Chapitre 1.
Règle l’heure actuelle au format 24 h HH.MMSS Règle l’heure système en fonction de la valeur spécifiée au format 24 h HH.MM.SS Fournit l’heure système sous forme d’entier binaire par tics d’horloge, sachant que 1 tic = 1/8192 sec Sous-menu comprenant des fonctions de manipulation des alarmes (décrit ci-après) Ajoute ou soustrait un certain nombre de jours à une date Retourne le nombre de jours séparant les dates x et y Convertit l’heure du format décimal au format HH.MMSS Convertit l’heure du format HH.MMSS au format décimal Ajoute deux unités au format HH.MMSS Soustrait deux unités au format HH.MMSS convertit l’heure et la date en chaînes Ajoute x tics à l’heure système (1 tic = 1/8192 sec )
Voici des exemples des fonctions DATE, TIME et TSTR :
Le sous-menu TIME/Tools…/ALRM… fournit les fonctions suivantes :
ACK : Confirme une alarme échue ACKALL : Confirme toutes les alarmes échues STOALARM(x) : Stocke l’alarme (x) dans la liste des alarmes système RCLALARM(x) : Rappelle l’alarme spécifiée (x) de la liste des alarmes système DELALARM(x) : Supprime l’alarme x de la liste des alarmes système
TIME (voir ci-dessus), les fonctions liées aux alarmes présentées dans cette section sont plus généralement utilisées à des fins de programmation.
La calculatrice contient en tout 2.5 Mo de mémoire, dont 1 Mo est alloué au stockage du système d’exploitation (mémoire système) et 1.5 Mo est consacré au fonctionnement de la calculatrice et au stockage de données (mémoire utilisateur). Les utilisateurs n’ont pas accès au composant de mémoire système. Pour obtenir le détail de la partition de la mémoire utilisateur, utilisez les fonctions FILES („¡). Cela peut afficher l’écran suivant :
• • Par conséquent, le retrait des piles de la calculatrice n’affecte pas la mémoire Flash ROM de la calculatrice. Le port 2 peut accueillir 1085 Ko de données.
Contrairement au répertoire HOME, la mémoire des ports ne peut pas être subdivisées en répertoires et peut uniquement contenir des objets de sauvegarde ou de bibliothèque. Ces types d’objets sont décrits ci-dessous.
Pour obtenir la liste des objets stockés dans la mémoire, vous pouvez utiliser les fonctions FILES ( „¡). L’écran affiche le répertoire HOME ainsi qu’au moins quatre sous-répertoires, à savoir GRPHS, MPFIT, MATRX et TRIANG.
On peut aussi accéder à la mémoire des ports via le menu LIB (‚á, associé à la touche 2 ). Cette action fait apparaître l’écran suivant :
écran. C’est le cas de la bibliothèque @)HP49D (demo) qui figure dans l’écran cidessus. Pour activer cette bibliothèque, appuyez sur la touche de menu correspondante (A). Les touches de menu des ports ouvrent ce port de mémoire. Les bibliothèques sont présentées avec de plus amples détails cidessous.
Les objets de sauvegarde permettent de copier des données à partir du répertoire HOME vers un port de mémoire. Il est ainsi possible de préserver le contenu des objets en vue d’une utilisation ultérieure. Les objets de sauvegarde présentent les caractéristiques suivantes : •
(vous pouvez cependant le copier dans un sous-répertoire du
L’opération de sauvegarde d’un objet à partir de la mémoire utilisateur dans l’un des ports de mémoire est similaire à celle qui consiste à copier une variable d’un sous-répertoire dans un autre (laquelle est évoquée plus en détail au Chapitre 2 du guide de l’utilisateur). Vous pouvez, par exemple, utiliser le Gestionnaire de fichiers („¡) pour copier et supprimer des objets de sauvegarde comme vous le feriez avec des objets normaux de la calculatrice. En outre, des commandes spécifiques permettent de manipuler les objets de sauvegarde ; elles sont décrites ci-dessous.
Vous pouvez également restaurer le contenu de votre répertoire HOME à partir d’un objet de sauvegarde précédemment stocké dans la mémoire des ports. Les instructions relatives à ces opérations figurent ci-après.
événements se produisent :
La calculatrice redémarre. Le contenu de l’historique ou de la pile est perdu.
Pour créer un objet de sauvegarde, utilisez l’une des opérations suivantes : • Utilisez le Gestionnaire de fichiers („¡) pour copier l’objet vers le port. Dans ce cas, l’objet de sauvegarde portera le même nom que l’objet d’origine. • Utilisez la commande STO pour copier l’objet dans un port. Par exemple, en mode algébrique, pour sauvegarder la variable A dans un objet de sauvegarde nommé AA dans le port 1, utilisez la séquence de touches suivante : @@@A@@@ K „ê1™~a~a` •
• Utilisez le Gestionnaire de fichiers („¡) pour supprimer l’objet comme vous supprimeriez une variable dans le répertoire HOME (voir le Chapitre 2 du guide de l’utilisateur). • Utilisez la commande PURGE comme suit : En mode algébrique, utilisez la commande : PURGE(: Numéro_de_port : Nom_de_sauvegarde) En mode RPN, utilisez la commande : : Numéro_de_port : Nom_de_sauvegarde PURGE Pour restaurer un objet de sauvegarde : • Utilisez le Gestionnaire de fichiers („¡) pour copier l’objet de sauvegarde de la mémoire de port vers le répertoire HOME. • Lorsqu’un objet de sauvegarde est restauré, la calculatrice procède à une vérification de l’intégrité de l’objet restauré en calculant sa valeur CRC. Toute différence entre le résultat du calcul et les valeurs CRC stockées
• En mode algébrique :
(„¡). Au démarrage du Gestionnaire de fichiers, l’arborescence suivante apparaît : 0: IRAM 1: ERAM 2: FLASH Gestionnaire de fichiers. Donc, tous les noms doivent être du format de 8.3 caractères, similaire à ceux du DOS, c'est-à-dire des noms d'un maximum de 8 caractères suivis de 3 caractères comme suffixe. Comme alternative à l’utilisation des opérations File Manager, vous pouvez utiliser les fonctions STO et RCL pour enregistrer et faire appel à des objets de la carte SD, comme expliqué ci-dessous. Utilisez la commande PURGE pour effacer les objets de sauvegarde de la carte SD. Des noms longs peuvent aussi être utilisés avec ces commandes (en particulier STO, RCL, et PURGE).
Avec cette commande RCL, il est possible de rappeler des variables en spécifiant un chemin pour la commande, c'est-à-dire, en mode RPN : :3: {path} ` RCL. Ce chemin, comme sur les disques DOS, est une série de nom de répertoires qui indique le chemin de la variable. Par contre, certaines variables enregistrées dans des objets sauvegardés, ne peuvent pas être rappelées avec un tel chemin. Dans ce cas, l'objet sauvegardé (par exemple, un répertoire) sera rappelé et les variables individuelles seront ouvertes à partir de l'écran.
• En mode algébrique :
:3:VAR1), appuyez sur I @PURGE.
Les bibliothèques sont des programmes en langage binaire créés par l’utilisateur, qui peuvent être chargés dans la calculatrice et rendus utilisables depuis tout sous-répertoire du répertoire HOME. Les bibliothèques peuvent être téléchargées dans la calculatrice en tant que variables normales, puis installées et jointes au répertoire HOME.
Pour installer une bibliothèque, répertoriez son contenu dans la pile (utilisez la touche de menu ‚ correspondant à la variable ou la fonction RCL) et stockez-le dans le port 0 ou 1. Par exemple, pour installer une variable de bibliothèque dans un port, utilisez la commande : • En mode algébrique : STO(Variable_de_bibliothèque, numéro_de_port) • En mode RPN : Variable_de_bibliothèque ` numéro_de_port K Une fois le contenu de la bibliothèque installé dans la mémoire du port, vous devez joindre la bibliothèque au répertoire HOME. Pour ce faire, vous pouvez redémarrer la calculatrice (l’éteindre, puis la rallumer) ou appuyer simultanément sur les touches, $C. A ce stade, la bibliothèque doit être disponible. Pour afficher le menu d’activation de la bibliothèque, utilisez le menu LIB (‚á). Le nom de la bibliothèque apparaît dans ce menu.
Si vous utilisez le menu LIB (‚á) et appuyez sur la touche de menu correspondant au port 0 ou 1, les numéros des bibliothèques apparaissent dans les étiquettes des touches de menu. Chaque bibliothèque est associée à un numéro à quatre chiffres. Ces numéros sont affectés par le créateur de la bibliothèque et utilisés pour supprimer une bibliothèque.
Ce dernier programme est disponible en ligne (par exemple, via l’adresse http://www.hpcalc.org). Les détails de la programmation de la calculatrice en langage Assembler ou System RPL dépassent la portée du présent document. L’utilisateur est invité à rechercher des informations supplémentaires sur ce sujet sur Internet.
Une pile de sauvegarde de type CR2032 est incluse dans la calculatrice afin de fournir une alimentation de secours à la mémoire volatile lors du remplacement des piles principales. Il est recommandé de remplacer cette pile tous les 5 ans. Un message à l’écran vous signalera que cette pile doit être remplacée. Le schéma ci-dessous présente l’emplacement de la pile de sauvegarde dans le compartiment supérieur à l’arrière de la calculatrice.
à l’aide des flèches (š™˜—). • Appuyez sur n’importe quelle touche menu programmable @CHOOS pour voir s’afficher les options disponibles pour tout champ donné dans une formule de saisie des données. • À l’aide des flèches (š™˜—), sélectionnez l’option préférée pour un champ donné et appuyez sur la touche menu programmable !!@@OK#@ (F) pour valider votre sélection. • Dans certains cas, il est nécessaire de cocher l’option choisie dans une formule de saisie des données. Dans de tels cas, servez-vous de la touche menu programmable @@CHK@@ pour faire apparaître et disparaître la coche. • Appuyez sur la touche menu programmable @CANCL pour fermer une formule de saisie des données et retourner à l’affichage de la pile. Vous pouvez aussi appuyer sur la touche ` ou la touche ‡ pour fermer la formule de saisie des données.
‚Ï(associé à la touche 7 ). . Une CHOOSE box apparaît comprenant les options suivantes :
L’écran obtenu est une formule de saisie des données avec des champs de données pour un nombre de variables (n, I%YR, PV, PMT, FV).
10 @@OK@@ 8.5 @@OK@@ En appuyant sur L nous pouvons voir les étiquettes des touche menu programmable suivantes :
Appuyez pour déterminer le type d’objet dans le champ sélectionné Pour annuler l’opération Pour accepter l’entrée
(appuyez sur !CANCL). Appuyez sur !CANCL dans le cas présent. Appuyez sur !CALC pour accéder à la pile. Vous obtenez l’écran suivant :
` ou la touche $ pour retourner à la pile. Dans le cas présent, les valeurs suivantes apparaîtront :
Rangée 1 comporte 6 touches, rangées 2 et 3 comportent 3 touches chacune et les rangées 4 à 10 comportent 5 touches chacune. Sur la droite du clavier,
Les flèches, —˜š™, permettent de déplacer les caractères un à un dans la direction de la flèche en question (soit vers le haut, le bas, à droite ou à gauche). La fonction APPS déclenche le menu d’application. La fonction MODE déclenche le menu d’application. La fonction TOOL déclenche un menu outils facilitant la manipulation des variables et une aide sur la calculatrice. La fonction VAR affiche les variables conservées dans le répertoire. La fonction STO permet de conserver des contenus dans des variables. La fonction NXT permet de visualiser les options ou variables supplémentaires du menu de programmation au sein d’un répertoire. La fonction HIST vous donne accès à l’historique en mode algébrique, soit l'historique des entrées de commande récentes sous ce mode. La touche EVAL permet l’évaluation des expressions algébriques et numériques. La touche [ ‘ ] permet d’entrer une série d’apostrophes pour les expressions algébriques. La touche SYMB déclenche le menu des opérations symboliques. La touche effacer ƒ permet d’effacer des caractères d’une ligne. La touche yx calcule la puissance x de y. La touche +/- change le signe d’une entrée, la touche X entre le caractère X (majuscule). La touche 1/x calcule l’inverse d’un nombre, les touches +, −, ×, et ÷, servent aux opérations arithmétiques de base (respectivement, addition, soustraction, multiplication et division). La touche ALPHA associée à d’autres touches permet d’entrer les lettres de l’alphabet.
La touche ENTER permet d’entrer un nombre, une expression ou une fonction sur l’écran ou la pile et La touche ON sert à mettre en marche la calculatrice.
La touche <majuscule de gauche> verte, touche (8,1), la touche <majuscule de droite> rouge, touche (9,1), et la touche bleu ALPHA, touche (7,1), peuvent être associées à d’autres touches afin d’enclencher les autres fonctions signalées sur le clavier. Par exemple, la touche P, touche (4,4), offre les six fonctions suivantes : P „´ …N ALPHA-Right-Shift, pour entrer le symbole P Des six fonctions associées à cette touche, seules les quatre premières sont signalées sur le clavier même. La touche ressemble à ceci sur le clavier :
~„, et ALPHA <majuscule de droite> ~…. Sur ces diagrammes, la fonction ou le caractère obtenu pour chaque association de touches est montré sur fond blanc. Si les touches <majuscule de gauche>, <majuscule de droite> ou ALPHA sont enclenchées, elles sont signalées sur fond sombre. Les touches n’étant pas enclenchées apparaissant sur fond noir.
Le schéma suivant montre les fonctions, caractères ou menus associés aux différentes touches de la calculatrice lorsque la touche <majuscule de gauche> „ est enclenchée :
F servent à la mise en place et à la création de tableaux et de graphiques. Pour vous servir de ces fonctions en mode d’utilisation Algebraic appuyez d’abord sur la touche <majuscule de gauche> „ de la calculatrice puis sur n’importe quelle touche de la rangée 1. Pour vous servir de ces fonctions en mode RPN vous devez appuyer en même temps sur la touche <majuscule de gauche> „et la touche de votre choix sur la rangée 1. La fonction Y= sert à entrer les fonctions de type y=f(x) pour l’exploitation des données, la fonction WIN sert à fixer
La fonction RCL sert à rappeler les valeurs des variables. La fonction PREV affiche les six options de menu précédentes, associées aux touches de programmation du menu. La fonction de CMD montre les commandes les plus récentes, la fonction de PRG active les menus de programmation, la fonction de MTRW active l'Editeur de matrice,
La fonction ABS calcule la valeur absolue d’un nombre réel ou le module d’un nombre complexe ou d’un vecteur. La fonction USER enclenche le menu-clavier défini par l’utilisateur. La fonction S.SLV enclenche le menu de la résolution symbolique. La fonction EXP&LN enclenche le menu des expressions de substitution en termes de fonctions logarithmiques naturelles et exponentielles. La fonction FINANCE enclenche un menu pour des calculs financiers. La fonction CALC enclenche un menu de fonctions de calcul. La fonction MATRICES enclenche un menu de création et de manipulation des matrices. La fonction CONVERT enclenche un menu de conversion d’unités et autres expressions. La fonction ARITH enclenche un menu de fonctions arithmétiques. La touche DEF sert à définir une fonction simple en variable sur le menu de la calculatrice. La touche CONT sert à continuer une opération de la calculatrice. La touche ANS rappelle le dernier résultat lorsque la calculatrice est en mode algébrique. Les touches [ ], ( ), et { } permettent d’entrer crochets, parenthèses ou accolades. La touche # permet d’entrer des nombres autres que ceux dans la base numérique active. La touche infini ∞ permet d’entrer le symbole de l’infini dans une expression. La touche pi π permet d’entrer la valeur ou le symbole π (le rapport de la longueur de la circonférence sur le diamètre). Les flèches, lorsque associées à la touche majuscule de gauche, déplacent le curseur vers le premier caractère dans la direction de la flèche en question.
La fonction LN calcule le logarithme naturel. La fonction x y calcule la racine x – ème de y. La fonction Σ permet d’entrer les totaux (ou la lettre grecque majuscule de cumul). La fonction ∂ permet de calculer les dérivées. La fonction ∫ permet de calculer les intégrales. La fonction LOG le logarithme en base 10. La fonction ARG calcule l’argument d’un nombre complexe. La fonction ENTRY sert à changer le mode d’entrée dans l’édition. La fonction NUM.SLV met en place le menu de la résolution numérique. La fonction TRIG enclenche le menu de substitution trigonométrique. La fonction TIME enclenche le menu heure. La fonction ALG enclenche le menu algèbre. La fonction STAT enclenche le menu opérations statistiques. La fonction UNITS enclenche le menu des unités de mesure. La fonction CMPLX enclenche le menu des fonctions de nombres complexes. La fonction LIB enclenche le menu bibliothèque de programmes. La fonction BASE enclenche le menu de conversion de la base numérique. La touche OFF éteint la calculatrice, la touche NUM fournit une valeur numérique (ou en virgule flottante) d’une expression. La touche “ “ entre un lot de guillemets permettant de saisir des chaînes de caractères. La touche __ entre un soulignement. La touche << >> entre le symbole pour un programme. La touche entre une flèche représentant une saisie dans un programme. La touche entre un signe retour dans les programmes ou les chaînes de caractères. La touche (,) entre une virgule. Les flèches, lorsque associées à la touche <majuscule de droite>, déplacent le curseur vers le caractère le plus éloigné dans la direction de la touche pressée.
Fonctions Alpha ~„ du clavier de la calculatrice
Fournit une formule de saisie des données pour changer les réglages CAS Fournit une formule de saisie des données pour changer les réglages de l’écran Ferme cette formule de saisie des données et retourne à l’écran normal Utiliser cette touche pour confirmer les réglages
Utiliser cette touche pour confirmer les réglages
Un grand nombre de fonctions fournies par le CAS utilisent une variable indépendante prédéterminée. On choisit par défaut pour cette variable la lettre X (majuscule), comme vous pouvez le voir ci-dessus dans la case de saisie des données CAS MODES. Cependant, l’utilisateur peut remplacer cette variable par toute autre lettre ou combinaison de lettres et de nombres (le nom d’une variable devant commencer par une lettre) en altérant le champ Indep var dans la case de saisie des données CAS MODES. Une variable appelée VX existe dans le répertoire de la calculatrice {HOME CASDIR}. Elle prend, par défaut, la valeur de ‘X’. Il s’agit du nom de la variable indépendante la plus fréquemment utilisée pour les applications algébriques et infinitésimales. C’est pourquoi, la plupart des exemples dans ce chapitre utilisent X pour la variable inconnue. Si vous utilisez d’autres noms pour la variable indépendante, par exemple avec la fonction HORNER, le CAS ne fonctionnera pas correctement. La variable VX réside en permanence dans le répertoire de la calculatrice {HOME CASDIR}. Il existe d’autres variables CAS dans le {HOME CASDIR}, par ex. : REALASSUME (@REALA), MODULO (@MODUL), CASINFO (@CASIN), etc. Vous pouvez changer la valeur de VX en entrant en mémoire le nouveau nom algébrique, par ex., ‘x’, ‘y’, ‘m’, etc. Gardez de préférence ‘X’ comme variable VX pour les exemples de ce manuel. De plus, évitez d’utiliser VX dans vos programmes ou équations, de manière à ne pas mélanger avec la CAS’ VX. Si vous avez besoin de vous référer au composant x de la vitesse, par exemple, vous pouvez utiliser vx or Vx.
L’option Modulo de la case de saisie des données CAS MODES représente un nombre (valeur par défaut = 13) utilisé en arithmétique modulaire. Vous
L’écran suivant montre les valeurs de la constante π (le rapport de la longueur de la circonférence au diamètre) en format symbolique suivi du format numérique ou virgule flottante. Cet exemple correspond au mode opératoire algébrique :
Lorsque le mode _Approx est sélectionné, les opérations symboliques (par ex, les intégrales définies, les racines carrées etc.) seront calculées numériquement. Quant le mode _Approx n’est pas sélectionné (le mode Exact est activé), les opérations symboliques seront calculées à chaque fois que possible sous forme d’expressions algébriques analytiques. L’écran suivant montre deux opérations symboliques avec un mode exact actif en mode opératoire algébrique :
_Numeric CAS n’est pas sélectionnée) et les niveaux 1: et 2: de la pile montrent le cas pour lequel l’option Numeric CAS est sélectionnée.
‚ (maintenir appuyé) `.
Les opérations CAS utilisent les nombres entiers relatifs de façon à maintenir une précision totale dans les calculs. Les nombres réels sont conservés sous forme de mantisse et d’exposants et sont d’une précision limitée. En mode
Nous conseillons de choisir le mode EXACT comme mode CAS par défaut et de passer en mode APPROX si la calculatrice le demande lors de la réalisation d’une opération. Veuillez vous référer au Chapitre 2 pour de plus amples informations sur les nombres entiers relatifs et réels ainsi que sur les autres objets de la calculatrice.
Lorsque l’option CAS _Complex est sélectionnée, si une opération a pour résultat un nombre complexe, le résultat apparaîtra sous la forme a+bi ou sous forme d’une paire rangée (a,b). Par contre, si l’option CAS _Complex n’est pas sélectionnée (c’est à dire si l’option CAS réel est activée) et une opération a pour résultat un nombre complexe, il vous sera demandé de passer en mode complexe. Si vous refusez, la calculatrice signalera une erreur.
étendue d’opérations qu’en mode REAL mais qu’il sera aussi beaucoup plus lent. C’est pourquoi nous conseillons de choisir le mode REAL comme mode par défaut et de passer en mode COMPLEX si la calculatrice le demande lors de la réalisation d’une opération. 2
L’écran nous informe que la calculatrice effectue une division des polynômes A/B, tels que A = BQ + R, où Q = le quotient et R =le reste. Dans le cas présent, A = X3-5X2+3X-2, et B = X-2. Ces polynômes sont représentés sur l’écran par la liste de leurs coefficients. Par exemple, l’expression A: {1,-5,3,2} représente le polynôme A = X3-5X2+3X-2, B:{1,-2} représente le polynôme B = X-2, Q: {1} représente le polynôme Q = X et R:{-3,3,-2} représente le polynôme R = -3X2+3X-2. Une fois rendu à cette étape, appuyez, par exemple, sur la touche `. Continuez à appuyer sur la touche ` pour obtenir les autres étapes :
On saisit la même séquence pour obtenir chacun de ces résultats : ³„Üx+3™Q5`µ
Supposons que vous vouliez trouver des renseignements sur la commande ATAN2S (fonction tangente inverse sur sinus). Appuyez sur la flèche pointant vers le bas, ˜, jusqu’à ce que la commande ATAN2S soit sélectionnée dans la liste :
!!CANCL !!@@OK#@ Pour voir l’effet produit par !!@@OK#@ dans le cadre de la fonction HELP, répétons les étapes utilisées ci-dessus depuis la sélection de la commande ATAN2S dans la liste de commandes CAS : @HELP B` ˜ ˜ …(10 fois). Puis appuyez sur la touche !!@@OK#@ F afin d’obtenir des renseignements sur la commande ATAN2S. La fonction d’aide signale que la commande, ou fonction, ATAN2S remplace la valeur de atan(x), la tangente inversée d’une valeur x, par son équivalent en termes de la fonction asin (sinus inversé). La quatrième et la cinquième ligne de l’écran fournissent un exemple d’application de la fonction ATAN2S. La quatrième ligne, soit ATAN2S(ATAN(X)), représente l’exposé de l’opération à réaliser, alors que la cinquième ligne, soit ASIN(X/√(X^2+1)), représente le résultat. La ligne au bas de l’écran, commençant par la particule See:, est une ligne de référence indiquant d’autres commandes CAS liées à la commande ATAN2S. Remarquons qu’il y a six commandes associées aux touches menu programmables dans le cas présent (vous pouvez vérifier qu’il n’y a que six commandes lorsque, en appuyant sur L, aucun autre objet du menu n’apparaît). Les commandes de la touche menu programmable sont les suivantes : @EXIT @ECHO @@ SEE1@@ Va voir le second lien (si possible) d’une liste de références Va voir le troisième lien (si possible) d’une liste de références Retourne à la liste principale de commandes de la fonction d’aide
La troisième en partant du haut montre le dernier appel à l’utilitaire HELP, tandis que la dernière ligne montre l’ECHO de la commande exemple. Pour enclencher la commande, appuyez sur la touche `. Le résultat est :
La fonction HELP, décrite dans cet article, constitue un outil de référence très utile pour connaitre la définition des nombreuses commandes CAS dont dispose la calculatrice. Chaque entrée dans la fonction d’aide du CAS est dotée, quand c’est possible, d’un exemple d’application de la commande, ainsi que de références comme vous avez pu le constater dans cet exemple. Pour accéder rapidement à une commande particulière de la fonction d’aide sans être obligé d’utiliser tout le temps les flèches, vous pouvez utiliser un raccourci consistant à taper les trois premières lettres du nom de la commande. Supposons que vous vouliez trouver des renseignements sur la commande IBP (Intégration By Parts = Intégration par parties), une fois la fonction d’aide disponible, utilisez la touche ~ (première touche sur la
Puis vous pouvez utiliser la flèche pointant vers le bas ˜ , deux fois pour trouver la commande IBP. En appuyant sur la touche !!@@OK#@ F vous enclenchez la fonction d’aide pour cette commande. Appuyez sur @!MAIN F pour retrouver la liste principale des commandes ou @EXIT A pour quitter l’aide.
(HP Part Numéro. 00048-90126) et le HP 48G Series Advanced User’s Reference Manual (HP Part Numéro. 00048-90136).
L’utilisation de ce logiciel CAS nécessite certaines connaissances en mathématique de la part de l’utilisateur. Il n’est fourni aucune garantie supplémentaire sur le logiciel CAS à celle procurée par la législation en vigueur. Sauf si cela a été explicitement stipulé par écrit, le propriétaire de la marque fournit le logiciel CAS "tel quel" et sans garantie d’aucune sorte, ni écrite ni orale, telles que de manière non restrictive, des garanties de fonctionnement et de vente en vue d’une utilisation spécifique. Tous les risques relatifs à l’utilisation, la qualité et au fonctionnement du logiciel CAS y sont compris. Au cas très improbable où le logiciel CAS serait défectueux, vous seriez seul responsable de tous les coûts de réparation et d’entretien. Le propriétaire de la marque ne pourra en aucun cas être tenu pour responsable, dans les limites autorisées par la législation en vigueur, pour les
Dans la limite de la législation en vigueur, la somme maximale pouvant être exigée du propriétaire de la marque pour tous dommages ne dépassera en aucun cas les commissions payées par Hewlett-Packard envers le propriétaire de la marque du logiciel CAS.
Plus bas encore, vous pouvez voir ces caractères :
@ECHO: Copie le caractère sélectionné sur la ligne de commandes ou dans l’Editeur d’équation (EQW) mais le curseur reste sur l’écran de caractères afin de permettre à l’utilisateur de choisir d’autres caractères (soit : renvoie un lot de caractères vers la pile). Pour quitter l’écran de caractères, appuyez sur `. Supposons, par exemple, que vous ayez à taper l’expression : λ2 + 2µ + 5 Voici une suggestion d’approche, à l’aide de la pile en mode algébrique ou RPN : Utilisez les flèches : ³…± pour obtenir l’écran de caractères. Puis à l’aide des flèches sélectionner le caractère λ. Appuyez sur @ECHO1 (soit la touche E ), et continuez en tapant : + 2 *…±. Puis à l’aide des flèches sélectionnez le caractère µ. Appuyez sur @ECHO1 (soit la touche E ) et terminez l’expression en tapant : +5`. Voici le résultat de cet exercice respectivement en modes algébrique et RPN :
1. Les opérations entre parenthèses sont exécutées en premier, de la plus centrale à la plus externe des parenthèses et de gauche à droite dans l’expression. 2. Les arguments des fonctions sont exécutés ensuite, de gauche à droite. 3. Les fonctions sont exécutées ensuite, de gauche à droite. 4. Les puissances de nombres sont exécutées ensuite, de gauche à droite. 5. Les multiplications et divisions sont exécutées ensuite, de gauche à droite. 6. Les additions et soustractions sont exécutées en dernier, de gauche à droite. Une exécution de gauche à droite signifie que, si deux opérations de la même hiérarchie, disons deux multiplications, existent dans une expression, la première multiplication à gauche sera exécutée avant la deuxième et ainsi de suite. Considérons, par exemple, l’expression ci-dessous de l’Editeur d’équation :
étapes d’évaluation de l’expression, à partir de ce point, sont présentées cidessous :
La calculatrice sert de serveur pour communiquer avec des ordinateurs.
Sélectionner l’option 3. Constants lib.. de l’APPS ouvre l’application de bibliothèque des constantes fournissant les valeurs des constantes physiques normalisées :
Sélectionner l’option 3. Constants lib.. du menu APPS fait apparaître le menu de la résolution numérique :
„².I’Editeur de matrice est présenté en détail au Chapitre 10.
Sélectionner l’option 9.Text editor.. du menu APPS ouvre l’éditeur de texte :
(nombres dans différentes bases).
Sélectionner l’option 11.CAS menu.. du menu APPS fait apparaître le menu Les commandes sont affichées dans l’ordre alphabétique. En utilisant les touches directionnelles verticales —˜ , il est possible de se déplacer dans le menu de l’aide. Quelques conseils importants sont donnés ci-dessous : •
Vous pouvez aussi taper la première lettre de la commande voulue, puis utiliser la touche directionnelle vers le bas ˜ pour sélectionner la commande. Par exemple, si vous recherchez la commande DERIV : Après avoir initialisé la fonction d’aide (I L@HELP `), tapez ~d. Cet ordre choisira la première des commandes qui
Appuyez sur @@OK@@ pour sélectionner la commande. Par exemple, pour trouver la commande PROPFRAC, vous pouvez utiliser l’une des combinaisons de touches suivantes : I L@HELP ` ~~pr ~ ˜˜@@OK@@ I L@HELP ` ~~pro ~ ˜@@OK@@ I L@HELP ` ~~prop ~ @@OK@@ Les commandes de la bibliothèque définies par l’utilisateur apparaîtront aussi dans la liste du catalogue de commande, en italique. Si la bibliothèque
Le sous-menu POLYNOMIAL Le sous-menu POLYNOMIAL contient les fonctions de création et de manipulation des polynômes. Ces fonctions sont présentées au Chapitre 5 :
Chapitre 21 dans la situation de programmation de la calculatrice avec le code RPL. Cette fonction IFTE est présentée au Chapitre 3. Les fonctions ASSUME et UNASSUME sont présentées ci-dessous, avec la fonction d'aide du CAS (voir Appendice C).
Chapitre 5. La fonction UNASSIGN est présentée ci-dessous (cf. menu d'aide du CAS) :
Une fois sélectionnée, insère les caractères à l’emplacement du curseur. Si cette fonction n’est pas sélectionnée, le curseur remplace (écrase) les caractères au lieu de les insérer. Définit la sélection. Se déplace jusqu’au début d’un mot. Marque la fin de la sélection. Fournit l’information sur l’éditeur de ligne de commande, par ex. :
Stk Size signifie le nombre d’objets dans l'historique en mode ALG ou dans la pile RPN. Mem(KB) signifie la quantité de mémoire disponible. Clip Size est le nombre de caractères dans la tablette électronique. Sel Size est le nombre de caractères sous la sélection actuelle. EXEC HALT
: Arrête l’exécution de la commande.
SEARCH: Recherche des caractères ou mots dans la ligne de commande. Comprend les fonctions suivantes :
Comprend les fonctions suivantes :
Replace: Utilisez cette commande pour trouver et remplacer une chaîne. La formule de saisie des données fournie pour cette commande est :
Replace/Find Next: Remplace un motif et recherche une autre occurrence de celui-ci. Le mode est défini sous Replace. Replace All : Remplace toutes les occurrences d’un certain motif. Cette commande demande la confirmation de l’utilisateur avant de remplacer le motif. Fast Replace All : Remplace toutes les occurrences d’un certain motif sans confirmation de l’utilisateur.
Le sous-menu style comprend les styles suivants : BOL ITALI UNDE INV
Commandes de l’éditeur, L-1 Commandes non-CAS, C-14 Composer des listes, 8-2 CON, 10-9 Concaténation des chaînes, 23-2 COND, 11-10 CONJ, 4-7 Décomposition de la valeur singulière, 11-8 Décomposition Crout LU, 11-55 Décomposition de matrice., 11-8 DEFINE, 8-14 Définir et utiliser des fonctions, 3-35 Définition des transformations de Fourier, 16-49 DEFN, 12-21 DEG, 3-1 Degrés, 1-24 Equation de Weber, 16-63 équation différentielle ordinaire raide, 16-74 Equations différentielles, 16-1 équations linéaires et non linéaires, Erreurs et détection des erreurs, 21-69 ERRM, 21-71 Fonctions de date, 25-1 Fonctions de distribution cumulative inverses, 17-14 Fonctions des alarmes, 25-4 Fonctions principales des touches du clavier, B-2 Format scientifique, 1-22 Format fixe, 1-20 Format ingénierie, 1-23 Formules de saisie des données, A-1 FOURIER, 16-31 FP, 3-15 Gestionnaire de fichier, F-4 GET, 10-6 GETI, 8-12 GOR, 22-39 La fonction de distribution, 17-7 La somme des erreurs carrées (SSE), 18-70 LABEL, 12-51 Labels, L-4 Liste des menus de la fonction d'aide du CAS, H-1 Listes, 8-8 LN, 3-6 LNCOLLECT, 5-5 Propriétés de la pile, 1-31 PSI, 3-15, 4-9 PTAYL, 5-12, 5-24 Réglage de l’heure, 1-8, 25-2 Règle de la chaîne, 13-6 Régler la date, 1-8 Régression linéaire, 18-54 Relations linéarisées, 18-13 REMAINDER, 5-12 Séries de Maclaurin, 13-25 Séries de Taylor, 13-26 Séries infinies, 13-25 Séries, 13-25 SERIES, 13-26 Transformations de Fourier, 16-46 Transformation de Laplace à la solution d’ODE linéaires, 16-18 Transformation de Laplace inverses, 16-22 Transformations de Laplace, 16-11 TRN, 10-8 TRNC, 3-15 HP ne garantit pas que le fonctionnement des produits HP sera ininterrompu ou sans erreur. Si HP n’est pas en mesure, dans un délai raisonnable, de réparer ou de remplacer tout produit dans les conditions garanties, vous serez en droit de demander le remboursement du prix d’achat sur retour dans les meilleurs délais du produit et avec preuve d’achat.. Les produits HP peuvent contenir des pièces re-fabriquées équivalentes à des pièces neuves en terme de performance, ou qui ont été utilisées de manière fortuite.
(b) de l’utilisation d’un logiciel, d’une interface, de pièces ou alimentations non fournis par HP, (c) d’une modification ou d’un usage non autorisés, (d) d’un fonctionnement en dehors de spécifications environnementales publiées pour le produit, ou (e) d’une préparation ou maintenance inappropriée du site. 6. HP NE FAIT AUCUNE AUTRE GARANTIE OU CONDITION EXPRESSE, Certains pays, états ou provinces n’autorisent pas de limitions de la garantie implicite, donc il se peut que la restriction ci-dessus ne s’applique pas pour vous. Cette garantie vous donne des droits spécifiques et il se peut que vous ayez aussi d’autre droits y afférent qui varient en fonction du pays, de l’état ou de la province. 7. DANS LES LIMITES AUTORISEES PAR LA LOI LOCALE, LES RECOURS EN GARANTIE DECOULANT DE CETTE DECLARATION SONT A VOTRE SEULE ET EXCLUSIVE DISCRETION. SAUF DANS LES CAS SPECIFIES CI DESSUS, HP ET SES FOURNISSEURS NE SERONT EN AUCUN CAS REPSONSABLE DE LA PERTE DE DONNEES OU DE DOMMAGES DIRECTS, SPECIAUX, FORTUITS, CONSECUTIFS (Y COMPRIS LES PERTES DE PROFIT OU DE DONNEES) OU DE TOUT AUTRE DOMMAGE, QU’IL SOIT BASE SUR UN CONTRAT, UN PREJUDICE OU AUTRES. Certains pays, états ou provinces n’autorisent pas de limitions de la garantie implicite, donc il se peut que la restriction ci-dessus ne s’applique pas pour vous. 8. Les seules garanties offertes pour les produits et les services HP sont stipulées dans la garantie expresse jointe aux produits et services sus mentionnés. HP ne peut en aucun cas être tenu responsable des erreurs techniques ou éditoriales qui pourraient figurer dans les présentes. POUR LES TRANSACTIONS EFFECTUEES EN AUSTRALIE ET NOUVELLEZELANDE : LES TERMES DE LA GARANTIE CONTENUS DANS LA PRESENTE DECLARATION, SAUF DANS LES LIMITES PERMISES PAR LA LOI, N’EXCLUENT, NE RESTREIGNENT OU NE MODIFIENT PAS ET VIENNENT S’AJOUTER AUX DROITS OBLIGATOIRES PREVUS PAR LA LOI APPLICABLE A LA VENTE DE CE PRODUIT.
Europe Cette section contient des informations qui expliquent comment la calculatrice graphique hp 49g+ se conforme aux réglementations de certaines régions. Toute modification apportée à la calculatrice qui ne serait pas expressément approuvée par Hewlett-Packard pourrait annuler l’autorité à utiliser la 49g+ dans ces régions. USA This calculator generates, uses, and can radiate radio frequency energy and may interfere with radio and television reception. The calculator complies with the limits for a Class B digital device, pursuant to Part 15 of the FCC Rules. These limits are designed to provide reasonable protection against harmful interference in a residential installation. However, there is no guarantee that interference will not occur in a particular installation. In the unlikely event that there is interference to radio or television reception(which can be determined by turning the calculator off and on), the user is encouraged to try to correct the interference by one or more of the following measures:
Notice Facile